精品解析：北京市 大兴区 2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

大兴区2024～2025学年度第二学期期末检测初二数学 2025.07 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 甲、乙两名同学在相同条件下射击打靶5次，每次命中的环数如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，7，8，9，10 则这两组数据的方差的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 4. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，在中，于点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 一次函数的解析式为，则下列说法正确的是（　　） A. 其图象与轴的交点坐标为 B. 随的增大而减小 C. 此函数图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 7. 如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8. 某校学生走进大兴林场，为体会人工湿地的生态价值，进行了模拟人工湿地过滤污水实验．在实验过程中，设过滤时间为分钟，剩余污水量为升，与之间的函数关系如图所示，给出下面4个结论： ①初始污水总量为5升； ②当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升； ③污水过滤速度为0.5升/分钟； ④过滤全部污水共需10分钟． 上述结论中，正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中自变量x的取值范围是__． 10. 已知正比例函数（k是常数，），y的值随着x的值的增大而增大，请写出一个满足条件的正比例函数的解析式：______________ 11. 一次函数的图象与轴的交点坐标为___________． 12. 将一次函数的图象向上平移6个单位长度，平移后的图象对应的函数解析式为___________． 13. 如图，在中，，，D为的中点，则___________． 14. 一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 15. 已知一次函数和（为常数）的图象如图所示，则关于的方程组的解是___________． 16. 如图，已知正方形的边长为6，点为边的中点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②的周长是10；③；④五边形的面积为30．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在中，，交于点，点，在上，且，求证：． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）求的面积． 21. 下面是小明“作矩形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：矩形（点在上，点在上）． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点和点圆心，长为半径作弧，两弧交于点（点与点在异侧）； ③连接交于点； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤连接． 则四边形为所求作的矩形． （1）根据作法补全图形，保留作图痕迹； （2）根据小明的作法完成下面的证明． 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形为___________， ______________________， ， 四边形AECF为矩形（___________）（填写推理依据）． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求该函数的解析式； （2）当时，对于每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23. 如图，在矩形中，点，分别在，上，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若线段，求菱形的边长． 24. 为普及健康生活方式，倡导学生“合理运动，健康生活”，学校举办“健康使者”评比活动．每位同学需要参加科普知识、体育竞技和创意实践三项评比，每项评比成绩均按百分制打分．评委会将三项评比成绩按的比例计算出每人的总评成绩，在全校参加评比活动的学生中，随机选出45名学生的成绩数据整理如下： ①45名学生总评成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不包含最大值） ②其中总评成绩在91~94分的学生成绩如下： ③小聪和小明三项评比成绩及总评成绩如下： 科普知识成绩 体育竞技成绩 创意实践成绩 总评成绩 小聪 92 95 90 92.8 小明 88 92 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）将“45名学生总评成绩的频数分布直方图”补充完整； （2）45名学生总评成绩的中位数为___________； （3）45名学生中总评成绩在91~94分的学生成绩的众数为___________； （4）上表中___________； （5）若总评成绩不少于97分的学生可获得“健康使者”奖章，则全校3600名参加此次评选活动的学生中约有___________名学生可以获得该奖章． 25. 某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： （1）传统燃油车购车费用是___________万元； （2）根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． （1）点是一次函数的图象与轴交点，点是该函数图象上一动点（不与点重合）． ①___________； ②___________（填“”，“”或“”）； （2）点在轴上，且的面积为6，则符合条件的点的坐标是___________． 27. 在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段（点不与点重合），连接．过点作直线的垂线，垂足为点，连接，． （1）如图，当时． ①依据题意补全图形，求的度数； ②用等式表示线段的数量关系，并证明； （2）当时，直接用等式表示，，数量关系． 28. 平面直角坐标系中，已知点，点． 对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点绕点旋转后的对应点为点，称点为点的“对称点” 已知一次函数． （1）点，点． ①若点，则点的“对称点”点的坐标是___________； ②当时，点为一次函数图象上一点，点为点的对称点，直接用等式表示点的横，纵坐标满足的关系； （2）若点，点为一次函数图象上一动点，且点的纵坐标满足，点，点为点的“对称点”，直接写出点横，纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大兴区2024～2025学年度第二学期期末检测初二数学 2025.07 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了最简二次根式，满足：①被开方数不含分数或小数；②被开方数不含有开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，据此逐一判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 解：、被开方数，含开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：． 2. 下列各式中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．根据二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简各项后，再进行判断即可得到结论． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故答案为：B． 3. 甲、乙两名同学在相同条件下射击打靶5次，每次命中的环数如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，7，8，9，10 则这两组数据的方差的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求方差，比较甲、乙两组数据的方差，需先计算各自的平均数，再利用方差公式计算方差，然后比较大小，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：依题意，甲同学的平均数，乙同学的平均数， 则； 则； ∵， ∴， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，通过直接代入点和的横坐标计算对应的和，即可比较大小，据此进行作答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点 对于点，代入函数得； 对于点，代入函数得； ∵， 故， 故选：C 5. 如图，在中，于点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查平行四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质等知识，求得，并且证明是解题的关键． 由于点，得，求得，由平行四边形的性质得，则，于是得到问题的答案． 【详解】于点， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：B． 6. 一次函数的解析式为，则下列说法正确的是（　　） A. 其图象与轴的交点坐标为 B. 随的增大而减小 C. 此函数图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 根据一次函数的性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A．图象与轴的交点在时，代入得，解得，故图象与轴的交点为，正确； B．一次函数，故随的增大而增大，而非减小，错误； C．，，图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，错误； D．当时，，解得．而题目中条件为，此时在到之间时，错误． 故选：A． 7. 如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用勾股定理求出再利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 某校学生走进大兴林场，为体会人工湿地的生态价值，进行了模拟人工湿地过滤污水实验．在实验过程中，设过滤时间为分钟，剩余污水量为升，与之间的函数关系如图所示，给出下面4个结论： ①初始污水总量为5升； ②当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升； ③污水过滤速度为0.5升/分钟； ④过滤全部污水共需10分钟． 上述结论中，正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是从函数图象中获取信息并进行分析计算． 通过观察函数图象的横、纵坐标含义，结合一次函数的性质，对四个结论逐一分析判断． 【详解】当时，，此时过滤时间为0，即初始状态，所以初始污水总量为5升，结论①正确； 从图象中可以看到，当时，对应的，这表示当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升，结论②正确； 根据图象，2分钟内过滤的污水量是初始污水量5升减去2分钟时剩余的4升，即升．根据“速度过滤的污水量时间“，可得污水过滤速度为升/分钟，结论③正确； 已知初始污水总量为5升，污水过滤速度为0.5升／分钟．根据“时间总量速度“，可得过滤全部污水需要的时间为分钟，结论④正确． 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 10. 已知正比例函数（k是常数，），y的值随着x的值的增大而增大，请写出一个满足条件的正比例函数的解析式：______________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】因为在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，所以，于是得到结论． 【详解】解：在正比例函数中，的值随着值的增大而增大， ， 函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 11. 一次函数的图象与轴的交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过一次函数的解析式求与坐标轴的交点坐标，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 利用交点坐标的特点，即与轴的交点坐标，代入解析式求解即可． 【详解】解：当时，代入解析式得，， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 12. 将一次函数的图象向上平移6个单位长度，平移后的图象对应的函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质，向上平移则加上平移的单位长度，然后进行整理即可． 【详解】解：根据函数图象平移的性质得，将一次函数的图象向上平移6个单位长度， 则平移后的函数解析为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，D为的中点，则___________． 【答案】40 【解析】 【详解】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而得到，再根据，即可得出的度数． 【解答】解：中，，点D是斜边的中点， ， ， 又， ， 故答案为：40． 14. 一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 根据图象得：当时，函数图象位于轴下方，此时，即可求解． 【详解】解：通过图象可知，直线与轴的交点坐标为， ∴不等式解集为， 故答案为：． 15. 已知一次函数和（为常数）的图象如图所示，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的图象交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：解：∵一次函数和的图象的交点坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 16. 如图，已知正方形的边长为6，点为边的中点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②的周长是10；③；④五边形的面积为30．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，根据正方形的性质和折叠的性质可得 ，于是根据“”判定依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，进而可得的周长，再进而根据求出五边形的面积解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 由折叠可知：， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵正方形边长是，点是的中点， ∴， 设， 则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得： ， ∴，，， ∴的周长是， 故②错误； ， ， 由折叠可得，， ，故③正确； ，故④正确． 故答案为： ①③④． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用因式分解进行简便运算成为解题的关键． 先因式分解，然后将代入并运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 19. 如图，在中，，交于点，点，在上，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点以及坐标系中求三角形的面积等知识，正确求出一次函数的解析式是关键； （1）根据待定系数法即可求出函数的解析式，再进一步求直线与x轴的交点坐标即可； （2）根据求解即可． 【小问1详解】 解：把点和点代入，得 ，解得， ∴该函数的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解： ． 21. 下面是小明“作矩形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：矩形（点在上，点在上）． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（点与点在异侧）； ③连接交于点； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤连接． 则四边形为所求作的矩形． （1）根据作法补全图形，保留作图痕迹； （2）根据小明的作法完成下面的证明． 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形为___________， ______________________， ， 四边形AECF为矩形（___________）（填写推理依据）． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，，有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——作矩形，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用矩形的判定定理进行尺规作图即可； （2）根据平行四边形的性质，先判定四边形是平行四边形，再判定出四边形为菱形，利用菱形的性质得出直角，然后根据矩形的定义即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形即为所求； 【小问2详解】 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ， 四边形AECF为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求该函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，利用待定系数法求函数解析式，根据函数图象的交点确定函数系数的取值范围能内容，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． （1）根据函数图象平移的性质确定值，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据题意先确定临界点坐标，再根据图象的性质确定的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据图象平移的性质可得，即， 将代入解析式得， 解得， ∴该函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示， 当时，代入得，， 当经过点时，即， 解得， 当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， 此时，． 23. 如图，在矩形中，点，分别在，上，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若线段，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，关键是掌握菱形的判定，菱形的性质；应用勾股定理求解． （1）由矩形的性质得到，，而，因此，得到，即可证明四边形是平行四边形，再由等边三角形的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为． 24. 为普及健康生活方式，倡导学生“合理运动，健康生活”，学校举办“健康使者”评比活动．每位同学需要参加科普知识、体育竞技和创意实践三项评比，每项评比成绩均按百分制打分．评委会将三项评比成绩按的比例计算出每人的总评成绩，在全校参加评比活动的学生中，随机选出45名学生的成绩数据整理如下： ①45名学生总评成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不包含最大值） ②其中总评成绩在91~94分的学生成绩如下： ③小聪和小明三项评比成绩及总评成绩如下： 科普知识成绩 体育竞技成绩 创意实践成绩 总评成绩 小聪 92 95 90 92.8 小明 88 92 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）将“45名学生总评成绩的频数分布直方图”补充完整； （2）45名学生总评成绩的中位数为___________； （3）45名学生中总评成绩在91~94分的学生成绩的众数为___________； （4）上表中___________； （5）若总评成绩不少于97分的学生可获得“健康使者”奖章，则全校3600名参加此次评选活动的学生中约有___________名学生可以获得该奖章． 【答案】（1）见解析 （2）91 （3）92 （4） （5）240 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及补全条形统计图、计算中位数、计算众数、计算加权平均数、利用中位数做决策等知识，熟记相关统计量的意义与求法是解决问题的关键． （1）先求出第5组人数，补全频数分布直方图即可得到答案； （2）由45名选手初赛成绩的频数分布直方图，结合中位数求法得到中位数在第4组，将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列即可得到答案； （3）由总评在91~94分的选手成绩，结合众数定义求解即可得到答案； （4）由三项成绩按比例计算出每人的总评成绩，由加权平均数求解即可； （5）利用总数乘以相应比例求解即可． 【小问1详解】 解：， 补全统计图如下： 【小问2详解】 根据题意得：45名学生总评成绩的中位数为第23名同学的成绩， ∵， ∴第23名同学的成绩为成绩在91~94分成绩的第一个，即91， 故答案为：91； 【小问3详解】 45名学生中总评成绩在91~94分的学生成绩中，92出现的次数最多， ∴众数为92； 【小问4详解】 根据题意得：， 故答案为：； 【小问5详解】 名， 故答案：240 25. 某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： （1）传统燃油车购车费用是___________万元； （2）根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 【答案】（1） （2）当时，选传统燃油车总费用较低；当时，两种车总费用一样；当时，选氢能源车总费用较低 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键． （1）根据两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象， （2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式，，当两种车总费用相等时，即，得到行驶路程，结合图形判定即可求解． 【小问1详解】 解：，即当时，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元， ∴传统燃油车购车费用是万元； 【小问2详解】 解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 当时，， 解得，， ∴当时，选传统燃油车总费用较低； 当时，两种车总费用一样； 当时，选氢能源车总费用较低． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． （1）点是一次函数的图象与轴交点，点是该函数图象上一动点（不与点重合）． ①___________； ②___________（填“”，“”或“”）； （2）点在轴上，且的面积为6，则符合条件的点的坐标是___________． 【答案】（1）2， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了网格中的三角形，根据一次函数解析式求交点坐标，求三角形的面积，利用待定系数法求一次函数解析式，根据解析式判定直线平行，勾股定理及其逆定理，利用三角形的位似求线段的长度等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）①利用一次函数的解析式求出交点坐标，利用割补法求出三角形的面积即可； ②利用待定系数法求直线的解析式，根据值相等得出两直线平行，进而可确定面积的大小； （2）先求出高的长度，分类讨论，利用位似三角形的相似比求出线段的长度，即可确定点的坐标． 【小问1详解】 解：①由一次函数解析式得， 当时，， ∴， 又∵点的坐标为，点的坐标为， 如果沿着三个顶点作矩形，则； ②假设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由值相等可得，一次函数的图象与直线平行， ∴； 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：由勾股定理得， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 即， ∵，的面积为6， ∴边上高为， 假设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点为， 如图，在轴上找一点，过点作，交直线与点， 所以此时，与关于点成位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，同理，当与关于点成位似图形，且相似比为时，仍满足题意， 此时，点与点关于点对称， ∴， 综上点的坐标为或． 27. 在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段（点不与点重合），连接．过点作直线的垂线，垂足为点，连接，． （1）如图，当时． ①依据题意补全图形，求的度数； ②用等式表示线段的数量关系，并证明； （2）当时，直接用等式表示，，数量关系． 【答案】（1）①见解析，② （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出图形是解题的关键． （1）①依据题意补全图形，有， 求出，，即可解答；②在上截取，连接，令交点为，先证明，，则，可得，推导出，，根据勾股定理，得，即可解答． （2）当时，在上截取，连接，令交点为， 同理推导出，，根据勾股定理，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：①当时，如图，由旋转，得 ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：的度数为． ②在上截取，连接，令交点为，如图 ∵四边形是正方形，于点Q， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ． 【小问2详解】 当时，在上截取，连接，令交点为，如图， ∵四边形是正方形，于点Q， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ． 28. 在平面直角坐标系中，已知点，点． 对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点绕点旋转后的对应点为点，称点为点的“对称点” 已知一次函数． （1）点，点． ①若点，则点的“对称点”点的坐标是___________； ②当时，点为一次函数图象上一点，点为点的对称点，直接用等式表示点的横，纵坐标满足的关系； （2）若点，点为一次函数图象上一动点，且点的纵坐标满足，点，点为点的“对称点”，直接写出点横，纵坐标的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）， 【解析】 【分析】本题考查了坐标点的平移，旋转，中点坐标的求解，根据题中给出的定义准确得到平移旋转后的点为解题关键 （1）①先根据平移求出的坐标，再根据旋转可知是和的中点，设，根据中点坐标公式求解即可；②当时，一次函数为，设点，利用中点公式求解即可； （2）当时，分情况当时以及时求出x的值，对于，当时以及时，确定出，设，再根据平移，旋转以及中点公式表示出，结合题中给出的范围求解即可． 【小问1详解】 解：①点，故向右平移2个单位，向上平移1个单位，点平移后得到，即， 点绕点旋转，即是和的中点， 设， 则，， 解得：， 因此，Q的坐标为； ②当时，一次函数为，设点， 同①，平移后仍为， 点绕N旋转，N是和Q的中点， 设， 则: 消去n化简得：； 【小问2详解】 解：次函数， 当时，且， 由， 当时，， 当时，， ，对于， 当时，， 当时，， ，即点P横坐标范围是； 已知，点P先根据M平移，再根据旋转得到点， 设，平移后， 设， 则，， 则， ，， ，即， ，即； ，， ，即， ，即． 【点睛】本题考查了坐标点的平移，旋转，中点坐标的求解，理解题中给出的定义，能够根据平移以及旋转的方式求出点的坐标为解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $