精品解析：甘肃省天水市甘谷县新兴初级中学2024-2025学年上学期九年级数学期中考试试题

2024-2025 学年第一学期九年级第二阶段检测试题 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，式子的被开方数为， ∴， 解得． 2. 已知锐角A，且sinA=，则∠A等于（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 15° 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【详解】解：∵sinA= ∴∠A=60°． 故选A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 3. 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则的值为（ ） A. 1：3 B. 2：3 C. 1：4 D. 2：5 【答案】A 【解析】 【详解】∵DE为△ABC的中位线， ∴AE=CE 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS） ∴S△ADE=S△CFE ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2 ∴S△ADE：S△ABC=1：4 ∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC， ∴S△ADE：S四边形BCED=1：3 ∴S△CEF：S四边形BCED=1：3 故选：A. 4. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 5. 若是关于x的一元二次方程，则（　　） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数． 【详解】解答： 由题意得：a−1≠0， 解得a≠1. 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，特别要注意a−1≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等式的性质变形为，设，将代入即可求解． 【详解】解：将变形，得， 设， 将代入， 故选：C． 【点睛】本题考查了求代数式的值，等式的性质，换元法是解本题的关键. 7. 如图，表示△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），则点C坐标为（　　） A. (2,3) B. (2,4) C. (3,3) D. (3,4) 【答案】B 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标． 【详解】解：∵△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0）， ∴点C坐标为：（2，4）． 故选B． 【点睛】本题考查位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键． 8. 如图所示，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）�是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（ ） A. 6米 B. 3米 C. 3米 D. 12米 【答案】B 【解析】 【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：∵相邻两树间的水平距离是6 m，坡度为1：2． ∴垂直高度为3m． 根据勾股定理可得斜坡上相邻两树间的坡面距离是=（m） 故选B． 【点睛】此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度． 9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】根据平行线分线段成比例可得， 代入计算可得：， 即可解EC=2， 故选B． 10. 如图，沿的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，在上取一点B，使得，已知米，，点A，C，E在同一条直线上，那么开挖点E离点D的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出，然后判断出是直角三角形，再根据余弦的定义列出算式，求出点离点的距离即可．本题考查了解直角三角形，用到的知识点是邻补角的定义和余弦的定义，判断出是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：， ， 是直角三角形， 米，， 开挖点离点的距离（米）． 故选：D． 二、填空题（每题4分，共32分） 11. 化简：=_______． 【答案】2． 【解析】 【详解】试题分析：将括号里面化简，合并，再运用二次根式乘法运算法则得出即可： 考点：二次根式的混合运算． 12. 方程的一次项系数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一次项系数的定义是解决此题的关键．找出一元二次方程的一次项系数即可． 【详解】解：方程的一次项系数是． 故答案为：． 13. 在△ABC中，（2sinA﹣1）2+=0，则△ABC的形状为________ 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，最后根据三个内角关系判断出其形状． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴∠C=90°． ∴△ABC是直角三角形． 故答案为直角三角形. 【点睛】本题考查了：（1）特殊角的三角函数值；（2）非负数的性质；（3）三角形的内角和定理． 14. 已知为实数，且满足，则______． 【答案】33 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0求得，则，代入进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ， ， 故答案为：33． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确求出的值是解题的关键． 15. 一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为___________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡比问题．根据坡角的正切坡度，列式可得结果． 【详解】设这个斜坡的坡角为， 由题意得：， ． 故答案为：30． 16. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝_____． 【答案】60°． 【解析】 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断． 【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝∠B＝60°． ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单． 17. 将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化－平移及对称的性质；用到的知识点为：两点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；左右平移只改变点的横坐标，右加左减． 先利用平移中点的变化规律求出点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】∵将点沿轴向左平移4个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 18. 如图，中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明是直角三角形的有_____（多选、错选不得分）． ①∠A+∠B=90°；②AB2=AC2+BC2；③；④CD2=AD•BD． 【答案】①②④ 【解析】 【详解】解：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°， ∴△ABC是直角三角形．故选项①正确． ②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确． ③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误； ④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB， 又∵CD2=AD•BD，（即 ） ∴△ACD∽△CBD ∴∠ACD=∠B ∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90° △ABC是直角三角形 ∴故选项④正确； 故答案为①②④． 三．解答题 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程 （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，是解题的关键． （1）先移项，然后直接开平方，解方程即可； （2）先将方程化为一般形式，然后用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 化为一般形式得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 21. 在中，，，，求的长和的度数． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．解直角三角形常用的有勾股定理和锐角三角函数，解决本题的关键是要熟练地记住三个特殊角的三角函数值．首先利用勾股定理求出的长度，再根据在中各边的长度求出的正弦，根据正弦值求出的度数． 【详解】解：在中，，，， ； ，，， ， ． B卷（共50分） 22. 已知：，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】 【详解】解：＝＝， 又∵， ∴x+y=2，x-y=2， ∴原式＝＝． 23. 如图，中，，，垂足为，，， （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，求正切值，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可； （2）根据正切函数的定义，结合，，求出的值即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ， ， ， 即， 解得；，负值舍去； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 24. 如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出，根据余角的性质得出，根据两个对应相等的两个三角形相似，证明结论即可． 【详解】略 25. 某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号） 【答案】2000米． 【解析】 【分析】在Rt△CDB中求出BD，在Rt△CDA中求出AD，继而可得AB，即此时渔政船和渔船的距离． 【详解】在Rt△CDA中，∠ACD=30°，CD=3000米， ∴AD=CDtan∠ACD=1000米， 在Rt△CDB中，∠BCD=60°， ∴BD=CDtan∠BCD=3000米， ∴AB=BD﹣AD=2000米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 26. 定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）10% （2）方案② 【解析】 【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据每平方米4000元经过两次下调后为每平方米3240元列方程解答即可． （2）分别求出两种方案所需要花费的钱数，比较后发现更优惠方案即可． 【小问1详解】 解：设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1-x）2=3240 解得：x=0.1=10%或x=1.9（不合题意，舍去） 答：平均每次下调的百分率是10%． 【小问2详解】 方案①实际花费=100×3240×98%=317520元 方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元 ∵317520＞316000 ∴方案②更优惠． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年第一学期九年级第二阶段检测试题 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知锐角A，且sinA=，则∠A等于（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 15° 3. 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则的值为（ ） A. 1：3 B. 2：3 C. 1：4 D. 2：5 4. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于x的一元二次方程，则（　　） A. B. C. D. 且 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，表示△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），则点C坐标为（　　） A. (2,3) B. (2,4) C. (3,3) D. (3,4) 8. 如图所示，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）�是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（ ） A. 6米 B. 3米 C. 3米 D. 12米 9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，沿的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，在上取一点B，使得，已知米，，点A，C，E在同一条直线上，那么开挖点E离点D的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题（每题4分，共32分） 11. 化简：=_______． 12. 方程的一次项系数是_____． 13. 在△ABC中，（2sinA﹣1）2+=0，则△ABC的形状为________ 14. 已知为实数，且满足，则______． 15. 一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为___________． 16. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝_____． 17. 将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是______________． 18. 如图，中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明是直角三角形的有_____（多选、错选不得分）． ①∠A+∠B=90°；②AB2=AC2+BC2；③；④CD2=AD•BD． 三．解答题 19. 计算： （1） （2）． 20. 解方程 （1） （2）． 21. 在中，，，，求的长和的度数． B卷（共50分） 22. 已知：，求的值． 23. 如图，中，，，垂足为，，， （1）求； （2）求． 24. 如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：． 25. 某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号） 26. 定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $