03-第六章 平面向量初步（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第六章　平面向量初步 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.平面向量a=(1,-2),b=(2,m),若a∥b,则|a-b|=(　　) A. 2.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且,则化简的结果为(　　) A.0　　　　B. 3.任意画一个正三角形,并把每条边三等分,分别以三等分后的各边中间一段为边向外作正三角形,并把这“中间一段”擦掉,得到如图所示的六角星,点O是该六角星的中心.若,则=(　　) A.-　　　　D.-1 4.如图,在重100 N的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,则物体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为　　(　　) A.50 N,50 N　　　　B.50 N,100 N C.50 N,50 N　　　　D.100 N,50 N 5.过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若=0恒成立,则点M是△ABC的(　　) A.垂心　　　　B.重心 C.外心　　　　D.内心 6.在△ABC中,点P是AB上一点,点Q满足,AQ与CP的交点为M.有下列四个命题: 甲:; 乙:; 丙:S△AMP∶S△ACP=1∶5; 丁:3. 如果只有一个是假命题,则该命题为(　　) A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁 7.在平面内,AB1⊥AB2,|,若|,则||的取值范围是(　　) A. C. 8.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E,F分别为AB,BC的中点,P是以A为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点(如图所示).若(λ, μ∈R),则λ-μ的值是(　　) A. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.在平面四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,则下列向量与相等的是(　　) A.2 C. 10.如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得 DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若,则(　　) A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个 C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个 D.满足λ+μ=的点P有两个 11.如图,B是AC的中点,,P是平行四边形BCDE内一点(含边界),且(x,y∈R),则下列说法正确的是(　　) A.当x=0时,y∈[2,3] B.当P是线段CE的中点时,x=- C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段 D.x-y的最大值为-1 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知A(-2,1),B(3,-2)两点,且,则点P的坐标为　　　　.  13.若平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,则|a+b|的取值范围是　　　　.  14.如图,在△ABC中,点D,E是线段BC上的两个动点,且,则x+y=　　　　,的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知e1,e2为两个不共线的单位向量,a=2e1-e2,b=e1+λe2(λ∈R),且a与b共线. (1)求λ的值; (2)在①a=(,0),②b=这两个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上并解答. 问题:若　　　　,分别求e1和e2的坐标.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)如图所示,在△ABC中,=a,=b,D为AB的中点,E为CD上一点,且DC=4EC,AE的延长线与BC交于点F. (1)请用向量a,b表示; (2)请用向量a,b表示,并求出的值. 17.(15分)如图,已知河水自西向东流,流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在水中的实际速度为v2. (1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小; (2)若此人实际的前进方向与水流的方向垂直,且|v2|= m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小. 18.(17分)已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示. (1)设a=(1,1),b=(1,0),求f(a)与f(b)的坐标; (2)求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标; (3)证明:对任意的向量d,e及常数m,n,恒有f(md+ne)=mf(d)+nf(e)成立. 19.(17分)如图,点D,E,F分别在△ABC的边AB,BC,AC上做匀速运动,当t=0时,点D,E,F分别从点A,B,C出发,以各自的定速度向点B,C,A前进,当t=1时,点D,E,F分别到达点B,C,A. (1)证明:在运动过程中(t∈[0,1]),△DEF的重心保持不变; (2)若△ABC的面积为S,求△DEF的面积的最小值(t∈[0,1]). 答案与解析 第六章　平面向量初步 1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.A 9.ABC 10.CD 11.BCD 1.C　因为a∥b,所以1×m=-2×2,解得m=-4,所以a-b=(-1,2),所以|a-b|=. 2.A　因为,所以=0,所以=0,故选A. 3.B　,则, ∵.故选B. 4.C　设两根绳子的拉力分别为. 作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在▱OACB中,∠ACO=∠BOC=60°,所以∠OAC=90°,所以||·cos 30°=50 N,||·sin 30°=50 N,所以||=50 N,故两根绳子拉力的大小分别为50 N,50 N. 故选C. 5.B　可设直线l过点A,则=0,则=0恒成立.如图: 则直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心,故选B. 6.D　若甲为真命题,则点P为AB的中点, 由可得,,因为A,M,Q三点共线,所以,即,t∈R, 由C,M,P三点共线,可得),λ∈R, 所以, 所以,故S△AMP∶S△ACP=1∶5,故乙,丙为真命题. 由P,M,C三点共线,可设,即,m∈R, 由A,M,Q三点共线,可设,μ∈R, 所以即2,故命题丁为假命题. 综上,甲、乙、丙为真命题,丁为假命题. 7.D　以A为原点,的方向分别为x轴、y轴的正方向,建立平面直角坐标系(图略). 设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y),则=(-x,b-y), 则=(a,b),即P(a,b),所以=(a-x,b-y). 由||=1,得(a-x)2+(-y)2=(-x)2+(b-y)2=1, 所以(a-x)2=1-y2≥0,(b-y)2=1-x2≥0. 由|,得(a-x)2+(b-y)2<,即0≤1-y2+1-x2<, 所以<x2+y2≤2,即. 所以||的取值范围是, 故选D. 8.A　由题意得||=2,∠DAP=∠EAP=45°, 所以. 易证得四边形BCDE为平行四边形,故. 因为,所以,即故λ-μ=, 故选A. 9.ABC　因为在平面四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点, 所以, 因为, 所以2,所以A正确, 因为, 所以,所以B正确, 因为, 所以,所以C正确, 因为),所以D错误. 10.CD　以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 取AB=1,∵=(λ-μ)·(1,0)+μ(0,1)=(λ-μ,μ).当P∈AB时,有0≤λ-μ≤1且μ=0,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤1;当P∈BC时,有λ-μ=1且0≤μ≤1,则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3;当P∈CD时,有0≤λ-μ≤1且μ=1,则μ≤λ≤μ+1,∴1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3;当P∈AD时,有λ-μ=0且0≤μ≤1,则λ=μ,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2. 对于选项A,取λ=μ=1,满足λ+μ=2,此时,因此点P不一定是BC的中点,故A错误.对于选项B,当点P与点B重合或点P为AD的中点时,均满足λ+μ=1,故B错误.对于选项C,只有当点P∈BC或P∈CD时,才可能使λ+μ=3.当点P∈BC时,由当P∈CD时,由=(1,1),∴只有当点P与点C重合时,满足λ+μ=3,故C正确.对于选项D,只有当点P∈BC或P∈AD时,才可能使λ+μ=.当点P∈BC时,由当P∈AD时,由故满足λ+μ=的点P有两个,故D正确. 故选CD. 11.BCD　当x=0时,,此时点P在线段BE上,故1≤y≤3,故A错误; 当P是线段CE的中点时,,所以x=-,故B正确; 当x+y为定值1时,A,B,P三点共线,又P是平行四边形BCDE内一点(含边界),故点P的轨迹是线段BC,故C正确; 因为,所以x≤0,y≥1,当点P与B重合时,x=0,y=1,此时x最大,y最小,所以x-y最大,即(x-y)max=-1,故D正确.故选BCD. 12.答案　 解析　设P(x,y),由题可知,=(3-x,-2-y), 因为,所以故点P的坐标为. 13.答案　[1,3] 解析　易得|a+b|≥||a|-|b||=1,当且仅当a,b共线且反向时,等号成立; |a+b|≤|a|+|b|=3,当且仅当a,b共线且同向时,等号成立. 综上所述,1≤|a+b|≤3. 14.答案　2; 解析　设,其中m,n,λ,μ∈R. ∵B,D,E,C四点共线,∴m+n=1,λ+μ=1, ∵,且, ∴x=m+λ,y=n+μ, ∴x+y=m+n+λ+μ=2. 显然x>0,y>0,所以(x+y)·,当且仅当且x+y=2,即x=时取等号.故. 15.解析　(1)由a与b共线,可设b=μa,μ∈R,又a=2e1-e2,b=e1+λe2,所以e1+λe2=2μe1-μe2,(2分) 所以(5分) (2)选择①.设e1=(m,n),因为a=2e1-e2=(,0),所以e2=(2m-,2n),可得(11分) 当e1=时,e2=(0,1);当e1=时,e2=(0,-1).(13分) 选择②.设e1=(m,n),因为b=e1-e2=,所以e2=(2m-,2n),可得(11分) 当e1=时,e2=(0,1);当e1=时,e2=(0,-1).(13分) 16.解析　(1)因为,所以), 所以.(4分) 因为D为AB的中点,所以a, 所以a+b.(7分) (2)因为B,F,C三点共线,所以可设,t∈R, 所以),即,即=tb+(1-t)a,(10分) 因为A,F,E三点共线,所以存在实数λ,使得a+b, 因为a,b不共线,所以 所以,(13分) 所以a+b,的值为7,的值为6.(15分) 17.解析　设=v0,=v1,=v2, 由题意可知v2=v0+v1,||=1,易得四边形OACB为平行四边形.(2分) (1)当此人朝正南方向游去时,四边形OACB为矩形,且|,如图①所示, 图① 则在Rt△OAC中,|v2|=OC==2,(4分) 所以tan α=tan∠AOC=,又0°<α<90°,所以α=60°.(6分) 故此人实际前进方向与水流方向的夹角α为60°,v2的大小为2 m/s.(7分) (2)由题意知∠OCB=90°,且|v2|=||=1,如图②所示,(9分) 图② 则在Rt△OCB中,|v1|=OB==2,tan∠BOC=,(13分) 又0°<∠BOC<90°,所以∠BOC=30°, 则β=90°+30°=120°.(14分) 故此人游泳的方向与水流方向的夹角β为120°,v1的大小为2 m/s.(15分) 18.解析　(1)∵a=(1,1),b=(1,0), ∴f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),(2分) f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(4分) (2)设c=(s,t),则f(c)=(t,2t-s)=(p,q), ∴(9分) ∴c=(2p-q,p).(10分) (3)证明:设d=(a1,a2),e=(b1,b2),(11分) 则md+ne=(ma1+nb1,ma2+nb2), ∴f(md+ne)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).(13分) ∵mf(d)=m(a2,2a2-a1),nf(e)=n(b2,2b2-b1), ∴mf(d)+nf(e)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1)=f(md+ne).(16分) ∴对任意的向量d,e及常数m,n,恒有f(md+ne)=mf(d)+nf(e)成立.(17分) 19.解析　(1)证明:设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),△DEF的重心为O(x0,y0), 由题意可得,在某一时刻t,,(3分) 则D(txB+(1-t)xA,tyB+(1-t)yA),E(txC+(1-t)xB,tyC+(1-t)yB),F(txA+(1-t)xC,tyA+(1-t)yC).(5分) 由三角形的重心坐标公式,得x0=, 把点D,E,F的坐标代入x0,y0中,求得△DEF的重心坐标为,与t无关,即在运动过程中(t∈[0,1]),△DEF的重心保持不变.(8分) (2)∵=1-t, ∴S△DFA∶S=(AD·AF)∶(AB·AC)=t(1-t), 即S△DFA=t(1-t)S,(11分) 同理,S△EFC=S△DEB=t(1-t)S, ∴S△DEF=S-(S△DFA+S△DEB+S△EFC)=(3t2-3t+1)S=S,t∈[0,1],(15分) ∴当t=时,△DEF的面积取得最小值,为S.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$