第1章 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

综合拔高练 高考真题练 考点1　集合及其运算 1.(2023新课标Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　) A.{-2,-1,0,1}　　　B.{0,1,2} C.{-2}　　　D.{2} 2.(2023全国甲理,1)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=(　　) A.{x|x=3k,k∈Z}　　　B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z}　　　D.⌀ 3.(2023全国乙理,2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=(　　) A.∁U(M∪N)　　　B.N∪∁UM C.∁U(M∩N)　　　D.M∪∁UN 4.(2023新课标Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2　　　B.1　　　　 C.　　　D.-1 考点2　常用逻辑用语 5.(2023天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 6.(2023北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是“=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点3　基本不等式 7.(多选题)(2022新高考Ⅱ,12)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　) A.x+y≤1　　　B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2　　　D.x2+y2≥1 8.(2021天津,13)若a>0,b>0,则+b的最小值为　　　　.  9.(2022全国乙文,23)[选修4—5:不等式选讲] 已知a,b,c都是正数,且=1,证明: (1)abc≤; (2). 考点4　不等式的应用 10.(2019北京,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. ①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;  ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.  高考模拟练 应用实践 1.设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m≥0},B={(x,y)|x+y-n>0},若(2,3)∈[A∩(∁UB)],则m+n的最小值为(　　) A.-6　　　　B.1　　　　C.4　　　　D.5 2.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么不等式4[x]2-16[x]+7<0成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x∈　　　B.x∈[1,3]　　　　 C.x∈[1,4)　　　D.x∈[1,4] 3.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　) A.4　　　　B.16　　　　C.9　　　　D.3 4.(多选题)若a,b,c,d∈R,则下列说法正确的是(　　) A.若a<b<0,c<d<0,则ac>bd B.若b<a<0,则 C.若,则a>|b| D.若b>a>0,m>0,则 5.设正实数x,y满足3x+=2,则的最小值为(　　) A.　　　B.3 C.　　　D.4 6.若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m<3}　　　B. C.{m|m>2}　　　D.{m|-2<m<0} 7.(多选题)已知关于x的不等式组a≤x2-3x+4≤b,下列说法正确的是(　　) A.当a<b<1时,不等式组的解集是⌀ B.当a=1,b=4时,不等式组的解集是{x|0≤x≤4} C.如果不等式组的解集是{x|a≤x≤b},则b-a=4 D.如果不等式组的解集是{x|a≤x≤b},则a= 8.写出一个使得命题“∀x∈R,ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题的实数a的值:　　　　.  9.为了方便居民购买新鲜、安全、价廉的蔬菜,某社区搭建从“菜园子”到“菜篮子”的直通车,建起多家“社区直销店”,不仅便利了居民生活,也提高了农民收入.某“社区直销店”第一天直销蔬菜19种,第二天直销蔬菜13种,第三天直销蔬菜18种.其中,前两天直销的蔬菜中有3种相同,后两天直销的蔬菜中有4种相同.第一天直销但第二天没直销的蔬菜有　　　　种,这三天直销的蔬菜最少有　　　　种.  10.若正实数x,y满足xy2(x+y)=9,则2x+y的最小值为　　　　.  11.已知关于x的不等式x2-(b+2)x+c<0的解集为{x|2<x<3},设不等式bx2-(c+1)x-c>0的解集为A,集合B={x|(x+1)(4-x)≥0},C={x|m-1≤x<2m}. (1)求集合A,B,并求A∩B,A∪B; (2)若B∩C=C,求实数m的取值范围. 12.(1)在基本不等式应用探究课中,甲和乙探讨了下面的问题: 已知正数x,y满足2x+y=1,求的最小值. 甲给出解法:由1=2x+y≥2,得,所以≥2≥4,所以的最小值为4. 而乙却说甲的解法是错误的,请你指出其中的问题,并给出正确的解法; (2)结合上述问题(1)的结构形式,试求函数y=的最小值. 13.环境污染日益严重,某科研单位为了净化空气进行实验研究,发现在一定范围内,每喷洒1个单位的净化剂,其在空气中的浓度t(单位:毫克/立方米)随时间x(单位:天)的变化满足:当0≤x≤4时,t=;当4<x≤10时,t=.如果进行多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻的浓度之和.由实验可知,当空气中净化剂的浓度不低于4毫克/立方米时,它才能起到净化空气的作用. (1)若一次喷洒4个单位的净化剂,则有效净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒2个单位的净化剂,6天后再喷洒m(1≤m≤4)个单位的净化剂,要使接下来的4天能够持续有效净化,试求m的最小值.(精确到0.1,参考数据:≈1.4) 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.C　因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2},故选C. 2.A　由已知得M∪N={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},∴∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A. 3.A　由题意得M∪N={x|x<2},M∩N={x|-1<x<1},∁UM={x|x≥1},∁UN={x|x≤-1或x≥2},则∁U(M∪N)={x|x≥2},∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},N∪∁UM={x|x>-1},M∪∁UN={x|x<1或x≥2},故选A. 4.B　∵A⊆B,∴0∈B. 当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B,舍去;当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B.综上,a=1,故选B. 5.B　因为a2=b2⇔a=b或a=-b,a2+b2=2ab⇔(a-b)2=0⇔a=b, 所以a2+b2=2ab⇒a2=b2,但是a2=b2⇒/ a2+b2=2ab, 所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件,故选B. 6.C　因为xy≠0,且=-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,故“x+y=0”是“=-2”的充要条件. 7.BC　由题意知x2+y2=1+xy, ∴(x+y)2=1+3xy, 当x>0,y>0时,x+y>1,∴A错误; 易知xy≤, 结合题意知(x+y)2=1+3xy≤1+, ∴(x+y)2≤4,∴-2≤x+y≤2,∴B正确; ∵x2+y2=1+xy≤1+,∴x2+y2≤2,∴C正确; ∵x2+y2=1+xy,当xy<0时,x2+y2<1,∴D错误. 故选BC. 8.答案　2 解析　因为a>0,b>0,所以+b≥2+b≥2. 当且仅当即a=b=时等号成立,故+b的最小值为2. 9.证明　(1)∵a,b,c都是正数,且=1, ∴≥3,当且仅当a=b=c=时,等号成立, ∴3(abc≤1, ∴(abc≤,即abc≤. (2)要证≤, 只需证≤, 即证≤, 易知b+c≥2,当且仅当b=c时,等号成立, ∴≤,同理,≤≤, ∴≤,当且仅当a=b=c=时,等号成立,得证. 10.答案　①130　②15 解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元. ②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况. 根据题意得(m-x)80%≥m×70%, 所以x≤,而m≥120, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而=15,所以x≤15. 所以x的最大值为15. 高考模拟练 1.C　∁UB={(x,y)|x+y-n≤0}, 因为(2,3)∈[A∩(∁UB)], 所以(2,3)∈A,(2,3)∈∁UB, 所以所以 所以m+n≥4,即m+n的最小值为4. 故选C. 2.B　由4[x]2-16[x]+7<0,得(2[x]-1)(2[x]-7)<0,解得, 因此[x]=1或[x]=2或[x]=3, 因为[x]表示不大于x的最大整数, 所以1≤x<2或2≤x<3或3≤x<4,所以1≤x<4. 要求不等式4[x]2-16[x]+7<0成立的充分不必要条件,即选出集合[1,4)的一个非空真子集即可. 结合选项知B满足要求.故选B. 3.B　问题等价于m≤+10恒成立. 由基本不等式可知3+10≥6+10=16, 当且仅当,即a=b时取“=”,所以m≤16. 故m的最大值为16. 4.ABD　对于A,由a<b<0,c<d<0,得-a>-b>0,-c>-d>0,∴(-a)×(-c)>(-b)×(-d),即ac>bd,故A正确; 对于B,若b<a<0,则ab>0,∴,即,故B正确; 对于C,取a=-3,b=2,则,但是a<|b|,故C错误; 对于D,若b>a>0,m>0,则bm>am⇒bm+ab>am+ab⇒,故D正确.故选ABD. 5.A　由3x+=2,得=4, 所以=1, 因为x>0,y>0, 所以 = ≥, 当且仅当时,等号成立, 所以的最小值为. 故选A. 6.B　不等式<0(m≠0)等价于(m2x-1)(mx+1)<0(m≠0), 令(m2x-1)(mx+1)=0,解得x=或x=-. (1)当m>0时,-,则(m2x-1)(mx+1)<0的解集为x-, 因此原不等式不可能对一切x≥4恒成立,故不合题意; (2)当m<0时,令=0,得m=-1, ①当m≤-1时,≤0,即≤-, 则(m2x-1)(mx+1)<0的解集为xx<,或x>-, 若原不等式对一切x≥4恒成立,只需-<4, 由解得m≤-1; ②当-1<m<0时,>0,即, 则(m2x-1)(mx+1)<0的解集为xx<-,或x>, 若原不等式对一切x≥4恒成立,只需<4, 由解得-1<m<-. 综上,实数m的取值范围是mm<-.故选B. 7.ABC　对于A,由x2-3x+4≤b得3x2-12x+16-4b≤0,因为b<1,所以Δ=48(b-1)<0,从而不等式组a≤x2-3x+4≤b的解集为⌀,所以A正确. 对于B,当a=1时,不等式a≤x2-3x+4即为x2-4x+4≥0,其解集为R, 当b=4时,不等式x2-3x+4≤b即为x2-4x≤0,其解集为{x|0≤x≤4},所以B正确. 对于C,D,当a≤x2-3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b}时,a≤,即a≤1, 因此x=a,x=b时二次函数y=x2-3x+4的值都是b, 由x=b时二次函数的值为b,得b2-3b+4=b,解得b=或b=4, 当b=时,由,解得a=或a=,不满足a≤1,不符合题意; 当b=4时,由a2-3a+4=b=4,解得a=0或a=4,因为a≤1,所以a=0,此时b-a=4-0=4,所以C正确,D错误. 故选ABC. 8.答案　-1(答案不唯一) 解析　命题“∀x∈R,ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,即命题“∃x∈R,ax2-2ax+3≤0成立”是真命题①. 当a=0时,①不成立; 当a≠0时,要使①成立,则有a<0或所以a<0或a≥3. 故答案可为-1. 9.答案　16;29 解析　设A,B,C分别表示第一天、第二天、第三天直销蔬菜品种所组成的集合,三天直销中相同的蔬菜有x种,第一天与第三天直销的蔬菜中有(x+y)种相同, 依题意可得如图所示的Venn图, 由图知第一天直销但第二天没直销的蔬菜有(16-y)+y=16(种), 因为图中所标注的各数均为自然数,所以x∈{0,1,2,3},y∈{0,1,2,…,14}, 这三天直销的蔬菜有(16-y)+y+(3-x)+x+(6+x)+(4-x)+(14-y)=(43-y)种, 又因为y≤14,所以43-y≥29, 所以这三天直销的蔬菜最少有29种. 10.答案　2 解析　因为正实数x,y满足xy2(x+y)=9,所以x2y2+xy3-9=0, 解得x=, 因为x>0,所以x=-, 所以2x+y=≥, 当且仅当x=时取等号, 所以2x+y的最小值为2. 11.解析　(1)因为关于x的不等式x2-(b+2)x+c<0的解集为{x|2<x<3}, 所以2和3是关于x的方程x2-(b+2)x+c=0的两实数根,所以解得 不等式bx2-(c+1)x-c>0即为3x2-7x-6>0,解得x>3或x<-, 即集合A=∪(3,+∞). 易得B={x|(x+1)(4-x)≥0}=[-1,4]. 所以A∩B=∪(3,4], A∪B=R. (2)由(1)知B=[-1,4]. 因为B∩C=C,所以C⊆B. 若C=⌀,则有m-1≥2m,解得m≤-1; 若C≠⌀,则需满足解得0≤m≤2. 综上所述,实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[0,2]. 12.解析　(1)甲的解法中两次用到基本不等式,取到等号的条件分别是2x=y和x=2y,显然不能同时成立,故甲的解法是错误的. 正确的解法如下: 因为x>0,y>0,且2x+y=1, 所以≥, 当且仅当,即x=y=时,等号成立, 所以的最小值为. (2)因为0<x<,所以0<2-3x<2, 所以y= = ≥, 当且仅当,即x=1-时,等号成立, 又1-∈, 所以y=的最小值为2+. 13.解析　(1)设一次喷洒4个单位的净化剂,经过x(0≤x≤10)天,空气中净化剂的浓度为t1毫克/立方米. 当0≤x≤4时,t1=4×-4; 当4<x≤10时,t1=4×=20-2x. 当0≤x≤4时,令t1=-4≥4,解得0≤x<8,所以0≤x≤4; 当4<x≤10时,令t1=20-2x≥4,解得x≤8,所以4<x≤8. 综上,0≤x≤8. 所以若一次喷洒4个单位的净化剂,则有效净化时间可达8天. (2)设从第一次喷洒起,经过x(6≤x≤10)天,空气中净化剂的浓度为t2毫克/立方米,则t2=2×-m-4, 因为6≤x≤10,所以4≤14-x≤8, 所以t2=14-x+-m-4≥2-m-4. 当且仅当14-x=,即x=14-4时,等号成立. 因为1≤m≤4,所以6≤14-4≤10,所以t2的最小值为8-m-4, 令8-m-4≥4,可得24-16≤m≤24+16, 因为1≤m≤4,所以24-16≤m≤4. 又24-16≈1.6, 所以m的最小值约为1.6. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$