5.4 统计与概率的应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

5.4　统计与概率的应用 基础过关练 题组　统计与概率的实际应用 1.从一群玩游戏的小孩儿中随机抽取20人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏,过了一会儿,再从中抽取30人,发现其中有5个小孩儿曾分得过苹果,估计玩游戏的小孩儿人数为(　　) A.80　　　　B.100 C.120　　　　D.无法计算 2.有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品,甲厂生产的次品率为10%,乙厂生产的次品率为20%,丙厂生产的次品率为30%,生产出来的产品混放在一起.已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的50%,30%,20%,任取一件产品,则取得的产品为次品的概率是(　　) A.0.83　　　　B.0.79　　　　C.0.21　　　　D.0.17 3.采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率,先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示击中目标,5,6,7,8,9,0表示未击中目标,以三个随机数为一组,代表三次发射的结果,经随机数模拟产生了20组随机数: 107　956　181　935　271　832　612　458 329　683　331　257　393　027　556　498 730　113　537　989 根据以上数据,估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为(　　) A. 4.为了解某工厂的1 000名工人的生产情况,从中随机抽取100名工人进行统计,得到如下频率分布直方图,由此可估计该工厂的工人中产量在75件以上(含75件)的工人人数为　　　　.  5.假设某射手每次射击命中率相同,且每次射击之间相互没有影响.若两次射击中至多命中一次的概率是,则该射手每次射击的命中率为　　　　.  6.对于高中生上学是否应该带手机,有调查者进行了随机调查,调查者向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)你上学时是否带手机?学生在被调查时,先背对着调查人员抛掷一枚均匀的硬币(保证调查人员看不到硬币的抛掷结果),如果正面向上,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题.被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是”,由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实进行了回答. 某次调查活动共有800名高中生参与了调查,则回答为“不是”的人数的最大值是　　　　.  7.某学会创办了一个微信公众号,设定了一些固定栏目定期发布文章.为了扩大其影响力,后台统计了反映读者阅读情况的一些数据,其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中,阅读至该篇文章总量的x%(x=10,20,30,…,100)时退出该页面的读者占阅读该文章的所有读者的百分比,例如:阅读跳转率f(20)=5%表示阅读某篇文章的所有读者中,阅读至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%,现从该公众号某两个栏目中各随机选取一篇文章,分别记为文章A,B,其阅读跳转率的折线图如图所示.用频率估计概率. (1)随机选取一名文章A的读者,估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率; (2)现用分层随机抽样的方法,在阅读量没有达到文章总量的30%的文章B的读者中随机抽取6人,任选其中2人进行访谈,求这两人退出页面时的阅读量都为文章总量的10%的概率. 8.为打造精品赛事,某市举办“南粤古驿道定向大赛”,该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组,现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度,得到如下统计表和频率分布直方图: 组别 参赛人数 速度/(千米/时) 少年组 300 [6,8) 成年组 600 [8,10) 专业组 b [10,12] (1)求a,b的值; (2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组的数据用该组区间的中点值作代表,最终计算结果精确到0.01); (3)通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人接受采访,求接受采访的2人都来自成年组的概率. 能力提升练 题组　统计与概率的实际应用 1.某山村海拔较高,交通极为不便,被称为“云端上的村庄”,是建档立卡贫困村.民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶,扶贫组在实地调研后,立足当地独特优势,大力发展乡村经济,带动全村父老乡亲脱贫奔小康.为了解贫困户的帮扶情况,该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了调查,得到如下表所示的频数表: 年收入 /千元 [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18] 频数 15 10 35 20 10 10 (1)估计本村的贫困户的年收入的众数、75%分位数; (2)用分层抽样的方法从这100户贫困户中抽取20户贫困户进行帮扶,若再从抽样调查年收入(千元)在[6,8)和[8,10)内的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象,求至少有一户来自年收入在[8,10)内的概率; 2.某心理咨询机构为了解市民心理健康状况,分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分100分),绘制了如下频率分布直方图,并将分数从低到高分为四个等级: 问卷得分 [40,60) [60,80) [80,90) [90,100] 专项心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 已知专项心理等级为一般的有680人. (1)求频率分布直方图中a的值及专项心理等级为有隐患的人数; (2)在专项心理等级为有隐患的市民中,老年人占,中青年人占,现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解心理有隐患的具体原因,并从中选取2人列为长期关注对象,求至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率; (3)心理咨询机构与该市管理部门设定预案:以抽取样本为例,若市民心理健康指数的平均值不低于0.8,则只需发放心理指导资料,否则需要举办心理健康大讲堂.根据你所学的统计知识,判断该市是否需要举办心理健康大讲堂,并说明理由.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,心理健康指数= 3.某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量(单位:克)分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]内,经统计得到频率分布直方图如图所示. (1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)现按分层抽样的方法从质量在[200,300)内的芒果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个芒果来自同一质量区间的概率; (3)某经销商来收购芒果,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约有10 000个,经销商提出以下两种收购方案: 方案①:所有芒果以9元/千克收购; 方案②:质量小于250克的芒果以2元/个收购,质量大于或等于250克的芒果以3元/个收购. 请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多. 4.2023年10月22日,汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行,志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障,襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均分和25%分位数; (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人,担任本市的宣传者. ①现计划从第一组和第二组抽取的人中,再随机抽取2名作为组长.求选出的两人来自不同组的概率; ②若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均分和方差分别为62分和40,第四组面试者的面试成绩的平均分和方差分别为80分和70,据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 答案与分层梯度式解析 5.4　统计与概率的应用 基础过关练 1.C 2.D 3.B 1.C　设玩游戏的小孩儿共有x人,由题意得,解得x=120. 2.D　由题意可知,任取一件产品,其为次品的概率是0.1×0.5+0.2×0.3+0.3×0.2=0.17. 3.B　三次发射至少有一次击中目标的有:107,181,935,271,832,612,458,329,683,331,257,393,027,498,730,113,537,共17组, 所以该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为. 4.答案　150 解析　根据题中频率分布直方图可知,该工厂的工人中产量在75件以上(含75件)的频率为0.010×10+0.005×10=0.15, ∴估计该工厂的工人中产量在75件以上(含75件)的工人人数为 1 000×0.15=150. 5.答案　 解析　设该射手“第i次射击命中目标”为事件Ai(i=1,2),Ai相互独立,P(Ai)=p,“两次射击中至多命中一次”为事件A,则A=A2, 依题意得P(A)=P(A2)=(1-p)2+2p·(1-p)=,又0≤p≤1,所以p=. 6.答案　800 解析　∵共有800名高中生参与了调查, ∴回答为“不是”的人数的最大值是800. 7.解析　(1)由题图可知,对于文章A的读者,f(90)+f(100)=0.3+0.1=0.4, 因此随机选取一名文章A的读者,估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率为0.4. (2)阅读量没有达到文章总量的30%的文章B的读者,即阅读量为该篇文章总量的10%和20%时退出该页面的读者,易得阅读跳转率均为5%. 因此抽取的6人中有3人阅读至文章总量的10%时退出,有3人阅读至文章总量的20%时退出.记阅读至文章总量的10%的3位读者的编号分别为A,B,C,阅读至文章总量的20%的3位读者的编号分别为a,b,c, 记事件M=“这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%”, 任取2人的样本空间为Ω={AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc},共15个样本点,且每个样本点是等可能发生的,其中事件M={AB,AC,BC},共3个样本点, 由古典概型的概率公式可得,P(M)=, 故这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率为. 8.解析　(1)由题中频率分布直方图可知0.1+0.15+a+0.3+0.15+0.1=1, ∴a=0.2. 由题知少年组人数为300,对应的频率为0.1+0.15=0.25, 故参赛的总人数n==1 200, ∴b=1 200-300-600=300. (2)平均速度为6.5×0.1+7.5×0.15+8.5×0.2+9.5×0.3+10.5×0.15+11.5×0.1=9.05(千米/时), ∴估计本次大赛所有选手的平均速度为9.05千米/时. (3)成年组和专业组的参赛人数分别为600、300. 设在成年组和专业组抽取的人数分别为x,y,则,∴x=4,y=2. ∴通过分层抽样在成年组中抽取4人,在专业组中抽取2人. 设成年组中的4人分别为A,B,C,D,专业组中的2人分别为a,b. 从6人中抽取2人接受采访的所有结果为AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,共15种. 接受采访的2人均来自成年组的所有结果为AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种. 故接受采访的2人都来自成年组的概率为. 能力提升练 1.解析　(1)众数为=11(千元),∵前三组的频率之和为0.15+0.1+0.35=0.6,前四组的频率之和为0.6+0.2=0.8. ∴75%分位数在[12,14)内, 设75%分位数为t千元,则有,解得t=13.5,即75%分位数为13.5千元. (2)由题表及分层抽样可知抽取的年收入在[6,8)内的户数为×20=3,年收入在[8,10)内的户数为×20=2,记年收入在[6,8)内的3名贫困户分别为A,B,C,年收入在[8,10)内的2名贫困户分别为a,b, 则从中随机抽取2户的所有可能结果为:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10种,其中抽到至少有一名在[8,10)内的贫困户的可能结果为:Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共7种,故年收入在[8,10)内的贫困户至少有1人被抽到的概率P=. 2.解析　(1)由题图得(0.002+0.004+0.014+0.02+a+0.025)×10=1,解得a=0.035. 设总共调查了x人,则10×(0.014+0.02)x=680,解得x=2 000,所以专项心理等级为有隐患的人数为10×(0.002+0.004)×2 000=120. (2)由题意得,老年人抽取4人,分别记为a,b,c,d,中青年人抽取2人,分别记为A,B. 从6人中随机抽取2人,可能的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共15种,其中至少有一位老年人被抽到的情况有(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d), (c,d),共14种,故至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率P=. (3)由题图得,市民心理健康问卷调查的平均得分为45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7(分),所以市民心理健康指数的平均值为=0.807>0.8,所以只需发放心理指导资料,不需要举办心理健康大讲堂. 3.解析　(1)由题图得,这组数据的平均数=0.001×50×125+0.003 4×50×175+0.004×50×225+0.006×50×275+0.005×50×325+0.000 6×50×375=256(克). (2)易知抽取的质量在[200,250)内的芒果有2个,分别记为a1,a2,质量在[250,300)内的芒果有3个,分别记为b1,b2,b3. 从这5个芒果中随机抽取2个,有10种不同情况:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3). 其中“2个芒果来自同一质量区间”的情况有(a1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共4种, 故2个芒果来自同一质量区间的概率为. (3)方案①:收入y1=×10 000×9=×10 000×9=23 040(元). 方案②:质量小于250克的芒果的收入为(0.001+0.003 4+0.004)×50× 10 000×2=8 400(元), 质量不小于250克的芒果的收入为(0.006+0.005+0.000 6)×50× 10 000×3=17 400(元), 故方案②的收入y2=8 400+17 400=25 800(元). 因为23 040<25 800,所以选择方案②获利更多. 4.解析　(1)由题意可知 解得 可知每组的频率依次为0.05,0.25,0.45,0.2,0.05, 所以平均分等于50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5(分), 设25%分位数为x分, 因为0.05+0.25=0.30>0.25, 所以0.05+(x-55)×0.025=0.25,解得x=63, 故25%分位数为63分. (2)①因为[45,55)和[55,65)的频率的比值为, 故在[45,55)和[55,65)中分别选取1人和5人,分别编号为A和a,b,c,d,e, 则在这6人中随机抽取2人的样本空间Ω包含的样本点有:Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de, 共15个,即n(Ω)=15, 记事件B为“两人来自不同组”,则B包含的样本点有:Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,共5个,即n(B)=5, 所以P(B)=. ②设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均分与方差分别为分,分,,且两组频率的比值为, 所以第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均分=70(分),第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差s2=, 故估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$