第1章 3_2 基本不等式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§3 不等式 知识点 基本不等式 知识 清单破 3.2 基本不等式 1.基本不等式:当a≥0,b≥0时, ≥ ,当且仅当a=b时,等号成立. 其中, 称为a,b的算术平均值, 称为a,b的几何平均值.因此,基本不等式又称为均值不 等式,也可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 2.基本不等式与最值 当x,y均为正数时,下面的命题均成立: (1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值 ; (2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2 . 　　上述命题可归纳为口诀:和定积最大,积定和最小. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展    当a>0,b>0时, ≥ ≥  ≥ ,当且仅当a=b时,等号同时成立. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 1. ≥ 与a2+b2≥2ab这两个不等式成立的条件是相同的. (　    ) 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。     ≥ 中a,b是任意非负实数,a2+b2≥2ab中a,b是任意实数. ✕ 提示 2.x+ 的最小值为2. (　    ) 提示 ✕  x的大小不确定,当x>0时,能确定式子的最小值是2,当x<0时,能确定式子的最大值是-2. 3.若a>0,b>0且a≠b,则a+b≥2 . (　    ) ✕ 提示 因为a≠b,所以等号不能成立. 4.已知m>0,n>0,mn=81,则m+n有最小值18.(　    ) √ 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的注意事项 (1)一正:各项必须都是正数. 　　若各项都是正数,则可以直接用基本不等式求最大(小)值;若各项都是负数,则可以提取 负号,化为正数后用基本不等式求最大(小)值;若有些项是正数,有些项是负数,则不可以用基 本不等式求最大(小)值. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 (2)二定:各项之和或各项之积为定值. 　　利用基本不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,常见的方 法技巧如下: ①拆(裂项拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真 分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造条件; ②并(分组并项):目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先对一组应用基本不 等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值; ③配(配式、配系数):有时为了挖掘出“和”或“积”为定值,常常需要根据题设条件采取合 理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当 的系数后,使积式中的各项之和为定值. (3)三相等:必须验证取等号时条件是否成立,若等号不成立,则不能取到最大(小)值. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)当x<0时,求 +4x的最大值; (2)当x>0时,求x+ 的最小值. 解析    (1)∵x<0,∴-x>0. 则 +(-4x)≥2 =8 , 当且仅当 =-4x,即x=- 时取等号. ∴ +4x≤-8 . ∴当x<0时, +4x的最大值为-8 . 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 ∴x+ =x+ =x+ + -  ≥2 - = , 当且仅当x+ = ,即x= 时,等号成立. ∴当x>0时,x+ 的最小值为 . 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 应用基本不等式求有附加条件的最值问题的关键是凑出“定和”或“定积”,主要的技巧除 了疑难1中提到的拆、并、配之外还有换(常值代换或变量代换),这种方法常用于“已知ax+ by=m(a,b,x,y均为正数),求 + (c,d均为正数)的最小值”和“已知 + =m(a,b,x,y均为正数), 求cx+dy(c,d均为正数)的最小值”两种类型. 讲解分析 疑难 2 应用基本不等式求有附加条件的最值 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)若a>0,b>0,a+b=3,求 + 的最小值; (2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值. 思路点拨    (1)根据所求式的分母特征,先将a+b=3变形为 (a+1)+ b=1,再采用常值代换的方 法转化,最后利用基本不等式求解. (2)先减少变量,再利用基本不等式求最大值. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为a+b=3,所以 (a+1)+ b=1, 又a>0,b>0, 所以 + = · = + + +1≥ +2 = +1= , 当且仅当 = ,且a+b=3,即a= ,b= 时,等号成立,故 + 的最小值为 . (2)由x+2y+xy=30得y= (0<x<30), 所以xy= =  =34- ≤34-16=18, 当且仅当x+2= ,即x=6时,等号成立,此时y=3.故xy的最大值为18. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 $$