第4章 §4 指数幂数、幂函数、对数函数增长的比较 §5信息技术支持的函数研究（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 知识点 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 知识 清单破 * §5 信息技术支持的函数研究 y=ax(a>1) y=xα(α>0,x>0) y=logax(a>1) 图象   图象与α的值有关   在(0,+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长的速度 先慢后快 随着α值的不同而不同 先快后慢 图象的变化 随着x的增大,图象上 升的速度逐渐变快 随着x值的不同而不同 随着x的增大,图象上 升的速度逐渐变慢 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.当0<x<1时,2x>x2>log2x. (　    ) √ 2.一定存在x0∈R,当x>x0时,总有ax>xα>logax(a>1,α>0). (　    ) √ 3.不存在实数m,使得当x>m时,1.1x>x100. (　    ) ✕ 4.y=lo x的函数值衰减的速度越来越慢. (　    ) √ 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 几类常见函数模型增长差异的比较 1.线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. 2.指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增 长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”. 3.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢, 即增长速度平缓. 4.幂函数模型y=xα(α>0,x>0)适合于描述增长速度一般的变化规律. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4) 关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=x, f4(x)=log2(x+1),有以下结论: ①当x>1时,甲在最前面; ②当x>1时,乙在最前面; ③当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面; ④丙不可能在最前面,也不可能在最后面; ⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲. 其中,正确结论的序号为　　　    . ③④⑤ 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析　在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象,如图所示.   ①错误, 因为f1(2)=22-1=3, f2(2)=22=4, 所以f1(2)<f2(2), 所以当x=2时,乙在甲的前面. ②错误, 因为f1(5)=25-1=31, f2(5)=52=25, 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 所以f1(5)>f2(5), 所以当x=5时,甲在乙的前面. ③正确, 当0<x<1时,函数f1(x), f2(x)的图象在函数 f3(x)的图象的下方,函数 f4(x)的图象在函数f3(x)的图 象的上方,即丁在最前面; 当x>1时,函数f4(x)的图象在最下方,即丁在最后面. ④正确, 当0<x<1时,丙在甲、乙前面,在丁后面; 当x>1时,丙在丁前面,在甲、乙后面; 当x=1时,甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱. ⑤正确, 当x充分大时,指数函数的增长速度越来越快,函数f1(x)的图象必定在函数f2(x), f3(x), f4(x)的图 象的上方,所以最终在最前面的是甲. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 方法指导    判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法: (1)构建函数模型法.当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法.当根据题意不易建立函数模型时,可根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结 合图象的变化趋势,验证是否吻合,从而选择符合实际的情况. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$