2025年四川省内江市隆昌市知行中学中考数学二模试卷

2025年四川省内江市隆昌市知行中学中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。） 1．（3分）的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．2 2．（3分）被命名为COVID﹣19新型冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．将数0.00000009用科学记数法表示为（　　） A．0.9×10﹣8 B．0.9×10﹣7 C．9×10﹣8 D．9×10﹣7 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣mn2）2＝mn4 D．m6÷m2＝m4 4．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）规定：对于任意实数m、n满足【m，n】☆t＝mt﹣n，等式右边是常规乘法与减法运算，如【3，2】☆4＝3×4﹣2．若关于x的方程【x﹣m，1﹣x】☆（x+1）＝0的解的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 7．（3分）如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC＝68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数是（　　） A．92° B．110° C．112° D．120° 8．（3分）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（　　） A．56° B．60° C．68° D．70° 9．（3分）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．12 B．18 C．30 D．42 11．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→N⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（，）；如此下去，…，则A2024的坐标是（　　） A．（3，2） B．（1，3） C．（，） D．（，） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。） 13．（5分）函数的自变量x的取值范围是　 　 ． 14．（5分）若，则＝　 　 ． 15．（5分）分解因式：x4﹣1＝　 　 ． 16．（5分）已知如图，扇形OAB的半径为2cm，弧长为cm，求阴影部分的面积为 　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）五四青年节，某校团委组织新团员开展了主题为“青年大学习，青春勇担当”的知识竞赛活动，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）参加本次知识竞赛活动的新团员共有 　 　 人；扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角度数为 　 　 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）将本次知识竞赛成绩获得A等级的团员依次用A1，A2，A3…表示，该校团委决定从这些A等级的团员中，随机选取两名团员在校团课中进行“勇担使命，争做有为青年”的发言，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到团员A1和A2的概率． 19．（8分）小明将一个照明光线始终都与灯带BC垂直的L型台灯放在水平的书桌上，已知灯柱AB高40cm，他发现：当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE为35cm．当灯带BC与水平线BM夹角为30°时（图2），求台灯最高点C到桌面的距离CK．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16） 20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为（6，﹣1），DE＝3． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于12，求P点的坐标． （3）直接写出关于x的不等式的解集． 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。） 22．（6分）已知非负数a、b、c满足，若S＝3a+2b﹣c，则S的最大值与最小值之差为 　 　 ． 23．（6分）若，则a1+a3的值为　 　 ． 24．（6分）如图，在边长是6的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则的最小值是 　 　 ． 25．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②9a﹣3b+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④若点（0.3，y1），（﹣2.5，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确结论有 　 　 （将正确的序号填写在横线上）． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分。解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 26．（12分）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵≥0，∴≥0，∴a+b≥只有当a＝b时，等号成立． 结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a＝b时，a+b有最小值 根据上述内容，填空：若m＞0，只有当m＝　 　 时，最小值，最小值为　 　 ． 探索应用：如图，已知A（﹣2，0），B（0，﹣3），P为双曲线y＝上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点 C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并求出当四边形ABCD面积取得最小值时它的周长． 实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共490元；二是燃油费，每千米为1.6元，三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001，一次运输的路程为x千米，求当x多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低平均每千米的运输成本是多少元？ 27．（12分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G． （1）求证：AG∥CD； （2）求证：PA2＝PG•PB； （3）若sin∠APD＝，PG＝6．求tan∠AGB的值． 28．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x+2）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接BC，tan∠ABC＝2． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D在直线BC下方的抛物线上； ①如图2连接OD，BD，CD，设△OBD的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1+S2的值最大时，求点D的坐标； ②如图3，连结AD、AC，交BC于点E，若△ABE∽△CBA，求点D的横坐标． 2025年四川省内江市隆昌市知行中学中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D A C B C C C A D 题号 12 答案 B 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。） 1．（3分）的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．2 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：＝4，4的平方根是±2． 故选：C． 【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．（3分）被命名为COVID﹣19新型冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．将数0.00000009用科学记数法表示为（　　） A．0.9×10﹣8 B．0.9×10﹣7 C．9×10﹣8 D．9×10﹣7 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00000009＝9×10﹣8． 故选：C． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣mn2）2＝mn4 D．m6÷m2＝m4 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，合并同类项的运算法则进行计算，逐一判断即可． 【解答】解：A．原式不能合并同类项，故本选项不符合题意； B．原式＝a5，故本选项不符合题意； C．原式＝m2n4，故本选项不符合题意； D．原式＝m4，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据俯视图得到这个几何体为锥体，再根据主视图和左视图得出该几何体是柱体和锥体的组合体． 【解答】解：根据三视图进行观察，下半部分是圆柱，上半部分是圆锥． 故选：A． 【点评】本题考查由三视图判断几何体和学生的空间想象能力，结合三视图的特征想象空间图形是解题的关键． 5．（3分）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据1块A，B型钢板可制成C，D型钢板的数量，结合现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板，用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板，且现在需要58块C型钢板， ∴3x+5y＝58； ∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板，用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板，且现在需要40块D型钢板， ∴4x+2y＝40． ∴根据题意可列方程组． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．（3分）规定：对于任意实数m、n满足【m，n】☆t＝mt﹣n，等式右边是常规乘法与减法运算，如【3，2】☆4＝3×4﹣2．若关于x的方程【x﹣m，1﹣x】☆（x+1）＝0的解的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【分析】先根据新定义运算将方程转化为常规的一元二次方程形式，然后通过计算根的判别式Δ的值来判断方程根的情况． 【解答】解：∵【m，n】☆t＝mt﹣n， ∴【x﹣m，1﹣x】☆（x+1）＝（x﹣m）（x+1）﹣（1﹣x）＝x2+（2﹣m）x﹣（m+1）＝0， ∵在x2+（2﹣m）x﹣（m+1）＝0中，a＝1，b＝2﹣m，c＝﹣（m+1），Δ＝b2﹣4ac， ∴Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×[﹣（m+1）]＝m2+8＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，本题的关键在于理解新定义运算，将其转化为常规的一元二次方程，然后利用根的判别式判断根的情况． 7．（3分）如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC＝68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数是（　　） A．92° B．110° C．112° D．120° 【分析】先求解∠ADC＝360°﹣2×90°﹣68°＝112°，再利用平行线的性质可得答案． 【解答】解：∵∠ABC＝68°，BC⊥CD，AD⊥AB， ∴∠A＝∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝360°﹣2×90°﹣68°＝112°（四边形内角和定理）， ∵AD∥CE， ∴∠DCE＝∠ADC＝112°（两直线平行，内错角相等）； 故选：C． 【点评】本题考查的是四边形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 8．（3分）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（　　） A．56° B．60° C．68° D．70° 【分析】连接AD，则∠BAD+∠BCD＝180°，而∠BAE+∠BCD＝236°，所以∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°，求得∠EAD＝56°，由切线长定理得EA＝ED，则∠EDA＝∠EAD＝56°，所以∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝68°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAE+∠BCD＝236°， ∴∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°， ∴∠EAD＝56°， ∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D， ∴EA＝ED， ∴∠EDA＝∠EAD＝56°， ∴∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝180°﹣56°﹣56°＝68°， 故选：C． 【点评】此题重点考查圆内接四边形的对角互补、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（3分）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先由菱形性质可得对角线AC与BD交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA＝OC＝OM＝2，进而由菱形对角线求出边长，由sin∠MAC＝sin∠OBC＝解三角形即可求出MC＝ACsin∠MAC＝，MN＝BMtan∠OBC＝． 【解答】解：连接AC，如图， ∵菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， 又∵点O是BD的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴OA＝OC， ∵OM＝2，AM⊥BC， ∴OA＝OC＝OM＝2， ∵BD＝8， ∴OB＝OD＝BD＝4， ∴BC＝＝＝2，tan∠OBC＝＝＝， ∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°， ∴∠MAC＝∠OBC ∴sin∠MAC＝sin∠OBC＝＝＝， ∴MC＝ACsin∠MAC＝， ∴BM＝BC﹣MC＝2﹣＝， ∴MN＝BMtan∠OBC＝×＝， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．熟练掌握各知识点是解题的关键． 10．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．12 B．18 C．30 D．42 【分析】先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数a的值，再进行相加求解． 【解答】解：， 解不等式①，得x≤4， 解不等式②，得x＜a+2， 由题意得a+2＞4， 解得a＞2； 解方程﹣＝1得， y＝，且y≠﹣2， 当a＝8时，y＝＝﹣1； 当a＝6时，y＝＝﹣2（不合题意，舍去）； 当a＝4时，y＝＝﹣3， ∴符合条件的a有8，4， ∴8+4＝12， 即所有满足条件的整数a的值之和是12． 故选：A． 【点评】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 11．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明AE＝AF；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明EM＝FM；设DM＝x，将EM、MC和CE分别表示出来，在Rt△MCE中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； ∵AM平分∠EAF， ∴∠EAM＝∠FAM， 在△AEM和△AFM中， ， ∴△AEM≌△AFM（SAS）， ∴EM＝FM； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°， 设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x， 在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32， 解得x＝． 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→N⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（，）；如此下去，…，则A2024的坐标是（　　） A．（3，2） B．（1，3） C．（，） D．（，） 【分析】根据所给滚动方式，依次求出点An（n为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点A1的坐标为（2，0）， 点A2的坐标为（2，0）， 点A3的坐标为（）， 点A4的坐标为（3，2）， 点A5的坐标为（3，2）， 点A6的坐标为（）， 点A7的坐标为（1，3）， 点A8的坐标为（1，3）， 点A9的坐标为（）， 点A10的坐标为（0，1）， 点A11的坐标为（0，1）， 点A12的坐标为（）， 点A13的坐标为（2，0）， …， 由此可见，点An的坐标每12个循环一次， 因为2024÷12＝168余8， 所以点A2024的坐标为（1，3）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意发现点An的坐标每12个循环一次是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。） 13．（5分）函数的自变量x的取值范围是　x＞﹣2　 ． 【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案． 【解答】解：由题意，得x+2＞0， 解得：x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键． 14．（5分）若，则＝　4　 ． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴a＝﹣， ∴当a＝﹣时，原式＝＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 15．（5分）分解因式：x4﹣1＝　（x2+1）（x+1）（x﹣1）　 ． 【分析】首先把式子看成x2与1的平方差，利用平方差公式分解，然后再利用一次即可． 【解答】解：x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（x2+1）（x+1）（x﹣1）． 【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练平方差公式的结构特点是解题的关键． 16．（5分）已知如图，扇形OAB的半径为2cm，弧长为cm，求阴影部分的面积为 　（﹣）cm2　 ． 【分析】过点O作OH⊥AB于点H，根据弧长公式求出∠AOB的度数，由等边三角形的判定与性质、特殊角的三角形函数值、三角形的面积公式求出△AOB的面积，由扇形面积公式求出扇形AOB的面积，再根据阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积计算即可． 【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于点H． 设∠AOB＝n°， 根据题意，得×2π×2＝π， 解得n＝60， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2cm， ∵∠AOH＝∠AOB＝30°， ∴OH＝OA•cos∠AOH＝2×＝（cm）， ∴S△AOB＝AB•OH＝×2×＝（cm2）， ∵S扇形AOB＝×2×π＝（cm2）， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝（﹣）（cm2）． 故答案为：（﹣）cm2． 【点评】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，掌握等边三角形的判定与性质、特殊角的三角形函数值、三角形的面积和扇形面积计算公式、弧长计算公式是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义、特殊角的三角函数值计算，然后合并即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可． 【解答】解：（1）原式＝+1﹣2×+2 ＝+1﹣+2 ＝3； （2）原式＝• ＝• ＝． 【点评】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了实数的运算． 18．（8分）五四青年节，某校团委组织新团员开展了主题为“青年大学习，青春勇担当”的知识竞赛活动，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）参加本次知识竞赛活动的新团员共有 　20　 人；扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角度数为 　72°　 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）将本次知识竞赛成绩获得A等级的团员依次用A1，A2，A3…表示，该校团委决定从这些A等级的团员中，随机选取两名团员在校团课中进行“勇担使命，争做有为青年”的发言，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到团员A1和A2的概率． 【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数；总人数减去B、C、D等级人数求得A等级人数，再用360°乘以A等级人数所占比例即可； （2）计算出A等级人数，然后补图即可； （3）将A等级的4名学生用A1，A2，A3，A4表示，列出图表就可以得出所有可能情况，从而求出结论． 【解答】解：（1）6÷30%＝20人， 圆心角的度数为， 故答案为：20，72°； （2）A 等级的团员数为20﹣8﹣6﹣2＝4人， 补全条形统计图为： （3）将A等级的4名学生用．A1，A2，A3，A4表示，列表为： A1 A2 A3 A4 A1 A1A2 A1A3 A1A4 A2 A2A1 A2A3 A2A4 A3 A3A1 A3A2 A3A4 A4 A4A1 A4A2 A4A3 由列表可知：恰好抽到学生 A1和 A2的概率为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 19．（8分）小明将一个照明光线始终都与灯带BC垂直的L型台灯放在水平的书桌上，已知灯柱AB高40cm，他发现：当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE为35cm．当灯带BC与水平线BM夹角为30°时（图2），求台灯最高点C到桌面的距离CK．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16） 【分析】由图1可知，BD∥ME，BM∥DE，四边形BMED为平行四边形，BM＝DE＝35cm，Rt△BCM中，可得BC＝BM•cos9°≈0.99×35＝34.65cm，如图2所示，可知CJ⊥BM于J，又因为∠CBM＝30°，则CJ＝17.325cm，故CK＝CJ+JK＝CJ+AB＝17.325+40＝57.325≈57.3cm． 【解答】解：由图1可知，BD∥ME，BM∥DE， 则四边形BMED为平行四边形，BM＝DE＝35cm， 在Rt△BCM中，BC＝BM•cos9°≈0.99×35＝34.65（cm）， 如图2所示，可知CJ⊥BM于J，又因为∠CBM＝30°， 则CJ＝＝17.325（cm）， 故CK＝CJ+JK＝CJ+AB＝17.325+40＝57.325≈57.3（cm）， 故最高点C到桌面的距离CK为57.3cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，则∠AEB＝∠DAE，再证明∠AEB＝∠BCF，得AE∥CF，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）过点C作CH⊥AD于点H，证明△CDF是等边三角形，得CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，进而由勾股定理得CH＝，∴S△CDF＝DF•CH＝×2×＝，再由平行四边形的性质得CE＝AF＝1，然后证明△DGF∽△EGC，得＝＝＝2，FG＝CF，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线， ∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD， ∴∠AEB＝∠BCF， ∴AE∥CF， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H， 则∠CHD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°， ∵CF是∠BCD的平分线， ∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°， ∴∠ADC＝∠DCF＝60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1， 在Rt△CHD中，由勾股定理得：CH＝＝＝， ∴S△CDF＝DF•CH＝×2×＝， 由（1）得：四边形AECF是平行四边形， ∴CE＝AF＝DF＝×2＝1， ∵AD∥BC， ∴△DGF∽△EGC， ∴＝＝， ∴FG＝CF， ∴S△GDF＝S△CDF＝． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为（6，﹣1），DE＝3． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于12，求P点的坐标． （3）直接写出关于x的不等式的解集． 【分析】（1）先将点C坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，据此再求出点D的坐标，再将点C和点D的坐标代入y＝ax+b进行计算即可． （2）先求出OA的长，再结合△POA的面积为12，求出点P的纵坐标，据此求出点P坐标即可． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）将点C（6，﹣1）代入y＝得， k＝6×（﹣1）＝﹣6， 所以反比例函数的解析式为y＝． 因为DE⊥x轴，且DE＝3， 所以点D的纵坐标为3． 将y＝3代入y＝得，x＝﹣2， 所以点D坐标为（﹣2，3）． 将点C和点D坐标代入y＝kx+b得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为y＝． （2）将y＝0代入y＝得， x＝4， 所以点A坐标为（4，0）． 因为△AOP的面积为12， 所以， 解得yP＝±6． 将y＝6代入y＝得，x＝﹣1； 将y＝﹣6代入y＝得，x＝1， 所以点P坐标为（﹣1，6）或（1，﹣6）． （3）由函数图象可知， 当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即ax+b， 所以不等式的解集为x＜﹣2或0＜x＜6． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。） 22．（6分）已知非负数a、b、c满足，若S＝3a+2b﹣c，则S的最大值与最小值之差为 　3　 ． 【分析】设＝＝＝k，将a、b、c分别用含k的代数式表示出来，根据a、b、c为非负数列关于k的一元一次不等式组并求其解集，将a、b、c分别代入S＝3a+2b﹣c并化简，从而将S用含k的代数式表示出来，进而分别求出S的最大值和最小值，再求出二者之差即可． 【解答】解：设＝＝＝k， 则a＝2k+1，b＝3﹣3k，c＝5k﹣2， ∵a、b、c为非负数， ∴， 解得≤k≤1， S＝3a+2b﹣c＝3（2k+1）+2（3﹣3k）﹣（5k﹣2）＝11﹣5k， 当k＝时S值最大，S最大＝11﹣5×＝9， 当k＝1时S值最小，S最小＝11﹣5×1＝6， S最大﹣S最小＝9﹣6＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查比的应用，设＝＝＝k，将a、b、c分别用含k的代数式表示出来，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 23．（6分）若，则a1+a3的值为　40　 ． 【分析】分别令x＝1，x＝﹣1求得对应的代数式的值后将两式作差，从而求得答案． 【解答】解：若， 当x＝1时， a0+a1+a2+a3+a4＝34＝81①， 当x＝﹣1时， a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣1）4＝1②， ①﹣②得：2a1+2a3＝80， 则a1+a3＝40， 故答案为：40． 【点评】本题考查代数式求值，理解题意并代入正确的x的值是解题的关键． 24．（6分）如图，在边长是6的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则的最小值是 　5　 ． 【分析】先证明△ADE≌△BAF（SAS）得到∠ADE＝∠BAE，进而得到∠DOF＝90°，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在AB延长线上截取BH＝BC，连接FH，易证明△FBG≌△FBH（SAS），则FH＝FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出A H＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理得，则的最小值为5． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°， 在△ADE和△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°， ∵点M是DF的中点， ∴， 如图，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH， ∴FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH， 在△FBG和△FBH中， ， ∴△FBG≌△FBH（SAS）， ∴FH＝FG， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，DF+HB有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半， ∵AG＝2GB，AB＝6， ∴BH＝BG＝2， ∴A H＝8， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了胡不归问题，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 25．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②9a﹣3b+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④若点（0.3，y1），（﹣2.5，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确结论有 　②③⑤　 （将正确的序号填写在横线上）． 【分析】①根据二次函数图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，据此判断即可； ②由图象可知抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，进而确定另一个交点，然后判断即可； ③根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可； ④结合二次函数对称轴分别确定其增减性判断即可； ⑤根据对称轴为直线x＝﹣1可得﹣＝﹣1，进而可得b＝2a，c＝﹣3a，a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0． 【解答】解：①由图象开口向上， 则a＞0， 故b＞0， ∵c＜0， ∴abc＜0，故①错误． ②∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c＝0，故②正确． ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故③正确．④∵点（﹣2.5，y2）在抛物线上，对称轴为直线x＝﹣1， ∴（0.5，y2）也在抛物线上， ∵0.5＞0.3，且（0.5，y2），（0.3，y1）都在对称轴的右侧， ∴y1＜y2，故④错误． ⑤∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，经过（1，0）， ∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0， ∴b＝2a，c＝﹣3a， ∴5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0， ∴⑤正确． 故答案为：②③⑤． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分。解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 26．（12分）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵≥0，∴≥0，∴a+b≥只有当a＝b时，等号成立． 结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a＝b时，a+b有最小值 根据上述内容，填空：若m＞0，只有当m＝　2　 时，最小值，最小值为　4　 ． 探索应用：如图，已知A（﹣2，0），B（0，﹣3），P为双曲线y＝上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点 C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并求出当四边形ABCD面积取得最小值时它的周长． 实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共490元；二是燃油费，每千米为1.6元，三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001，一次运输的路程为x千米，求当x多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低平均每千米的运输成本是多少元？ 【分析】阅读理解：根据题意填空即可； 探索应用：设P（m，）根据四边形的面积公式表示出四边形ABCD的面积为S，根据阅读理解内容计算即可； 实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元，用含x的代数式表示y，运用阅读理解中的知识解答即可． 【解答】解：填空：≥2＝4， ∴m＝2时，最小值为4， 故答案为：2；4； 探索应用：设P（m，）（m＞0），四边形ABCD的面积为S， 则S＝×AC×BD＝×（m+2）×（+3） ＝6+m+， ∵m＞0， ∴m+≥2＝6， 当m＝2时取等号，即6+m+的最小值是12， ∴C（2，0），D（0，3）， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝， ∴C四边形ABCD＝4； 实际应用： 设该汽车平均每千米的运输成本为y元， 则y＝＝0.001x++1.6， ∵0.001x+≥2＝1.4， 此时0.001x＝， 解得，x＝700， 即x＝700时取等号， ∴0.001x++1.6≥1.4+1.6＝3， ∴当x＝700时，该汽车平均每千米的运输成本最低，最低平均每千米的运输成本是3元． 【点评】本题考查的是反比例函数的知识、完全平方公式公式，正确理解阅读理解的内容、灵活运用完全平方公式和偶次方的非负性是解题的关键． 27．（12分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G． （1）求证：AG∥CD； （2）求证：PA2＝PG•PB； （3）若sin∠APD＝，PG＝6．求tan∠AGB的值． 【分析】（1）根据折叠可得AB⊥CD，根据切线定义可得AG⊥AB，即可求证； （2）根据题意证明△APG∽△BPA即可得证； （3）根据题意设AD＝a，则AP＝3a，根据折叠的性质可得AC＝AD＝a，可求出PC，进而求得BD，根据∠AGB＝90°﹣∠GAD＝∠DAB，即可求解． 【解答】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD， ∴AB⊥CD， ∵AB为⊙O的直径，AG是切线， ∴AG⊥AB， ∴AG∥CD； （2）证明：∵AG是切线， ∴AG⊥AB， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝∠GAD， ∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC， ∴∠CBD＝2∠ABD， ∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形， ∴∠PAD＝180°﹣∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD， ∴∠PAG＝∠PAD﹣∠GAD＝2∠ABD﹣∠ABD＝∠ABD， 又∵∠APG＝∠BPA， ∴△APG∽△BPA， ∵，即PA2＝PG•PB； （3）解：∵sin∠， 设AD＝a，则AP＝3a， ∴， ∴， ∵由折叠可得AC＝AD＝a， ∴PC＝PA+AC＝3a+a＝4a， ∵在Rt△PCB中，， ∴BD＝CB＝PC＝a， ∵AD⊥BD，GA⊥AB， ∴∠AGB＝90°﹣∠GAD＝∠DAB， ∴． 【点评】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x+2）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接BC，tan∠ABC＝2． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D在直线BC下方的抛物线上； ①如图2连接OD，BD，CD，设△OBD的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1+S2的值最大时，求点D的坐标； ②如图3，连结AD、AC，交BC于点E，若△ABE∽△CBA，求点D的横坐标． 【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①过点D作DQ∥y轴交BC于点Q，设D（t，t2﹣t﹣6），则Q（t，2t﹣6），则S＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，S有最大值，此时D（，﹣）； ②根据△ABE∽△CBA，求出BE＝，过点E作EF⊥x轴交于F点，再由EF∥OC，求出EF＝，BF＝，则E（，﹣），直线AE与抛物线的交点即为D点． 【解答】解：（1）当y＝0时，a（x+2）（x﹣3）＝0， 解得x＝3或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（3，0）， ∴OB＝3， ∵tan∠ABC＝2， ∴OC＝6， ∴C（0，﹣6）， 将点C代入y＝a（x+2）（x﹣3）中， ∴﹣6a＝﹣6， 解得a＝1， ∴y＝x2﹣x﹣6； （2）①设直线BC的解析式为y＝kx﹣6， ∴3k﹣6＝0， 解得k＝2， ∴y＝2x﹣6， 过点D作DQ∥y轴交BC于点Q， 设D（t，t2﹣t﹣6），则Q（t，2t﹣6）， ∴S＝3×（6﹣2t）+（2t﹣6﹣t2+t+6）＝3×（﹣t2+t+6）＝﹣（t﹣）2+， 当t＝时，S有最大值，此时D（，﹣）； ②∵A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣6）， ∴AB＝5，BC＝3，AC＝2， ∵△ABE∽△CBA， ∴＝，即＝＝， 解得BE＝， 过点E作EF⊥x轴交于F点， ∵EF∥OC， ∴＝，即＝， ∴EF＝，BF＝， ∴OF＝， ∴E（，﹣）， ∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣2， 当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣6时，解得x＝2或x＝﹣2（舍）， ∴D点横坐标为2． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，平行线的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 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