第2章 4_2 简单幂函数的图象和性质（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 知识 清单破 4.2 简单幂函数的图象和性质 一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. 知识点 1 幂函数的概念 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 常见五个幂函数的性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=  y=x-1 图象           定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 单调性 增 x∈[0,+∞)时增, x∈(-∞,0]时减 增 增 x∈(0,+∞)时减, x∈(-∞,0)时减 公共点 图象都经过点(1,1) 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1).(　    ) ✕ 2.幂函数的图象一定不能出现在第四象限,但可能出现在第二象限. (　    ) √ 3.当幂指数α取1,3, 时,幂函数y=xα是增函数. (　    ) √ 4.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数. (　    ) ✕ 5.当α=0时,幂函数y=xα的图象是一条直线.(　    ) ✕ 6.若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大. (　    ) ✕ 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 幂函数的图象 1.根据幂函数在第一象限内的图象可确定幂的指数α与0,1的大小关系.   第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 2.依据幂函数的图象的高低判断幂的指数的大小,相关结论如下: (1)在x∈(0,1)上,幂的指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”); (2)在x∈(1,+∞)上,幂的指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”). 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 若点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,问:当x为何值时,(1)f (x)>g(x)?(2)f(x)=g(x)?(3)f(x)<g(x)? 思路点拨    先由点在图象上确定幂函数的解析式,再作出函数的图象,利用图象解决问题. 解析　设f(x)=xα,将( ,2)代入,得2=( )α,解得α=2,则f(x)=x2. 同理,可得g(x)=x-2. 在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 观察图象可得: (1)当x>1或x<-1时, f(x)>g(x). (2)当x=1或x=-1时, f(x)=g(x). (3)当-1<x<1且x≠0时, f(x)<g(x). 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性.反过来,也可由幂函数的性质去限制α的值(取值范围). 讲解分析 疑难 2 运用幂函数的性质解决相关问题 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知幂函数y=f(x)的图象经过点 . (1)试求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)的奇偶性并写出该函数的单调区间; (3)解关于x的不等式f(3x+2)+f(2x-4)>0. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设f(x)=xα,则f(2)=2α= ,解得α=-3. 故函数f(x)的解析式为f(x)=x-3. (2)f(x)=x-3的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 因为f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x), 所以函数f(x)=x-3为奇函数. f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞),无单调递增区间. (3)结合(2)得f(3x+2)>-f(2x-4)=f(4-2x), 所以 或 或  解得- <x< 或x>2. 故原不等式的解集为 . 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$