第4章 §3 对数函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§3 对数函数 知识点 1 对数函数的概念 知识 清单破 1.对数函数的概念 将函数y=logax(a>0,且a≠1)称为对数函数,其中a称为底数. 2.常用对数函数与自然对数函数 我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底的对数函数为自 然对数函数,记作y=ln x. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 3.指数函数与对数函数的关系 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数,对数函数y=logax也是指 数函数y=ax的反函数,即它们互为反函数. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 a>1 0<a<1 图象     知识点 2 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 过定点(1,0),即当x=1时,y=0 奇偶性:既不是奇函数,也不是偶函数 当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0 在定义域(0,+∞)上是增函数. 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 在定义域(0,+∞)上是减函数. 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展    如图,直线y=1与四个对数函数的图象交点的横坐标即相应的底数,结合图象知0< c<d<1<a<b.由此我们可以得到下面的规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.   第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.y=logx 和y=2log3x都是对数函数.(　    ) ✕ 2.函数y= 的反函数是y=logx . (　    ) ✕ 3.函数y=ax与y=logax(a>0,且a≠1)的单调区间相同. (　    ) ✕ 4.对于底数a>1的对数函数,在区间(1,+∞)内,底数越大,图象越靠近x轴.(　    ) √ 5.y=log2|x-3|的图象关于直线x=3对称.(　    ) √ 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 对数函数的图象及应用 1.对数型函数图象过定点问题 求函数y=m+loga f(x)(a>0,且a≠1)的图象所过的定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定点,其坐标 为(x,m). 2.函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与函数y=lo x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. 3.函数图象的变换规律 (1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象可由函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a <0)平移|a|个单位长度,再将所得图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 函数y=|lg(x+1)|的图象是 (　    )  A     B  C     D A 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lg x的图象向左平移一个单位长度而得到,函数y =lg x的图象与x轴的交点是(1,0),所以函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0),然后将函数y= lg(x+1)位于x轴上方的图象保持不变,将x轴下方的图象沿x轴对称翻转到x轴上方,即得函数y= |lg(x+1)|的图象,只有A选项满足.故选A. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 2 与对数函数有关的函数的单调性及应用 1.求复合函数单调性的两个要点 (1)单调区间是定义域的子集. (2)若a>1,则y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0<a<1,则y=loga f(x)的单调性与y=f (x)的单调性相反. 2.比较对数值大小常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性比较大小. (2)同真数的利用对数函数的图象比较大小,也可以利用换底公式转化为同底数的,再进行比 较. (3)底数和真数都不同的,找中间量. (4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 3.对数不等式的常见类型及解题方法 (1)形如logax>logab的不等式,借助函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确 定,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数,即b=logaab,再借助函数y=logax(a>0,且a ≠1)的单调性求解. (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底数的对数进行求解,或利用函数图象求 解. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 (1)设a=log2 ,b=log3 ,c=lo  ,则a,b,c的大小关系是　　　　    . (2)解下列关于x的不等式: ①loga(2x-5)>loga(x-1);②logx >1. c>a>b 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得a=log23-1,b=log34-1,c=log34, ∵log23=lo 33=log827,log34=lo 42=log916,且0<log278<log279, ∴log827>log927>log916,∴log23>log34, ∵1<log23<2,1<log34<2,∴1>a>b>0. 又∵c=log34>1,∴c>a>b. (2)①当a>1时,原不等式等价于  解得x>4; 当0<a<1时,原不等式等价于  第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解得 <x<4. 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};当0<a<1时,原不等式的解集为 . ②当x>1时,由logx >1,得logx >logxx,解得0<x< ,此时无解; 当0<x<1时,由logx >1,得logx >logxx,解得x> ,此时 <x<1. 综上所述,原不等式的解集为 . 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 (1)求函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间; (2)已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且loga <loga ,求关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集. 解析    (1)由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2. 令t=x2-2x-8(x>4或x<-2),则原函数化为y=ln t(t>0). 根据复合函数的单调性可知,要求f(x)的单调递增区间,只需求出t=x2-2x-8在定义域内的单调 递增区间即可. ∵函数t=x2-2x-8(x>4或x<-2)的单调递增区间为(4,+∞),单调递减区间为(-∞,-2), ∴函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞). 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 (2)已知loga <loga , 当0<a<1时, > ,无解; 当a>1时, < ,∴a>1. ∴对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调递增, ∵loga(2x-3)>0=loga1, ∴2x-3>1,解得x>2, ∴不等式loga(2x-3)>0的解集为(2,+∞). 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 求与对数函数有关的值域或最值的常用方法 讲解分析 疑难 3 与对数函数有关的值域或最值 1.直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的变化范围出发,通过对函数定义域、性质 的理解,结合解析式,直接得出函数的值域(最值). 2.配方法:当所给的函数可化为一元二次函数形式时(形如y=m·[f(logax)]2+nf(logax)+c,a>0,且a ≠1,m≠0),可以用配方法求函数的值域(最值). 3.单调性法:根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域(最值). 4.换元法:求形如y=loga f(x)(a>0,且a≠1)的值域(最值)的步骤: (1)换元,令u=f(x),利用函数图象和性质求出u的取值范围; (2)利用y=logau的单调性和图象求出y的取值范围. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)函数f(x)=lo (x2+2x+3)的值域是　　 　    . (2)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值. 解析    (1)f(x)=lo (x2+2x+3) =lo [(x+1)2+2], ∵(x+1)2+2≥2, ∴lo [(x+1)2+2]≤lo 2=-1, ∴函数f(x)的值域是(-∞,-1]. (2)∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9], ∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2 =(log3x)2+6log3x+6 =(log3x+3)2-3. 要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义, (-∞,-1] 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 必须满足  ∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1, ∴6≤(log3x+3)2-3≤13, 当log3x=1,即x=3时,ymax=13. ∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值,最大值为13. 第四章　对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$