第3章 §3 指数函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§3 指数函数 知识点 1 指数函数的概念 知识 清单破 y=ax(a>0且a≠1)是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数. 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象     性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 (0,1) 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 a>1 0<a<1 性 质 函数值 的变化 当x<0时,0<y<1; 当x>0时,y>1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 单调性 在R上是增函数. 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于0 在R上是减函数. 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于0; 当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于正无穷大 2.一般地,指数函数y=ax和y= (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,且它们在R上的单调性相 反. 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.函数y=1x,y=-4x和y=(-8)x都是指数函数. (　    ) 指数函数y=ax要求a>0,且a≠1,所给函数都不符合要求. ✕ 提示 2.y=x2与y=2x的图象有3个交点. (　    ) √ 3.y=5x与y=5-x的图象关于y轴对称.(　    ) √ 4.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数. (　    ) √ 5.在第一象限内,函数y= 的图象在y= 的图象的上方. (　    ) ✕ 6.函数y=2-x在R上单调递增. (　    ) ✕ 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题 与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)有关的复合函数的定义域、值域的求法 1.函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同. 2.求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据y=ax的单调性确定y=af(x)的值域. 3.求函数y=f(ax)的定义域,先令u=ax,然后确定y=f(u)的定义域,即u=ax的值域,由此构造关于x的 不等式(组),确定x的取值范围,得y=f(ax)的定义域. 4.求函数y=f(ax)的值域,先令u=ax,然后利用u=ax的单调性确定其值域,再确定y=f(u)的值域,即y =f(ax)的值域. 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)函数y= 的定义域为　　　    ; (2)函数y= - +2,x∈[-2,1]的值域为　　　    . 解析    (1)因为y= = ,所以0.5x-8>0,则2-x>23,即-x>3,解得x<-3, 故函数y= 的定义域为(-∞,-3). (2)令t= ,因为-2≤x≤1,所以t= ∈ ,则y=t2-2t+2=(t-1)2+1 , 根据二次函数的图象(图略)可知,当t=1时,ymin=1,当t=4时,ymax=10, 所以函数y= - +2,x∈[-2,1]的值域为[1,10]. (-∞,-3)   [1,10] 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 2 与指数函数有关的函数的单调性问题 1.形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法 　　当a>1时,函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间;当0<a<1时, 函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间. 2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法 　　通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的 单调性,再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性. 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求下列函数的单调区间: (1)y= ; (2)y= -8 +17. 解析    (1)令u=x2-2x,y= . 易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, 又y= 是R上的减函数, ∴y= 的单调递增区间为(-∞,1],单调递减区间为[1,+∞). 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 (2)设u= ,u>0,则y=u2-8u+17(u>0),根据二次函数的性质知,该函数在(0,4]上单调递减,在[4, +∞)上单调递增. 令 ≤4,得x≥-2,∴y= -8  +17的单调递增区间是[-2,+∞). 令 ≥4,得x≤-2,∴y=  -8  +17的单调递减区间是(-∞,-2]. 易错警示    由y=f(u)及u=g(x)的单调性来解决函数y=f(g(x))的单调性问题时,应将y=f(u)的中 间变量u的取值范围转化为x的取值范围,进而得到函数y=f(g(x))的单调区间,解题时注意不要 将中间变量u的取值范围作为函数y=f(g(x))的单调区间. 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 3 指数函数单调性的应用 1.指数幂的大小比较问题的类型及解法 (1)底数相同,指数不同:利用指数函数的单调性来比较. (2)底数不同,指数相同:利用幂函数的单调性来比较. (3)底数不同,指数不同:通过中间量比较. 2.解指数不等式的基本方法 先化为同底指数式,再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来解,注意底数对不等号方 向的影响. 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)设a= ,b= ,c= ,则 (　    ) A.c<b<a    B.a<c<b    C.b<a<c    D.b<c<a (2)解不等式: < (a>0,且a≠1). C 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)b= = ,∵函数y= 是增函数,∴ < ,即b<a.又c= = >  > =a,∴b<a<c.故选C. (2)①当0<a<1时,函数y=ax在R上是减函数,∴x2-3x+1>x2+6,∴-3x>5,解得x<- ; ②当a>1时,函数y=ax在R上是增函数, ∴x2-3x+1<x2+6,∴-3x<5,解得x>- . 综上,当0<a<1时,不等式的解集为 ; 当a>1时,不等式的解集为 . 第三章　指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$