4.3 指数函数与对数函数的关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

1.反函数的概念 一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函 数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x). 2.函数y=f(x)与y=f-1(x)的定义域和值域正好互换,且它们的图象关于直线y=x对称. 4.3 指数函数与对数函数的关系 知识 清单破 知识点 反函数 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.函数y= 的反函数是y=logx .(　    ) 2.函数y=log3x的反函数的值域为R. (　    ) 3.函数y=ex的图象与y=lg x的图象关于直线y=x对称. (　    ) 4.任何一个函数都有反函数. (　    ) 5.存在一个函数,它和它的反函数是同一函数.　     (　    ) 6.函数与其反函数图象的交点必在直线y=x上. (　    ) ✕ ✕ ✕ ✕ √ 如函数y= . 提示 提示 ✕ 如函数y= 与其反函数图象有无数个交点,但交点中只有两个在直线y=x上. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 1.对反函数概念的理解 (1)并不是任意一个函数y=f(x)都存在反函数,只有当函数的定义域与值域中的值是一一对应 的关系时,这个函数才存在反函数. (2)反函数也是函数. (3)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致. (4)奇函数不一定存在反函数,若存在,它的反函数也是奇函数;偶函数一定不存在反函数. (5)因为互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,所以若y=f(x)的图象过点(a,b),则点 (b,a)必在其反函数的图象上. 疑难 情境破 疑难 反函数 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 2.求反函数的基本步骤 (1)求函数y=f(x)的值域,它是反函数的定义域; (2)由y=f(x)解出x=f-1(y); (3)交换x,y,得y=f-1(x); (4)写出反函数的定义域. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象过点(1,7),其反函数f-1(x)的图象过点(4,0),则f(x)=  (　    ) A.4x+3　　　    B.3x+4　　　    C.5x+2　　　    D.2x+5 A 解析    因为f-1(x)的图象过点(4,0), 所以f(x)的图象过点(0,4). 又f(x)的图象过点(1,7), 所以 解得 所以f(x)=4x+3. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　已知函数y=f(x)是函数y= (x∈R)的反函数. (1)求函数y=f(x)的表达式,并写出其定义域; (2)判断函数y=f(x)的单调性,并加以证明. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵y= = =1- , ∴y≠1,∴3x= , ∴x=log3 ,则 >0,∴-1<y<1, ∴所求表达式为y=f(x)=log3 ,定义域为{x|-1<x<1}. (2)y=f(x)在(-1,1)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2, 易得f(x1)-f(x2)=log3 -log3 =log3 , ∵0<x1+1<x2+1,0<1-x2<1-x1, ∴0< · <1,∴log3 <0, ∴f(x1)<f(x2),∴y=f(x)在(-1,1)上单调递增. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$