精品解析：四川省成都市温江区王府外国语学校2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷　

2024-2025学年四川省成都市温江区王府外国语学校八年级（上） 期中数学试卷 一．选择题（共8小题，共32分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　） A. 4，3， B. 6，8，10 C. 8，15，16 D. 7，24，25 4. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标是（　　） A. （﹣5，﹣2） B. （2，﹣5） C. （﹣2，5） D. （﹣2，﹣5） 6. 下列说法正确的个数为（ ） ①没有平方根； ②36的平方根是； ③立方根等于它本身的数是0，1； ④49的算术平方根是7． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. y的值随x的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 与y轴交于 8. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，共20分） 9. 的绝对值是 __________________； _____5（选填“＞”“＜”或“＝”）． 10. 已知点在x轴上，则a的值是 _____． 11. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 12. 已知直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边上的高为___________． 13. 已知二元一次方程组，则的值为 _____． 三、解答题（共5题，共计48分） 14. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程； （4）解方程组：（请用代入消元法求解方程组）． 15. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 16. 如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 17. 已知一次函数的图象分别交轴，轴于、两点． （1）求出交点、的坐标； （2）请在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）若点坐标为，求的面积． 18. 如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． （1）如图1，若、满足，求点的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 一、填空题（20分） 19. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：=___________． 20. 当m为 __________时，点到x轴的距离等于它到y轴距离． 21. 已知一次函数的图象经过原点，则的值为_________． 22. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶开心点”（其中为常数，且），例如点的“2阶开心点”为，即．若点的坐标为，则点的“3阶开心点”的坐标为___________；若点的“阶开心点”在第一象限，且到轴的距离为9，则点的坐标为__________． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则长的最小值为_____． 二、解答题（共3小题，满分0分） 24. 在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ∵， ∴， ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 25. 如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，． （1）求和的长； （2）求四边形的面积． 26. 点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点． （1）已知点Q的坐标为． ①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标 ； ②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； （2）如图3，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市温江区王府外国语学校八年级（上） 期中数学试卷 一．选择题（共8小题，共32分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数比的数． 【详解】A、，是整数，属于有理数． B、 是整数，属于有理数． C、，是整数，属于有理数． D、因为7不是完全平方数，属于无限不循环小数，故为无理数． 故选：D 2. 如图，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与正方形的性质，根据勾股定理与正方形的性质解答，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由正方形的性质可知，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：． 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　） A. 4，3， B. 6，8，10 C. 8，15，16 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.32＋（）2＝42，故此选项中的三条线段能构成直角三角形； B.62＋82＝102，故此选项中的三条线段能构成直角三角形； C.82＋152≠162，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形； D.72＋242＝252，故此选项中的三条线段能构成直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 4. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．函数自变量的取值范围，根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标是（　　） A. （﹣5，﹣2） B. （2，﹣5） C. （﹣2，5） D. （﹣2，﹣5） 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】解：∵点A（2，5）与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是（-2，-5）， 故选D． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 6. 下列说法正确的个数为（ ） ①没有平方根； ②36的平方根是； ③立方根等于它本身的数是0，1； ④49的算术平方根是7． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐一判断各说法的正误． 【详解】①负数没有平方根，正确； ②36的平方根是，正确； ③立方根等于本身的数包括0、1、，原说法缺少，错误； ④49的算术平方根是7，正确． 综上，正确的有①、②、④，共3个， 故选：C． 7. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. y的值随x的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 与y轴交于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的图象性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的，故随增大而减小，原选项不符合题意； B、的，，图象经过第一、二、四象限，原选项不符合题意； C、当时，，故点在图象上，原选项符合题意； D、当时，，与轴交于，原选项不符合题意． 故选：C 8. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，根据题意得，先在中，由勾股定理求出的长，后在中，由勾股定理即可求出的长即可得到答案．熟练运用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：A． 二．填空题（共5小题，共20分） 9. 的绝对值是 __________________； _____5（选填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数的性质，熟练掌握实数的大小比较方法，实数的性质是解题的关键． 根据实数的性质，实数的大小比较方法解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 10. 已知点在x轴上，则a的值是 _____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 根据x轴上的点的纵坐标为0列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得：． 故答案为：7． 11. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为． 12. 已知直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边上的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边，在根据面积相等即可求出高． 【详解】解：根据勾股定理可得， 斜边为 ， 设斜边上高为h根据三角形面积公式可得， ， 解得 ， 故答案为． 【点睛】本题考查勾股定理及三角形面积公式，解题关键是利用等积法换算斜边的高． 13. 已知二元一次方程组，则的值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程组中的两个方程相加即可得到结论． 【详解】解：， ，得， ∴， 故答案为：3． 三、解答题（共5题，共计48分） 14. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程； （4）解方程组：（请用代入消元法求解方程组）． 【答案】（1）；（2）3；（3）或；（4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，平方根，零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （3）利用平方根的意义进行计算，即可解答； （4）利用代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ； （4） 由得：③ 把③代入②得：， 解得：， 把代入（3）得：， ∴原方程组的解为：． 15. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出，，的值； （2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵是的整数部分， ∴． 【小问2详解】 解：将，，代入得： ， ∴的平方根是． 16. 如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据图形即可写出点的坐标； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得：，； 【小问3详解】 解：的面积为． 17. 已知一次函数的图象分别交轴，轴于、两点． （1）求出交点、的坐标； （2）请在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）若点坐标为，求的面积． 【答案】（1）点的坐标是，点的坐标是； （2） 一次函数的图象如图： （3）． 【解析】 【分析】（）把，分别代入一次函数解析式中，可得点，的坐标； （）利用两点法画出函数的图象即可； （）求得直线的解析式，即可求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可； 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键． 【小问1详解】 把，代入中，可得：， ∴点的坐标是； 把代入中，可得：， ∴点的坐标是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设与轴的交点为，设直线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴直线为， 令，则， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． （1）如图1，若、满足，求点的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 【答案】（1）； （2）存在，或或； （3） ，证明如下： 过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图：过点作轴于． ， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 存在，求解如下： 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； 【小问3详解】 略 一、填空题（20分） 19. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：=___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据数轴可得： ，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可． 本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键． 【详解】由题意得，， ∴ ， 故答案为：2． 20. 当m为 __________时，点到x轴的距离等于它到y轴距离． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度并列出绝对值方程是解题的关键． 根据点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴或， 解得或， 故答案为：或 ． 21. 已知一次函数的图象经过原点，则的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的定义、利用平方根解方程，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入一次函数的解析式可得一个关于的方程，再利用平方根解方程可求出的值，然后根据一次函数的定义可得，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， 解得， 又∵函数是一次函数， ∴， 解得， 综上，， 故答案为：4． 22. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶开心点”（其中为常数，且），例如点的“2阶开心点”为，即．若点的坐标为，则点的“3阶开心点”的坐标为___________；若点的“阶开心点”在第一象限，且到轴的距离为9，则点的坐标为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，新定义运算，整式的加减，解一元一次方程等知识点，正确理解题目中“阶开心点”的定义是解题的关键． 根据“阶开心点”的定义求解即可；先根据新定义求出点的“阶开心点”的坐标，再根据到轴的距离为9列方程求解即可． 【详解】解：依题意得， ∴点的“3阶开心点”的坐标为； ∵点的“阶开心点”为， ∴点的坐标为，即， ∵点在第一象限，且到轴的距离为9， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则长的最小值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查最短距离，全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接，得，可证，将转化到上，轴时为最小值，即可求得答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接， ∵点A的坐标为， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即轴时，有最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 二、解答题（共3小题，满分0分） 24. 在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ∵， ∴， ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）9 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化和二次根式的混合运算． （1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）先分母有理化得到，再变形得到，则两边平方可得，接着把变形我，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵， 即， 25. 如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，． （1）求和的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）和的长分别为8、8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，进而再利用直角三角形所对的直角边是斜边的一半求出、再求解，的长即可； （2）结合（1）可得，再得出四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：过点作， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及三角形面积，二次根式的运算等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点． （1）已知点Q的坐标为． ①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标 ； ②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； （2）如图3，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】（1）①或；②或 （2） 有最小值，最小值为， 理由：过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，如图， 则，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ， ， 点的横坐标为5，即点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则，， 当点与点重合时，的值最小，最小值为． 过点作于点，则，， ， ． 有最小值，最小值为． 【解析】 【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可； （2）过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则，进而得到当点与点重合时，的值最小，最小值为，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①作出点关于点的等垂点，如图， 则， 点的坐标为，点为原点， ， ∴， ∵，即轴， 关于的等垂点的坐标为或． ②当点在轴的正半轴上时，过点作轴于点，如图， ∵恰好在一次函数的图象上， 设 ∴， 点的坐标为 ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ∴ ， ， ∴； 当点在轴的负半轴上时，过点作轴于点，如图， 恰好在一次函数的图象上， 设， ， 同理可得：， ， 综上，点的坐标为或； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等等．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $