函数奇偶性与周期性讲义-2026届高三数学一轮复习

函数奇偶性与周期性 课前学习任务 一、必备知识 1．奇偶性 定义：若____，则f(x)为偶函数；若_)__，则f(x)为奇函数． 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称． 性质：(1) 奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于____对称； (2) 若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝____； (3) 在关于y 轴对称的两个区间内，奇函数单调性____，偶函数单调性____． (4) 一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同． (5) 复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外． (6) 既奇又偶的函数只有一个y＝0，但定义域可以有无数个． 2．周期性 (1) 对定义域内任意x，存在非零常数T(T＞0)，使____成立，则T为f(x)的周期； (2) 若T存在最小值，则该值为最小正周期． 二、练基础 1．(人A必一P84例6，P85练习T2改)(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝2x4＋3x2 B．f(x)＝x3－2x C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 2．若一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 3．(人A必一P101复习参考题T9(1)改)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，那么下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－m B．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－m C．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－m D．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－m 4．(人A必一P86习题T11改)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是____． 5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝____． 课堂核心考点 考点一 函数奇偶性的判定 例1　(1) f(x)＝＋； (2) f(x)＝ (3) f(x)＝loga(m≠0)； (4) f(x)＝(a＞0且a≠1)． 变式1　(1) 设函数f(x)＝，则下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 (2) 已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b＝(　　) A．3 B． C．－ D．－ 考点二 函数奇偶性的应用 视角1　求值(解析式) 例 2－1　(1) 已知函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1，则f(－2)＝(　　) A．1 B．－ C．3 D．－3 (2) 已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(ln 3)的值为(　　) A． B．3 C． D． 变式 2－1　若函数f(x)＝ax＋ln(ex＋1)是偶函数，则实数a＝(　　) A． B．－ C． D．－ 视角2　函数图象识别 例 2－2　函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]上的大致图象为(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 变式 2－2　(2024·扬州期末)(多选)已知函数f(x)＝x(ex＋ae－x)是奇函数或偶函数，则y＝f(x)的图象可能是(　　) 　　 　　 　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 视角3　解不等式 例 2－3　已知函数f(x)＝ex－e－x＋sin x－x＋2，其中e是自然对数的底数．若f(logt)＋f(3)＞4，则实数t的取值范围是(　　) A． B． C．(0,8) D．(8，＋∞) 视角4　最值性质 例 2－4　已知定义域为R的函数f(x)＝a＋(a∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a＝____． 考点三 函数的周期性 例3　(1) 若f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(1)＝－5，则f(f(5))＝____． (2) 若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，则f(2 024)＝____． (5) f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a． 变式3　已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为偶函数，f(x＋2)－1为奇函数．若f(1)＝0，则 f(k)＝(　　) A．23 B．24 C．25 D．26 课后提升练 1．已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝则f＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则实数a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 3．(多选)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，且f(x＋2)为偶函数，则(　　) A．f(x)的对称中心为(2,0) B．f(x)的对称轴为直线x＝2 C．f(－1)＞f(4) D．不等式f(x＋3)＞f(4x)的解集为∪(1，＋∞) 4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且周期为2，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x－1，则f(3)＝____． 5．已知曲线C：y＝x3－，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点．若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为____． 答案解析 课前学习任务 1. f(－x)＝f(x)　f(－x)＝－f(x)　(1) 原点　y轴　(2) 0　(3) 相同　相反　2. (1) f(x＋T)＝f(x) 1. BC　2. A　 3. B　【解析】 奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数． 4. －6　【解析】 由题知f(2)＝6，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－6. 5. 1　【解析】 由题意得f＝f＝－4×＋2＝1. 课堂核心考点 例1　【解答】 (1) f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (2) f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x).故该函数为奇函数． (3) f(x)的定义域为(－|m|，|m|)，f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (4) f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 变式1　(1) B　【解析】 由题意可得f(x)＝＝－1＋.对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数． (2) B　【解析】 由已知得，当x>0时，－x<0，即f(x)＝x3＋1，f(－x)＝－ax3＋b.因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即－ax3＋b＝x3＋1，所以a＝－1，b＝1，所以2a＋b＝2－1＋1＝. 例2-1　(1) D　【解析】 当x≥0时，f(x)＝2x－1，则f(2)＝22－1＝3.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－3. (2) D　【解析】 因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数，所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex①.又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数，所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x②.联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，所以f(ln 3)＝eln 3＋2e－ln 3＝. 变式2-1　B　【解析】 依题意，f(－x)＝f(x)，即－ax＋ln (e－x＋1)＝ax＋ln (ex＋1)，整理得2ax＋ln ＝0，即2ax＋ln ex＝0，则有(2a＋1)x＝0.因为x不恒为0，所以必有2a＋1＝0，解得a＝－. 例2-2　B　【解析】 f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，又函数的定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C.又f(1)＝－1＋(e－)sin 1>－1＋(e－)sin ＝－1－>－>0，故可排除D. 变式2-2　BC　【解析】 由已知得f(－x)＝－x(e－x＋a·ex)，若y＝f(x)为偶函数，则－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)恒成立，所以x(1＋a)(ex＋e－x)＝0恒成立，故a＝－1，则f(x)＝x(ex－e－x)，所以x>0时有f(x)>0，且f(x)单调递增，显然C正确，D错误．若y＝f(x)为奇函数，则－x(e－x＋aex)＝－x(ex＋ae－x)恒成立，所以x(a－1)(ex－e－x)＝0恒成立，故a＝1，则f(x)＝x(ex＋e－x)，所以x>0时有f(x)>0，且f(x)单调递增，显然B正确，A错误． 例2-3　C　【解析】 因为f′(x)＝ex＋e－x＋cos x－1≥2＋cos x－1＝1＋cos x≥0，所以f(x)在R上单调递增．令g(x)＝f(x)－2，所以g(x)在R上单调递增，f(x)＝g(x)＋2.因为g(－x)＝e－x－ex＋sin (－x)＋x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，则f(logt)＋f(3)>4化为g(logt)＋2＋g(3)＋2>4，所以g(logt)>－g(3)⇔g(logt)>g(－3)⇔logt>－3，解得0<t<8. 例2-4　3　【解析】 令g(x)＝，显然g(x)为奇函数，最大值、最小值互为相反数，分别设为M，－M，则f(x)＝a＋(a∈R)的最大值、最小值分别为M＋a，－M＋a，和为2a＝6，则a＝3. 例3　(1) 5　【解析】 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以T＝4，所以f(5)＝f(1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－5)＝f(－1).令x＝－1，则f(1)＝－f(－1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－1)＝5. (2) 0　【解析】 因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，代入x－2得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2).两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期，因此f(2 024)＝f(4×506)＝f(0).在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)中，令x＝－1，得f(2)＋f(0)＝f(2)，所以f(0)＝0，即f(2 024)＝0. 变式3　C　【解析】 由f(x＋1)为偶函数，得f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)关于x＝1对称．由f(x＋2)－1为奇函数，得f(－x＋2)－1＝－f(x＋2)＋1，即f(－x＋2)＋f(x＋2)＝2，则f(x)关于点(2，1)对称．由f(x)关于x＝1对称得f(x)＝f(－x＋2)，则f(x)＋f(x＋2)＝2，f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，作差得f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.因为f(1)＋f(3)＝2，f(1)＝0，所以f(3)＝2.因为f(0)＝f(2)，f(0)＋f(2)＝2，所以f(0)＝f(2)＝1，f(4)＝f(0)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，所以f(k)＝24，f(k)＝24＋1＋0＝25. 课后提升练 1. B　【解析】 因为f(x)是奇函数，所以f(－)＝－f()，且f()＝2f()＝4f()＝4×(－)＝－2，所以f(－)＝2. 2. C　【解析】 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.因为x不恒为0，所以＝，所以＝，即x－ax＝ax，解得a＝. 3. BD　【解析】 因为f(x＋2)为偶函数，其图象关于y轴对称，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2，故A错误，B正确；又f(x)在(－∞，2]上单调递增，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以f(－1)＝f(5)<f(4)，故C错误；由不等式f(x＋3)>f(4x)结合f(x)的对称性及单调性，得|x＋3－2|<|4x－2|，即(x＋3－2)2<(4x－2)2，即(5x－1)(3x－3)>0，解得x<或x>1，所以不等式f(x＋3)>f(4x)的解集为(－∞，)∪(1，＋∞)，故D正确． 4. 1　【解析】 由题知当x＝－1时，f(－1)＝1.因为函数f(x)的周期T＝2且为偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，所以f(3)＝f(1)＝f(－1)＝1. 5. 2　【解析】 如图，由y＝x3－为奇函数，y＝kx为奇函数，知M与N，P与Q分别关于原点对称，则S△MNQ＝2S△OMQ＝2S△OMP＝2. (第5题) 学科网（北京）股份有限公司 $$