第1章 1_3 集合的基本运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§１ 集合 知识点 集合的基本运算 知识 清单破 1.3 集合的基本运算 1.交集与并集 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 交集 一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B” A∩B={x|x∈A, 且x∈B}   A∩B=B∩A,A∩A=A, A∩⌀=⌀∩A=⌀, A∩B⊆A,A∩B⊆B, A⊆B⇔A∩B=A 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 并集 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B” A∪B={x|x∈A, 或x∈B}   A∪B=B∪A,A∪A=A, A∪⌀=⌀∪A=A, A⊆A∪B,B⊆A∪B, A⊆B⇔A∪B=B 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 2.全集与补集 (1)全集:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集, 常用符号U表示. (2)补集 文字语言 设U是全集,A是U的一个子集(即A⊆U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言   运算 性质 ∁UA⊆U,∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A,A∪ (∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀ 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展     1.德·摩根定律: (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 2.容斥定理——有限集中元素个数问题: 常用card(A)表示有限集A中元素的个数,一般地,对任意有限集A,B,C,有如下结论: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩ C). 这一结论被称为容斥定理. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.集合A∪B中元素个数与A,B中元素个数的和相等. (　    ) 　只有A∩B=⌀时,A∪B中元素个数与A,B中元素个数的和才相等. 2.若A={1,2},B={1,3,4},则A∪B={1,2,1,3,4}. (　    ) ✕ ✕ 3.若x∈A∩B,则x∈A∪B. (　    ) √ 4.若x∈A∪B,则x∈A∩B. (　    ) ✕ 5.全集包含任何一个元素. (　    ) ✕ 6.∁AC和∁BC相等. (　    ) ✕ 提示 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 集合的基本运算 1.根据集合中元素的特征选择适当的方法进行集合的基本运算 (1)有限集(或可以列举的无限集)的运算,运用列举法,按照运算的定义进行运算; (2)与不等式有关的无限集的运算,常借助数轴,按照运算的定义进行运算; (3)与函数相关的点集的运算,借助直观图形,按照运算的定义进行运算; (4)抽象集的运算,利用Venn图,借助直观图形,按照运算的定义进行运算. 2.集合并集、交集、补集的混合运算,根据题中运算次序依次进行运算求解,也可运用运算律 求解. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 3.集合运算的注意事项 (1)与集合的交、并、补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要 漏掉空集的情形. (2)注意不等式中的等号在补集中能否取到,还要注意补集是全集的子集. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)设全集U=R,M={x|-3<x<0},N={x|x<-1},则M∩(∁UN)= (　    ) A.{x|-1≤x<0}　    B.{x|x≥-1} C.{x|-3<x<0}　    D.{x|x≤-3} (2)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为(        )   A.{1}    B.{0,1}    C.{1,2}    D.{0,1,2} A A 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵U=R,N={x|x<-1}, ∴∁UN={x|x≥-1},∴M∩(∁UN)={x|-1≤x<0},故选A. (2)题图中阴影部分表示的集合中的元素在A中,不在B中,故该集合为A∩(∁RB). ∵B={x∈R|x≥2},∴∁RB={x∈R|x<2}. 又A={1,2,3,4,5},∴题图中阴影部分所表示的集合为A∩(∁RB)={1}.故选A. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 2 由集合的基本运算求参数的值(取值范围) 1.当集合中的元素连续时,常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴 列出关于参数的不等式(组),求解即可,要特别注意对端点值的取舍. 2.当集合中的元素离散时,常借助集合间的关系列出关于参数的方程(组),求解即可,但求解后 要检验是否符合题意,避免违背集合中元素的互异性,同时还要注意对空集的讨论,以免漏解. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a}. (1)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围; (2)若A∩B={x|3<x<4},求实数a的值. 思路点拨    (1)分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论,列出关于a的不等式(组)求解. (2)借助数轴,在数轴上表示出集合A与B,再结合已知就可以得出a的值. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)分两种情况讨论. 当B=⌀时,满足A∩B=⌀,此时a≥3a,解得a≤0; 当B≠⌀时,a>0,在数轴上表示出集合A与B,如图所示,   由图可知,要满足A∩B=⌀,只需 或 解得0<a≤ 或a≥4. 综上所述,a的取值范围是 ∪[4,+∞). (2)在数轴上表示出集合A与B,如图所示, 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念   因为A={x|2<x<4},A∩B={x|3<x<4}, 所以a=3,此时B={x|3<x<9}, 经检验,符合题意,所以a=3. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 3 “补集思想”的应用 1.运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、较复杂,或含有至多、至少、 存在唯一、不存在等的问题中. 2.用补集思想解含参问题的步骤 (1)否定已知条件,考虑问题的反面; (2)求问题的反面对应的参数的集合; (3)取问题的反面对应的参数的集合的补集,注意全集的范围. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若三个集合中至少有一 个集合不是空集,求实数a的取值范围. 思路点拨    先分析“至少有一个”的反面“一个也没有”的情况,再取“补集”. 解析　假设三个集合都是空集,即三个方程均无实根,则 即  ∴- <a<-1,∴当a≤- 或a≥-1时,三个方程中至少有一个方程有实根,即三个集合中至少 有一个集合不是空集. ∴a的取值范围为{a|a≤- 或a≥-1}. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 $$