第1章 专题强化练1 利用基本不等式求最大（小）值（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

专题强化练1　利用基本不等式求最大(小)值 1.已知x+=5(x>0,y>0),则y+的最小值为(　　) A.　　　　 C.20　　　D.4 2.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是(　　) A.1　　　B.3　　　　 C.6　　　D.9 3.已知0<x<,则的最小值为(　　) A.16　　　　B.18　　　　C.8　　　　D.20 4.已知正数a,b满足a+b=3,若a5+b5≥λab恒成立,则实数λ的取值范围为(　　) A. C. 5.(多选题)已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则(　　) A.2a+b的最小值为8 B. C.ab的最大值为8 D.b+ 6.已知正数x,y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,则x+y的最小值为　　　　.  7.已知二次函数y=ax2+4x+c,其中a>c,若y的最小值为0,则的最小值为　　　　.  8.已知x>0,y>0. (1)若不等式恒成立,求实数m的最大值; (2)若x+y=1,≥9恒成立,求正数a的最小值. 9.已知m+2n=3,且m>-1,n>0. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练1　利用基本不等式求最大(小)值 1.D　因为x+=5(x>0,y>0), 所以y+≥·=4, 当且仅当即x=,y=2时,等号成立, 故y+的最小值为4.故选D. 2.B　由x2+2xy-3=0,可得y=, 则2x+y=2x+≥2=3,当且仅当x=1,y=1时取“=”. 故2x+y的最小值是3.故选B. 解题模板　求含有条件的关于两个变量的式子的最大(小)值时,往往先找出条件与待求式的关系,得到定值,再利用基本不等式求解.若解题时找不到定值,可先利用条件消去一个变量,再利用基本不等式得出最值. 3.B　因为0<x<,所以0<1-2x<1, 又因为2x+(1-2x)=1, 所以=[2x+(1-2x)]·≥10+2, 故选B. 4.B　依题意得≥λ. ∵a+b=3,a>0,b>0, ∴ ≥≥, 当且仅当a=b,即a=时,等号同时成立, 所以λ的取值范围为. 故选B. 5.ACD　由16=ab+2a+b得b=-2. 2a+b=2a+-4≥2-4=8,当且仅当2(a+1)=,即a=2时取等号,因此2a+b的最小值为8,A正确; ≥2,当且仅当a+1=b+2时取等号,因此的最小值为,B错误; 16=ab+2a+b≥ab+2,当且仅当2a=b时取等号,解不等式得0<≤2,即ab≤8,因此ab的最大值为8,C正确; b+-2 =≥2, 当且仅当,即a=时取等号,因此b+的最小值为,D正确. 故选ACD. 6.答案　 解析　因为x>0,y>0,所以x+3y-1>-1,2x+y-1>-1, 因为(x+3y-1)(2x+y-1)=1, 所以x+3y-1>0,2x+y-1>0, 因此x+y= ≥2, 当且仅当(2x+y-1), 即即时取等号, 所以x+y的最小值为. 导师点睛　题中条件是积(x+3y-1)(2x+y-1)为定值,求和x+y的最小值,关键是将x+y用条件中的两个因式表示,可用待定系数法求解,令x+y=m(x+3y)+n(2x+y)(m,n∈R),可得x+y=,然后利用基本不等式求最值. 7.答案　8 解析　由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0,得a>0,Δ=16-4ac=0,则c=>0,而a>c,所以a>2, 因此=2·=2·≥2×2=8,当且仅当a-,即a=1+时取等号, 所以的最小值为8. 8.解析　(1)∵x>0,y>0,∴2x+y>0, ∵不等式≥恒成立, ∴m≤恒成立. ∵≥2=4,当且仅当,即x=y时取等号, ∴m≤9,即m的最大值为9. (2)∵≥9恒成立,∴≥9, 又x>0,y>0,a>0,x+y=1, ∴≥a+1+2+1)2,当且仅当y=x时,等号成立, ∴≥9,∴+1≥3,∴a≥4. ∴正数a的最小值为4. 9.解析　(1)由题意得m+1+2n=4,则=1, 所以≥, 当且仅当,且m+2n=3,即m=时等号成立, 则的最小值为. (2)设则且x+y=6, 所以-12≥,当且仅当,且x+y=6,即x=,即m=时等号成立, 则的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$