第1章 3_1 不等式的性质（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§3 不等式 知识点 1 两个实数大小关系的基本事实 知识 清单破 3.1 不等式的性质 　　如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是负数,那么a<b.反过来也成立. 这个基本事实可以表示为: a>b⇔a-b>0;a=b⇔a-b=0;a<b⇔a-b<0. 知识拓展    作商比较法:当a>0,b>0时, >1⇔a>b; =1⇔a=b; <1⇔a<b. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 不等式的性质 性质 名称 性质内容 注意 1 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 2 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 3 可乘性  ⇒ac>bc C的符号  ⇒ac<bc 4 同向可加性  ⇒a+c>b+d 同向 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 5 可乘性  ⇒ac>bd c,d的符号  ⇒ac<bd 6 可乘方性与可开方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N+,n≥2) 同正 a>b>0⇒ > (n∈N+,n≥2) 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.若 >1,则a>b. (　    ) 　若 >1,则当b>0时,a>b;当b<0时,a<b. ✕ 提示 2.若a>b,c>d,则ac>bd. (　    ) 要保证a>b>0,c>d>0. ✕ 提示 3.a,b,c为实数,在等式中,若a=b,则ac=bc,在不等式中,若a>b,则ac>bc. (　    ) 　在等式中关系成立,在不等式中,若a>b,则当c>0时,ac>bc;当c=0时,ac=bc;当c<0时,ac<bc. ✕ 提示 4.若a>b,b≠0,则 >1 (　    ) 提示 当a>0,b<0时,有 <1,故错误. ✕ 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 比较实数(代数式)的大小 比较两个数或代数式的大小的方法 1.作差比较法:当两个数(或式子的值)正负未知时,常用作差法. 步骤:①作差;②变形;③判断差的符号;④下结论. 变形技巧:①分解因式;②平方后再作差;③配方;④分子、分母有理化;⑤通分. 2.作商比较法:适用于分式、指数式等,要求两个数(或式子的值)为正数. 步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④下结论. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知a>0,b>0,试比较 + 与 + 的大小; (2)已知a>b>0,试比较 与 的大小. 解析    (1) + -( + ) =  =  =  = . ∵a>0,b>0,∴ + >0, >0. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 又∵( - )2≥0(当且仅当a=b时,等号成立), ∴ ≥0, ∴ + ≥ + . (2)∵a>b>0,∴ >0, >0, ∴ ÷  = · =  =  =1+ >1, ∴ > . 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 　　不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.利用几个代数式的范围来确定某个代数式 的范围是一类常见的问题,对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”,但这种转 化不是等价变形,在解题过程中多次进行这种转化后,就有可能扩大真实的取值范围.解决此 类问题,可先建立待求范围整体与已知范围整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的 运算求得待求式的范围,这样可以避免扩大真实的范围. 讲解分析 疑难2 利用不等式的性质求代数式的取值范围 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 若α,β满足 试求α+3β的取值范围. 思路点拨    用α+β和α+2β表示α+3β 由已知求α+3β的取值范围. 解析    设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)·α+(x+2y)·β(x,y∈R). 比较α,β的系数,得 解得  所以α+3β=-(α+β)+2(α+2β). 由题意得-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, 所以1≤α+3β≤7. 故α+3β的取值范围为[1,7]. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 $$