甘肃省渭源县第一中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试卷

学校 班级 姓名 线 封 2024-2025学年甘肃省定西市渭源县第一高级中学期末质量检测卷 高一 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项. 1．已知复数满足，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 3．已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 4.．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 5．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为10，则（    ） A． B． C． D． 6．某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（   ） A． B． C． D． 7．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（    ） A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 8．已知四面体中，，，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数对应的点位于复平面第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值是 10．若是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若△ABC为锐角三角形，则 C．若，，，则满足条件的△ABC有两个 D．若，则△ABC为等腰三角形 三．填空题（本大题共3个小题，每题5分共15分） 12．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是 ． 13．如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 14．若事件和相互独立，，，则 . 四、简答题：本大题共5小题，共77分,解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）在中，已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边， 记 且 . (1)求角C; (2)若 求的取值范围. 16．（17分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. (1)证明：平面； (2)若，证明：平面； (3)若二面角的正弦值为，求的长. 17．（15分）某初级中学正在开展“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的创文活动.为了了解该校志愿者参与服务的情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查.根据调查数据绘制了不完整统计图（如图），条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者人数与样本容量的百分比. （1）请补全条形统计图. （2）请你求出扇形统计图中教师所对应的扇形的圆心角的度数. （3）若该校共有志愿者人，则该校七年级大约有多少名志愿者？ 18．（15分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率． 19．（15分）如图，在正方体中，E是棱的中点． (1)试判断直线与平面ACE的位置关系，并说明理由； (2)若正方体的棱长为1，求点B到平面的距离． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B B B C C CD AC 题号 11 答案 BC 12． 13． 14． 15.（1）因为， 所以，化简得， 利用正弦定理得， 因为，所以， 所以，因为，所以. 又，所以. （2）根据正弦定理，所以， 同理. 所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 16.（1） 如图，取的中点F，连接,因为E为中点，所以且, 又因为，且，所以且, 故四边形为平行四边形，故,平面,平面, 所以平面. （2） 如图，找的中点G，连接, 则, 因为,所以，又因为，， 所以四边形为正方形，所以,且, 在三角形中，,在三角形中， 因为,故,    又因为底面，底面,所以, 又因为且平面,所以平面. （3） 如图，作交于M,作交于点N，连接, 由，，所以,所以, 又因为底面，且底面,所以, 又,且平面，所以平面, 因为平面,所以，又，且,平面，所以平面, 因为平面，所以,又，平面，所以平面, 所以二面角的平面角为,所以, 设，在三角形中，利用等面积法得， 在三角形中，，利用等面积法得，所以， 整理得：，即， 故或（舍），所以 17.（1）由题意知样本容量为， 则八年级志愿者被抽到的人数为， 九年级志愿者被抽到的人数为， 补全条形统计图如下： （2）因为教师志愿者被抽到的人数所占百分比为， 所以对应的扇形的圆心角的度数为. （3）（名），该校七年级大约有240名志愿者. 18.（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手” 则， 事件与相互独立，与相互独立 则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手” 即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是 （2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则 依题意，，，相互独立，，，相互独立，且，，，彼此互斥 故“”的事件的概率为 19.（1）如图： 连接DB，交AC于点O，连接EO 在中，E，O分别为，DB中点， 所以EO是的中位线， ，平面，平面 平面 （2）正方体的棱长为1 ， 是等边三角形， 又到底面ABCD距离为， 设B到平面的距离为h， ， . 密 学科网（北京）股份有限公司 $$