第2章 4_1 函数的奇偶性（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 知识点 奇函数、偶函数的定义及图象特征 知识 清单破 4.1 函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A, f(-x)=-f(x),那么称函数f(x)为奇函数 f(-x)=f(x),那么称函数f(x)为偶函数 定义域 特征 关于原点对称 图象 特征 关于原点对称 关于y轴对称 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.已知f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. (　    ) ✕ 2.奇函数的图象一定过原点. (　    ) ✕ 3.偶函数的图象与x轴交点的个数一定是偶数.(　    ) ✕ 4.f(x)是定义在R上的偶函数,则f(0)=0.(　    ) ✕ 5.存在既是奇函数也是偶函数的函数,且不止一个. (　    ) √ 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 函数奇偶性的判断 1.判断函数奇偶性的常见方法 (1)定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则可判定函数既不是奇函数也不是偶函数;若函 数的定义域关于原点对称,则需判断f(-x)是否等于f(x)或-f(x). (2)图象法:函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称,所以通过函数的图 象可直观地判断函数的奇偶性. (3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数; 奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数和一个偶函数的积为奇函 数. 2.分段函数奇偶性的判断 　　可用定义法判断分段函数的奇偶性,此时必须判定每一段函数都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f (x)的特征.也可以作出函数图象,结合对称性判断. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= ; (2)f(x)=|x-2|+|x+2|; (3)f(x)=  第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1, 又|x+2|-2≠0,∴x≠0且x≠-4, ∴函数f(x)的定义域D1={x|-1≤x≤1,且x≠0},∴函数f(x)的定义域关于原点对称,且x+2>0,∴f (x)= = , 对任意的x∈D1,都有f(-x)= =- =-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为R,关于原点对称.对任意的x∈R,都有f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2 |+|x-2|=f(x),∴函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数. (3)函数的定义域D2=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 对任意的x∈D2,当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x); 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x). 综上,函数f(x)= 是偶函数. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 2 函数奇偶性的应用 1.由函数的奇偶性求参数 　　若函数解析式中含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数法求参数;若定义域 中含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点值之和为0求参数. 2.由函数的奇偶性求函数值 　　若所给的函数具有奇偶性,则直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解;若所给的函数不具有奇 偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数,然后利用其奇偶性求值. 3.利用函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 (1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间; (2)把x对称转化到已知区间上,利用已知区间的解析式代入求解; (3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x). 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)若函数f(x)= 是定义在[1-2a,a]上的奇函数,则a2+b2=　　　    . (2)已知函数y=f(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2, 则g(-2)=　　　    . (3)函数f(x)在R上为奇函数,当x>0时,f(x)= +1,求f(x)的解析式. 解析    (1)因为函数f(x)= 是定义在[1-2a,a]上的奇函数, 所以1-2a+a=0,解得a=1. 因为f(-x)=-f(x), 所以 =- ,解得b=0. 所以a2+b2=1. 1  2 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 (2)因为y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数, 所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2)①, f(-2)-g(-2)=g(2)-f(2)②, 由①②可得, f(2)=g(-2), 若f(2)=2,则g(-2)=2. (3)设x<0,则-x>0,所以f(-x)= +1, 因为f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x), 即-f(x)= +1,所以f(x)=- -1, 因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0, 所以f(x)=  第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 3 函数奇偶性与单调性的综合应用 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反. 2.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小,关键是利用奇偶性把自变量转化 到函数的同一个单调区间内,然后利用单调性比较. 　　注意:由f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)及函数的单调性列出不等式(组)时,要注意函数定义域对参 数的影响. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则 当n∈N+时,有 (　    ) A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) C.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) (2)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f  的x的取值范围是　　　     　    . B 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0, ∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0, 即若x2>x1,则f(x2)>f(x1), 若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0, 即若x2<x1,则f(x2)<f(x1), ∴函数f(x)在(-∞,0]上单调递增. ∵f(x)在R上是偶函数,∴函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(-n)=f(n). ∵n∈N+,∴n+1>n>n-1≥0, ∴f(n+1)<f(n)<f(n-1), 即f(n+1)<f(-n)<f(n-1),故选B. (2)∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|), 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 又f(2x-1)<f  ,∴f(|2x-1|)<f  , ∵f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴|2x-1|< ,解得 <x< . ∴x的取值范围是 . 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$