第6章 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

综合拔高练 高考真题练 考点1　平面向量基本定理的应用 1.(2022新高考Ⅰ,3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n　　　　B.-2m+3n C.3m+2n　　　　D.2m+3n 2.(2020新高考Ⅱ,3)若D为△ABC的边AB的中点,则=　(　　) A.2 C.2 3.(2023天津,14节选)在△ABC中,∠A=60°,BC=1,点D为AB的中点,点E为CD的中点,若设=a,=b,则可用a,b表示为　　　　　　.  4.(2022天津,14节选)在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足.记=a,=b,用a,b表示=　　　　.  考点2　平面向量的坐标及其运算 5.(2022全国乙文,3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 6.(2021全国乙文,13)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　.  7.(2021天津,15节选)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,则|2|的值为　　　　.  8.(2020北京,13节选)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足),则||=　　　.  9.(2020江苏,13)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是　　　　.  高考模拟练 应用实践 1.已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b= (-3,0),λa+μb=(-1,1)(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.25 2.如图所示,在△ABC中,点D是线段AC上靠近A的三等分点,点E是线段AB的中点,则=(　　) A. C.- 3.相传太极八卦图是由古代圣人伏羲氏首创的,图1是一个八卦模型图,其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH所示,O为此正八边形的中心,给出下列结论: ①=0; ②; ③. 其中正确结论的序号为(　　) 图1　　图2 A.①②　　　　B.②③ C.②　　　　D.③ 4.已知P为△ABC所在平面内一点,|=3,则△ABC的面积等于(　　) A.4 5.(多选题)已知O为正方形ABCD所在平面内一点,且,x,y∈R,则下列说法正确的是(　　) A.可以表示平面内任意一个向量 B.若x+y=1,则O在直线BD上 C.若x=y=,则 D.若=0,则S△ABC=6S△BOC 6.在△ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),,AD与BC交于点M,则点M的坐标为　　　　.  7.已知P在线段P1P2的反向延长线上(不包括端点),且,则实数λ的取值范围是　　　　.  8.在△ABC中,AB=AC=12,∠BAC=120°,△ABC内部一点G满足=0,则||=　　　　.  9.如图,当点P,Q三等分线段AB时,设=a,=b,有.如果点A1,A2,…,An-1是线段AB的n(n∈N*,且n≥3)等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论. 10.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线. (1)取BD的中点M,试用; (2)若G是AD上一点,且,直线EF过点G,交AB于点E,交AC于点F.若,其中λ,μ均为正实数,求λ+μ的最小值. 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.B 2.A 5.D 1.B　因为点D在边AB上,BD=2DA,所以,即),所以=3n-2m. 2.A　∵D为△ABC的边AB的中点,∴.故选A. 3.答案　a+b 解析　a+b. 4.答案　-a+b 解析　如图,b-a. 5.D　因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3), 所以|a-b|==5. 6.答案　 解析　由a∥b得2×4=5λ,∴λ=. 7.答案　1 解析　解法一:如图,在AB上取点M,使得BE=EM,易知△BDM为等边三角形,四边形AFDM为平行四边形,所以,所以有|2|=1. 解法二:如图,以BC 的中点O为原点建立平面直角坐标系,则点A,B,C的坐标分别为, 设D点坐标为(x,0),x∈,则+x,所以BE=BDcos 60°=-x, 可得E-,F, 则, 因为2, 所以|2=1. 8.答案　 解析　解法一:∵),∴P为BC的中点.如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系, 由题意知D(0,2),P(2,1), ∴|. 解法二:在正方形ABCD中,由)得点P为BC的中点,∴|. 9.答案　或0 解析　如图,以点A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,则C(0,3),B(4,0), 设,λ∈[0,1],则D(4λ,3-3λ),, 点P在AD的延长线上,故可令,μ>1, 而, ∴), ∴, ∴2m, ∴解得μ=3,而AP=9,∴AD=3. ∴(4λ)2+(3-3λ)2=9,解得λ=或λ=0. 则|或||=0. 高考模拟练 1.B 2.A 3.B 4.D 5.ABD 1.B　设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 因为2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0), 所以即a=(1,2),b=(2,1).所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),则故λ+μ=0. 2.A　因为点D是线段AC上靠近A的三等分点,点E是线段AB的中点, 所以. 3.B　对于①,,故①错误; 对于②,因为,且, 所以,即,故②正确; 对于③,易知∠AOC=×2=90°,所以以OA,OC为邻边的平行四边形是正方形, 又因为OB平分∠AOC,所以,故③正确. 4.D　∵||=3,∴点P在线段BC的垂直平分线上,设线段BC的中点为D,则PD⊥BC, 由=0得,∴AB∥PD,,∴AB⊥BC,||=1,如图所示, ∴BC=2BD=2, ∴S△ABC=BC·AB=. 5.ABD　由题意得AB⊥AD,又,x,y∈R,所以根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量,故A正确; 若x+y=1,则O,B,D三点共线,即O在直线BD上,故B正确; 由题意知),则,所以,故C错误; 由=0,得3(, 若E为BC的中点,则6,即且||,如图所示, 所以S△ABC=6S△BOC,故D正确. 6.答案　 解析　设C(x1,y1),D(x2,y2),因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),所以=(4,3),因为,即(x1,y1)=(4,3),所以C.所以. 设M(x,y),则,因为A,M,D三点共线,所以共线,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. 因为C,M,B三点共线,所以共线,所以=0,即7x-16y=-20. 联立 所以点M的坐标为. 7.答案　(-1,0) 解析　如图.依题意,设(μ<0), 因为, 所以, 则,故=μ<0,所以-1<λ<0. 8.答案　8+4 解析　如图,延长AG,交BC于E点,延长BG,交AC于F点, 由=0知,G为△ABC的重心,于是E为BC的中点,F为AC的中点. 过F作FD垂直于BA,交BA的延长线于D点,易得AF=6, ∠FAD=60°,所以AD=3,DF=3. 在Rt△BDF中,因为BD=AB+AD=15,DF=3, 所以BF=, 故BG=CG=, 又AB=AC,∠BAC=120°,所以∠ABC=∠ACB=30°, 所以AE=AB=6,所以AG=AE=4, 所以|+4. 9.解析　结论=…=. 证明如下: 因为,所以a+b, 同理可得a+b, 所以=a+b=, 又a+b,a+b, 所以=a+b=, …… 综上所述,=…=. 10.解析　(1)由题意得,D为BC的中点,所以,又M为BD的中点, 所以. (2)由, 得, 所以, 因为E,F,G三点共线,所以=1, 则λ+μ=(λ+μ),当且仅当,即λ=μ=时取等号, 所以λ+μ的最小值为. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$