第2章 §3 函数的单调性和最值（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§3 函数的单调性和最值 知识点 1 函数的单调性 知识 清单破 1.增函数与减函数的定义 增函数 减函数 条件 设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 结论 那么就称函数y=f(x)是增函数 那么就称函数y=f(x)是减函数 图象     图象 特征 函数f(x)的图象从左到右是上升的 函数f(x)的图象从左到右是下降的 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单 调递增区间和单调递减区间统称为单调区间. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地,对于函数y=f(x),其定义域为D,如果存在x0∈D,使得f(x0)=M,且对所有的x∈D,都有 f(x)≤M f(x)≥M 结论 那么就称M为函数y=f(x)的最大值 那么就称M为函数y=f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　复合函数的单调性 由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合,得到函数y=f(g(x)),其单调性的判断方法如下: u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时复合函数单调递增, 相异时复合函数单调递减. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.函数f(x)满足f(2)>f(1),则f(x)一定是增函数. (　    ) 如f(x)=(x-1)2. ✕ 提示 2.已知定义在R上的增函数f(x),若f(x)>f(1),则x>1. (　    ) √ 3.x1,x2是f(x)定义域内的任意两个实数,且x1≠x2,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,则f(x)在定义域内为减函 数. (　    ) √ 4.f(x)满足f(x)≥2恒成立,则f(x)min=2. (　    ) 在定义域内必须存在x0,使f(x0)=2,才有f(x)min=2. ✕ 提示 5.函数f(x)取最大值时,对应的x可能有无限多个. (　    ) √ 6.函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞). (　    ) ✕ 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 函数单调性的判断或证明 判断或证明函数单调性的方法 1.定义法:利用定义法判断函数单调性的步骤为取值 作差、变形 定号 判断. 2.图象法:根据函数图象的升降情况进行判断. 3.直接法:运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、一元二次函数、反比例函数 的单调性均可直接得出. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 y=f(x) y=g(x) y=f(x)+g(x) y=f(x)-g(x) 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 4.性质法:f(x),g(x)在公共区间上的单调性如下: 5.复合函数单调性的判断:利用复合函数的内外层函数“同增异减”原则进行判断. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知函数f(x)=x+ ,且此函数图象过点(1,5). (1)求实数m的值; (2)判断函数f(x)在(2,+∞)上的单调性,并用定义法证明你的结论. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵函数f(x)的图象过点(1,5), ∴f(1)=1+m=5,∴m=4. (2)由(1)知m=4,故f(x)=x+ .画出函数f(x)=x+ 的图象(图略),由图象可以看出,函数f(x)=x+ 在 (2,+∞)上是增函数. 证明如下: 任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =x1-x2+ = . ∵2<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>4,∴x1x2-4>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)=x+ 在(2,+∞)上是增函数. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 2 函数单调性的常见应用 1.利用函数的单调性解不等式 依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱掉,列出关于未知量的不等式(组),求解即可,此 时注意函数的定义域. 2.根据函数的单调性求参数的取值范围 (1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)恒成立求 参数的取值范围. (2)利用函数本身所具有的特征:如一元二次函数的图象被对称轴一分为二,可根据对称轴相 对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求参数的取值范围. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 3.利用函数的单调性求解最大(小)值 　　若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则函数f(x)在x=a时取得最小(大)值f(a),在x=b时取 得最大(小)值f(b). 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减(增),在区间[b,c]上单调递增(减),则函数f(x)在x=b时取得最 小(大)值f(b). 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且f(2a-1)<f(1-a),求实数a的取值范围; (2)已知f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围; (3)若f(x)= 是R上的减函数,求实数a的取值范围. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数, 则有 解得 <a<1. 故实数a的取值范围是 . (2)要使f(x)在(-∞,4]上是减函数, 需满足- ≥4,解得a≤-3. 故实数a的取值范围是(-∞,-3]. (3)因为函数f(x)= 是R上的减函数, 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得a≥ . 故实数a的取值范围是 . 易错警示    (1)若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;(2)分 段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意分界点的取值;(3)函数f(x)的单调递增区 间为[a,b]与f(x)在[a,b]上单调递增是不同的. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难3 含参数的一元二次函数在某闭区间上的最大(小)值 1.解决含参数的一元二次函数的最值问题时,首先将一元二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,然 后由a的符号确定其图象的开口方向,再根据x的定义区间结合大致图象及对称轴的位置确定 最大值或最小值. 2.常见的类型 (1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值; (2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值; (3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数. 求解时通常根据区间和对称轴的相对位置进行分类讨论. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值. 解析    f(x)=x2-2ax-1=(x-a)2-1-a2,其图象的对称轴为直线x=a. (1)当a<0时,由图①可知, f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a. (2)当0≤a≤1时,由图②可知, 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a. (3)当1<a≤2时,由图③可知, f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.   (4)当a>2时,由图④可知, 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 f(x)min=f(2)=3-4a, f(x)max=f(0)=-1. 综上, f(x)的最大值M(a)=  f(x)的最小值m(a)=  第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$