第2章 §１ 生活中的变量关系 §2函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§１ 生活中的变量关系 知识点 1 函数的概念与表示 知识 清单破 §2 函数 1.概念:给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每 一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的 一个函数. 2.记法:y=f(x),x∈A. 3.定义域:在函数y=f(x),x∈A中,集合A称为函数的定义域,x称为自变量. 4.值域:与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域. 5.同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是 同一个函数. 6.表示方法:解析法、列表法和图象法. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 几个常用的函数 1.分段函数:如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,函数有着不同的对应 关系,那么称这样的函数为分段函数. 2.狄利克雷函数:f(x)=  3.取整函数:设x为任一实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].我们把y=[x]叫作 取整函数. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.任何两个非空集合之间都可以建立函数关系. (　    ) ✕ 2.根据函数的定义,定义域中的多个x值可以对应同一个y值. (　    ) √ 3.某超限超载检测站通过汽车的数量与时间的关系是函数关系. (　    ) 通过汽车的数量与时间的关系不是确定的关系,不符合函数的定义. ✕ 提示 4.若两个函数定义域相同,则值域相同. (　    ) 如y=x和y=x2,定义域相同,但值域不相同. ✕ 提示 5.分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R. (　    ) ✕ 并集应该是函数的定义域. 提示 6.不是所有的函数都可以用解析法表示,但所有的函数都可以用图象法表示. (　    ) ✕ 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 求函数的定义域 1.求具体函数的定义域 (1)当函数以解析式的形式给出时,其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合.例 如,分式中分母不为0;二次根式的被开方数非负;式子x0中x≠0等. (2)如果函数解析式是由几部分式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实 数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集). (3)由实际背景确定的函数,其定义域要受实际问题的制约. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 2.求抽象函数的定义域 (1)求抽象函数的定义域,要明确以下几点: ①函数f(x)的定义域是指x的取值范围. ②函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围. ③f(t), f(φ(x)), f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同. (2)抽象函数定义域的求解方法: ①已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的取值范围. ②已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求φ(x)的取值范围, 此范围就是f(x)的定义域. ③已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C,求出φ(x) 的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就是f(g(x))的定义域. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 求下列函数的定义域: (1)f(x)= +(1-2x)0; (2)f(x)= . 解析    (1)要使函数有意义, 只需 解得x≥ 且x≠ . ∴函数的定义域为 . (2)要使函数有意义, 只需 解得-2≤x≤2且x≠1. ∴函数的定义域为{x|-2≤x≤2,且x≠1}. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域; (2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域; (3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(3x)的定义域. 解析    (1)易知函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同, ∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1], ∴函数f(2x+1)的定义域为[0,1]. (2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7], ∴函数f(x)的定义域为[3,7]. (3)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7], ∴3x∈[3,7],即x∈ , ∴函数f(3x)的定义域为 . 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难2 求函数的值域 求函数值域的方法 1.观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域. 2.图象法:画出函数的图象,由图象直观得到函数的值域. 3.配方法:若函数是一元二次函数形式,则可通过配方再结合一元二次函数的性质求值域,但 要注意给定区间的一元二次函数最大(小)值的求法. 4.换元法:通过适当换元,可将复杂的函数化为(几个)简单的函数,从而利用自变量的取值范围 求函数的值域. 5.分离常数法:此方法主要是针对解析式是有理分式的函数,即将有理分式转化为“反比例函 数”的形式,便于求值域. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求下列函数的值域: (1)y=x+1,x∈{2,3,4,5,6}; (2)y= ; (3)y=x+ ; (4)y= (-1≤x≤1). 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵当x分别取2,3,4,5,6时,y=x+1分别取3,4,5,6,7,∴函数的值域为{3,4,5,6,7}. (2)令μ(x)=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,且μ(x)≥0,则μ(x)∈[0,3],∴0≤y≤ . 故函数y= 的值域为[0, ]. (3)令t= ,则x= ,且t≥0. 问题转化为求y= +t(t≥0)的值域. ∵y= +t= (t+1)2(t≥0),且(t+1)2≥1, ∴y的取值范围为 . 故该函数的值域为 . (4)y= = -1,∵-1≤x≤1,∴1≤2+x≤3,∴1≤ ≤3,∴0≤ -1≤2,故函数y= (- 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛    要确定函数的值域必须认真分析自变量x与对应关系之间的联系,关键是弄清自 变量变化时由对应关系确定函数值的变化规律. 1≤x≤1)的值域为[0,2]. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 3 求函数的解析式 函数解析式的求法 1.待定系数法:若已知所求函数的类型,则可设出所求函数含有待定系数的解析式,根据题中 的条件求得解析式. 2.换元法:已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t) 代入f(g(x))中,求得f(t)的解析式,再用x替换t,便得到f(x)的解析式. 3.配凑法:此法是把所给函数的解析式,通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的 表达式,然后以x代替“自变量”,即得所求函数解析式. 4.消元法(方程组法):已知f(x)与f  或f(-x)的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等 式,组成方程组,通过解方程组求出f(x). 5.赋值法:依题目的特征,能够由特殊到一般寻找普遍规律,可对变量赋特殊值,从而找出一般 规律,求出函数解析式. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式; (2)已知f( +1)=x+2 ,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)+2f  =x(x≠0),求f(x)的解析式; (4)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f (x)的解析式. 思路点拨    (1)设f(x)=kx+b(k≠0),再根据题设列方程组,求待定系数k,b的值. (2)在“x+2 ”中凑出“ +1”或将“ +1”整体换元求解. (3)将f  ,f(x)看成未知数,通过解方程组求f(x). (4)利用赋值法求解. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设f(x)=kx+b(k≠0), 则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4, ∴ 解得 或  ∴f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2. (2)解法一(配凑法):∵f( +1)=x+2 =( +1)2-1( +1≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1). 解法二(换元法):令 +1=t(t≥1), 则x=(t-1)2(t≥1), ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), ∴f(x)=x2-1(x≥1). (3)在f(x)+2f  =x(x≠0)中,用 替换x,得f  +2f(x)= (x≠0). 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 于是得关于f(x)与f  的方程组 (x≠0), 解得f(x)= - (x≠0). (4)解法一:令y=x,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1). 又f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1, 即f(x)=x2+x+1. 解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1), 即f(-y)=1-y(-y+1). 令-y=x,得f(x)=1+x(x+1)=x2+x+1. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 4 分段函数的理解与应用 1.正确理解分段函数 (1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,只是根据自变量的不同范围分成了几段而已. (2)研究分段函数时,先分段考虑,再整体把握. 2.分段函数的求值策略 (1)已知自变量的值求函数值的步骤: ①确定自变量属于哪一个取值范围; ②代入该取值范围对应的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外 依次求值. (2)已知函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验 函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解. 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知函数f(x)= 求使f(x)<2成立的x的取值集合; (2)已知a≠0, f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),求a的值. 解析    (1)当x≥1时, f(x)<2即3x2-2x<2,得1≤x< ;当x<1时, f(x)<2即-2x2+3<2,得x<- 或  <x<1. 所以使f(x)<2成立的x的取值集合为 . (2)当a>0时,1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=- (舍去); 当a<0时,1-a>1,1+a<1,由f(1-a)=f(1+a)得-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=- . 故实数a的值为- . 第二章　函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$