2.2有理数的加减运算导学案-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学上册

本文围绕有理数的加减运算展开，承接有理数概念等知识背景，为后续复杂运算奠基。通过探索法则、应用练习等环节，培养学生运算能力、推理意识等核心素养，如推导减法法则时引导学生逻辑思考。 该设计亮点在于以实际情境引入，采用问题驱动法。从学生层面看，能提升运算与思维能力；从教师层面看，提供清晰授课流程；从课堂效果看，有效突破运算符号处理等教学难点。

《有理数的加减运算》导学案（学生版） 一、学习目标 1. 理解有理数加法和减法的运算法则，能准确运用法则进行有理数的加法和减法运算。 2. 经历探索有理数加减运算法则的过程，体会类比、归纳等数学思想方法。 3. 能够运用有理数的加减运算解决简单的实际问题，感受数学与生活的联系 。 二、学习重难点 1. 重点 有理数加法和减法的运算法则。 有理数加减混合运算。 2. 难点 理解有理数加法和减法法则的原理，尤其是异号两数相加的法则。 熟练进行有理数的加减混合运算，准确处理运算中的符号问题。 三、学习过程 1. 知识回顾 什么是有理数？有理数可以如何分类？ 数轴的三要素是什么？请在数轴上表示出3，-2，0。 2. 探索有理数的加法法则 同号两数相加 问题1：一个物体先向右移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，那么两次运动后物体从起点向右一共移动了多少个单位长度？如何用算式表示？ 问题2：如果物体先向左移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，两次运动后物体从起点向左一共移动了多少个单位长度？算式怎么写？ 思考：观察这两个算式，你能发现同号两数相加的规律吗？试着用自己的语言总结。 异号两数相加 问题3：一个物体先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时物体在起点的哪一侧？距离起点几个单位长度？用算式如何表示？ 问题4：如果物体先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，情况又如何？写出相应算式。 思考：分析这两个异号两数相加的算式，你能总结出异号两数相加的运算法则吗？ 一个数与0相加 问题5：一个物体原地不动，如何用算式表示它的运动情况？由此你能得出一个数与0相加的结果吗？ 总结有理数加法法则，并用字母表示： 同号两数相加：若a>0，b>0，则a + b = +(|a| + |b|)；若a<0，b<0，则a + b = -(|a| + |b|) 。 异号两数相加：若a>0，b<0，且|a|>|b| ，则a + b = +(|a| - |b|)；若a>0，b<0，且|a|<|b|，则a + b = -(|b| - |a|)；若a，b互为相反数，则a + b = 0。 一个数与0相加：a + 0 = a。 3. 有理数加法法则的应用 计算下列各题： 1　 ( + 3)+( + 7) 2　 ( - 5)+( - 3) 3　 ( + 4)+( - 6) 4　 ( - 8)+( + 5) 5　 0+( - 2) 思考：在进行有理数加法运算时，你认为关键步骤是什么？需要注意什么？ 4. 探索有理数的减法法则 问题6：你能根据加法与减法的互逆关系，由5 + 3 = 8，得出8 - 5和8 - 3的结果吗？ 问题7：对于有理数，( - 2)- ( - 5)该如何计算呢？我们知道减法是加法的逆运算，那么( - 2)- ( - 5)可以转化为( - 2)加上什么数呢？ 观察( - 2)- ( - 5)= ( - 2)+( + 5)这个等式，你能发现有理数减法的运算法则吗？ 总结有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 。用字母表示为a - b = a + ( - b)。 5. 有理数减法法则的应用 计算下列各题： 1　 9 - 5 2　 0 - 7 3　 ( - 3)- 1 4　 5-( - 8) 5　 ( - 4)-( - 6) 思考：在进行有理数减法运算时，需要将减法转化为加法，此时需要注意什么？ 6. 有理数的加减混合运算 问题8：计算3 - 5 + 7，你有几种计算方法？ 方法一：按照从左到右的顺序依次计算。 方法二：利用有理数减法法则将式子统一成加法，再运用加法运算律进行简便计算。 比较两种方法，哪种更简便？ 总结有理数加减混合运算的步骤： 第一步：将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，写成省略加号和括号的形式。 第二步：运用加法交换律和结合律，将同号的数结合在一起进行运算。 第三步：按照有理数加法法则进行计算，得出最终结果。 计算： 1　 ( - 2)+3 + 1+( - 3)+2+( - 4) 2　 2.4-( - 3.5)- 4.6+( - 3.5) 3　 -+ - 7. 实际应用 问题9：某一天的最高气温为8℃，最低气温为-2℃，这天的温差是多少？ 问题10：小明的银行账户上原有500元，他支出200元后，又存入150元，那么现在他的账户上有多少钱？ 四、课堂小结 1. 有理数加法法则、减法法则分别是什么？ 2. 在进行有理数加减运算时，需要注意哪些问题？ 3. 有理数加减混合运算的步骤是怎样的？ 五、课后作业 1. 计算： 1　 ( - 12)+( + 3) 2　 ( - 9)+( - 5) 3　 18-( - 4) 4　 0-( - 7) 5　 ( - 15)- ( - 7) 6　 3.5-( - 2.5) 7　 ( - 8)+10 + 2+( - 1) 8　 5+( - 6)+3 + 9+( - 4)+( - 7) 9　 -+ - 2. 已知a = - 3，b = 5，求a + b，a - b的值。 3. 某仓库原有货物100吨，第一天运进货物30吨，第二天运出货物20吨，第三天运进货物15吨，第四天运出货物25吨，问此时仓库里货物有多少吨？ 七年级上册北师大版（2024）数学《有理数的加减运算》导学案（教师版） 一、学习目标 1. 理解有理数加法和减法的运算法则，能准确运用法则进行有理数的加法和减法运算。 2. 经历探索有理数加减运算法则的过程，体会类比、归纳等数学思想方法。 3. 能够运用有理数的加减运算解决简单的实际问题，感受数学与生活的联系 。 二、学习重难点 1. 重点 有理数加法和减法的运算法则。 有理数加减混合运算。 2. 难点 理解有理数加法和减法法则的原理，尤其是异号两数相加的法则。 熟练进行有理数的加减混合运算，准确处理运算中的符号问题。 三、学习过程 1. 知识回顾 什么是有理数？有理数可以如何分类？ 答案：整数和分数统称为有理数。有理数可分为正有理数、0、负有理数；也可分为整数和分数，其中整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数。 解析：通过回顾有理数的定义和分类，为学习有理数的运算做铺垫，让学生明确有理数的范围。 数轴的三要素是什么？请在数轴上表示出3，-2，0。 答案：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度。在数轴上表示数略。 解析：复习数轴的知识，利用数轴可以直观地理解有理数的大小和运算，为后续借助数轴理解有理数加减运算的意义做准备。 2. 探索有理数的加法法则 同号两数相加 问题1：一个物体先向右移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，那么两次运动后物体从起点向右一共移动了多少个单位长度？如何用算式表示？ 答案：一共移动了5个单位长度，算式为( + 2)+( + 3)= + 5 。 解析：通过实际情境，让学生从直观上理解同号两数相加的意义，为总结法则提供感性认识。 问题2：如果物体先向左移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，两次运动后物体从起点向左一共移动了多少个单位长度？算式怎么写？ 答案：一共移动了5个单位长度，算式为( - 2)+( - 3)= - 5 。 解析：进一步强化同号两数相加的情境理解，引导学生观察算式的特点。 思考：观察这两个算式，你能发现同号两数相加的规律吗？试着用自己的语言总结。 答案：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 解析：引导学生通过观察具体算式，归纳总结出同号两数相加的法则，培养学生的归纳能力。 异号两数相加 问题3：一个物体先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时物体在起点的哪一侧？距离起点几个单位长度？用算式如何表示？ 答案：物体在起点左侧，距离起点2个单位长度，算式为( + 3)+( - 5)= - 2 。 解析：通过具体情境，让学生感受异号两数相加时结果的符号和数值的确定方法。 问题4：如果物体先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，情况又如何？写出相应算式。 答案：物体在起点右侧，距离起点2个单位长度，算式为( - 3)+( + 5)= + 2 。 解析：进一步加深对异号两数相加的理解，对比不同情况，为总结法则做准备。 思考：分析这两个异号两数相加的算式，你能总结出异号两数相加的运算法则吗？ 答案：异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 解析：引导学生通过分析具体算式，总结异号两数相加的法则，理解法则中符号和数值的确定依据。 一个数与0相加 问题5：一个物体原地不动，如何用算式表示它的运动情况？由此你能得出一个数与0相加的结果吗？ 答案：算式为0 + 0 = 0，一个数与0相加仍得这个数。 解析：从实际情境引出一个数与0相加的情况，让学生理解其运算结果的合理性。 总结有理数加法法则，并用字母表示： 同号两数相加：若a>0，b>0，则a + b = +(|a| + |b|)；若a<0，b<0，则a + b = -(|a| + |b|) 。 异号两数相加：若a>0，b<0，且|a|>|b| ，则a + b = +(|a| - |b|)；若a>0，b<0，且|a|<|b|，则a + b = -(|b| - |a|)；若a，b互为相反数，则a + b = 0。 一个数与0相加：a + 0 = a。 3. 有理数加法法则的应用 计算下列各题： ( + 3)+( + 7) 答案：( + 3)+( + 7)= + (3 + 7)=10 。 解析：根据同号两数相加法则，取正号，把绝对值相加。 ( - 5)+( - 3) 答案：( - 5)+( - 3)= - (5 + 3)= - 8 。 解析：同号两数相加，取负号，把绝对值相加。 ( + 4)+( - 6) 答案：( + 4)+( - 6)= - (6 - 4)= - 2 。 解析：异号两数相加，| - 6|>| + 4|，取负号，用较大绝对值减去较小绝对值。 ( - 8)+( + 5) 答案：( - 8)+( + 5)= - (8 - 5)= - 3 。 解析：异号两数相加，| - 8|>| + 5|，取负号，用较大绝对值减去较小绝对值。 0+( - 2) 答案：0+( - 2)= - 2 。 解析：一个数与0相加，仍得这个数。 思考：在进行有理数加法运算时，你认为关键步骤是什么？需要注意什么？ 答案：关键步骤是先判断两数的符号，再根据法则确定结果的符号和绝对值。需要注意符号的确定，尤其是异号两数相加时符号的选取。 解析：通过思考，引导学生总结有理数加法运算的要点，加深对法则的理解和运用。 4. 探索有理数的减法法则 问题6：你能根据加法与减法的互逆关系，由5 + 3 = 8，得出8 - 5和8 - 3的结果吗？ 答案：因为5 + 3 = 8，所以8 - 5 = 3，8 - 3 = 5 。 解析：从小学学过的加减法互逆关系入手，为引入有理数减法法则做铺垫。 问题7：对于有理数，(-2)-(-5)该如何计算呢？我们知道减法是加法的逆运算，那么(-2)-(-5)可以转化为(-2)加上什么数呢？ 答案：设(-2)-(-5)=x，根据减法是加法的逆运算，可得x+(-5)=-2。因为3+(-5)=-2，所以x=3，即(-2)-(-5)=3。而(-2)+(+5)=3，因此(-2)-(-5)可以转化为(-2)加上+5（即-5的相反数）。 解析：通过设未知数，利用加减法的互逆关系推导，让学生理解有理数减法转化为加法的合理性，逐步建立减法法则的逻辑关系。 观察(-2)-(-5)=(-2)+(+5)这个等式，你能发现有理数减法的运算法则吗？ 答案：减去一个负数，等于加上这个负数的相反数。推广到一般情况，减去一个数，等于加上这个数的相反数。 解析：从具体等式入手，引导学生归纳减法法则的核心：变减为加，变减数为其相反数，帮助学生抓住法则的本质。 总结有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为a - b = a + (-b)。 5. 有理数减法法则的应用 计算下列各题： 9 - 5 答案：9 - 5 = 9 + (-5) = 4。 解析：根据减法法则，将减法转化为加法，即9加5的相反数-5，再按加法法则计算。 0 - 7 答案：0 - 7 = 0 + (-7) = -7。 解析：0减去一个数，等于0加上这个数的相反数，结果为这个数的相反数。 (-3) - 1 答案：(-3) - 1 = (-3) + (-1) = -4。 解析：减去1等于加上-1，再按同号两数相加法则计算，取负号，绝对值相加。 5 - (-8) 答案：5 - (-8) = 5 + 8 = 13。 解析：减去-8等于加上8，再按同号两数相加法则计算，取正号，绝对值相加。 (-4) - (-6) 答案：(-4) - (-6) = (-4) + 6 = 2。 解析：减去-6等于加上6，再按异号两数相加法则计算，|6| > |-4|，取正号，用较大绝对值减去较小绝对值。 思考：在进行有理数减法运算时，需要将减法转化为加法，此时需要注意什么？ 答案：需要注意两点：一是改变运算符号，把减号变成加号；二是改变减数的符号，把减数变成它的相反数。例如“减-5”要变成“加+5”，“减3”要变成“加-3”。 解析：强调转化过程中的两个关键变化，避免学生因符号处理错误导致计算失误，帮助学生形成规范的运算习惯。 6. 有理数的加减混合运算 问题8：计算3 - 5 + 7，你有几种计算方法？ 方法一：按照从左到右的顺序依次计算。 答案：3 - 5 + 7 = (-2) + 7 = 5。 方法二：利用有理数减法法则将式子统一成加法，再运用加法运算律进行简便计算。 答案：3 - 5 + 7 = 3 + (-5) + 7 = (3 + 7) + (-5) = 10 + (-5) = 5。 比较两种方法，哪种更简便？ 答案：方法二更简便，通过加法交换律和结合律将正数结合在一起先算，减少了运算步骤。 解析：通过两种方法的对比，让学生体会将减法转化为加法后，运用运算律可以简化计算，理解混合运算转化的意义。 总结有理数加减混合运算的步骤： 第一步：将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，写成省略加号和括号的形式。 第二步：运用加法交换律和结合律，将同号的数结合在一起进行运算（或凑整、凑零）。 第三步：按照有理数加法法则进行计算，得出最终结果。 计算： (-2) + 3 + 1 + (-3) + 2 + (-4) 答案：原式= -2 + 3 + 1 - 3 + 2 - 4（省略加号和括号） = (3 + 1 + 2) + (-2 - 3 - 4)（结合同号的数） = 6 + (-9) = -3。 解析：先转化为省略加号的形式，再将正数和负数分别结合，简化计算过程，体现运算律的作用。 2.4 - (-3.5) - 4.6 + (-3.5) 答案：原式= 2.4 + 3.5 + (-4.6) + (-3.5)（减法变加法） = 2.4 + 3.5 - 4.6 - 3.5（省略加号和括号） = 2.4 - 4.6 + (3.5 - 3.5)（结合能凑零的数） = -2.2 + 0 = -2.2。 解析：观察到3.5和-3.5互为相反数，结合后和为0，简化运算，培养学生观察式子特点选择简便方法的意识。 -+ - 答案：原式= + (-) + + ( -)（减法变加法） = - + - （省略加号和括号） = ( + ) + (- - )（结合同分母的数） = - =。 解析：对于分数运算，结合同分母的数可以减少通分次数，体现简便运算的灵活性，让学生掌握根据式子特点选择策略的方法。 7. 实际应用 问题9：某一天的最高气温为8℃，最低气温为-2℃，这天的温差是多少？ 答案：温差是最高气温减去最低气温，即8 - (-2) = 8 + 2 = 10℃。 解析：温差的计算是实际生活中常见的减法应用，通过转化为加法解决，让学生感受数学与生活的联系，理解运算的实际意义。 问题10：小明的银行账户上原有500元，他支出200元后，又存入150元，那么现在他的账户上有多少钱？ 答案：支出用减法，存入用加法，列式为500 - 200 + 150 = 300 + 150 = 450（元）。 解析：通过生活中的收支问题，让学生体会加减混合运算的实际应用，明确运算顺序和符号的实际含义（支出为负，存入为正）。 四、课堂小结 1. 有理数加法法则、减法法则分别是什么？ 答案：加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两数相加得0；一个数与0相加，仍得这个数。减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 解析：通过回顾法则，帮助学生梳理核心知识，形成系统的认知。 2. 在进行有理数加减运算时，需要注意哪些问题？ 答案：注意符号的确定（尤其是异号相加和减法转化时的符号）；注意运算顺序（混合运算从左到右，或转化为加法后用运算律）；注意结果的符号和绝对值是否正确。 解析：总结运算中的关键注意事项，帮助学生提炼易错点，提升运算准确性。 3. 有理数加减混合运算的步骤是怎样的？ 答案：先将减法转化为加法，写成省略加号和括号的形式；再运用加法交换律和结合律简便计算；最后按加法法则计算结果。 解析：梳理混合运算的流程，强化步骤感，让学生掌握规范的解题流程。 五、课后作业 1. 计算： (-12) + (+3) 答案：-9（异号相加，取绝对值大的符号，12 - 3 = 9） (-9) + (-5) 答案：-14（同号相加，取负号，9 + 5 = 14） 18 - (-4) 答案：22（转化为18 + 4） 0 - (-7) 答案：7（转化为0 + 7） (-15) - (-7) 答案：-8（转化为-15 + 7，异号相加取负号，15 - 7 = 8） 3.5 - (-2.5) 答案：6（转化为3.5 + 2.5） (-8) + 10 + 2 + (-1) 答案：3（结合正数：10 + 2 = 12；结合负数：-8 - 1 = -9；12 - 9 = 3） 5 + (-6) + 3 + 9 + (-4) + (-7) 答案：0（正数和：5 + 3 + 9 = 17；负数和：-6 - 4 - 7 = -17；17 - 17 = 0） -+ - 答案：-1（结合同分母：( + ) + (- - ) = 1 - 2 = -1） 2. 已知a = -3，b = 5，求a + b，a - b的值。 答案：a + b = -3 + 5 = 2；a - b = -3 - 5 = -8。 解析：直接代入数值，运用加减法则计算，巩固代入求值的基本方法。 3. 某仓库原有货物100吨，第一天运进货物30吨，第二天运出货物20吨，第三天运进货物15吨，第四天运出货物25吨，问此时仓库里货物有多少吨？ 答案：运进用加法，运出用减法，列式为100 + 30 - 20 + 15 - 25 = 100 + (30 + 15) - (20 + 25) = 145 - 45 = 100（吨）。 解析：通过多次收支问题，强化混合运算的实际应用，让学生明确“运进”“运出”与加减符号的对应关系，提升解决实际问题的能力。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$