二次函数与幂函数讲义-2026届高三数学一轮复习

二次函数与幂函数 课前学习任务 一、必备知识 1．二次函数解析式的三种形式 (1) 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2) 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3) 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 (抛物线) 定义域 ____ 值域 ___ ____ 对称轴 x＝____ 顶点 坐标 ____ 奇偶性 当b＝0时是____函数，当b≠0时是非奇非偶 函数 单调性 3．幂函数的定义 一般地，函数____叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 4．五种常见幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 单调递增 在(－∞，0]上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) 5．幂函数的性质 (1) 幂函数在____上都有定义； (2) 幂函数的图象都过点____； (3) 当α＞0时，幂函数的图象都过点____与____，且在(0，＋∞)上单调____； (4) 当α＜0时，幂函数的图象都____点(0，0)，在(0，＋∞)上单调____． 二、练基础 1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f的值等于(　　) A． B．4 C．8 D． 2．(人A必一P91练习T1改)若幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] 　 B．[0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) 　 D．R 3．(人A必一P100复习参考题T4改)若函数f(x)＝4x2－kx－8在上是减函数，则实数k的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[－2，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，－2] 4．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，那么实数m的取值范围为(　　) A．{0，－3} B．[－3，0] C．{0，3} D．(－∞，－3]∪[0，＋∞) 5．已知函数f(x)＝x2＋ax－1在区间[0，3]上有最小值－2，那么实数a＝____． 课堂核心考点 考点一 幂函数 例1　已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．在(0，＋∞)上单调递减 D．定义域为[0，＋∞) 变式1　(2024·广州冲刺训练(一))若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m-3在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 考点二 二次函数的图象与性质 视角1　二次函数的解析式 例 2－1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 视角2　二次函数的图象 例 2－2　函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)与函数g(x)＝ax2－2x在同一平面直角坐标系内的图象不可能是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 变式 2－2　(多选)在下列图形中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象可能是(　　) 　　　　 　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 视角3　二次函数性质 例 2－3　(1) (多选)若函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2在[－1，2]上不单调，则实数a的取值可能是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2) 已知函数f(x)＝在R上是减函数，则实数a的取值范围是____． 考点三 二次函数的动态问题 例3　已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，则f(x)min＝___． 题组强化 1．若函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，则该函数的最小值g(a)＝____． 2．函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值ymin＝____． 3．已知f(x)＝x2－6x＋10在区间[a，a＋1]上的最大值为4，则实数a的值为____． 考点四 二次方程根的分布 例4　(1) 若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m＞0)的两个互异的实数根都小于1，则实数m的取值范围是____． (2) 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是____． (3) 已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是____． 课后提升练 1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c 2．(2024·苏州期中)满足{x|m≤x≤n}＝{y|y＝x2，m≤x≤n}的实数对m，n构成的点(m，n)共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为____． 4．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为____． 答案解析 课前学习任务 2. R　[，＋∞)　(－∞，]　－　(－，)　偶　减　增　增　减 3. y＝xα 5. (1) (0，＋∞)　(2) (1，1)　(3) (0，0)　(1，1)　递增　(4) 不过　递减 1. B　【解析】 设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以2α＝，α＝－，所以f(x)＝x－，则f＝＝4. 2. B　【解析】 设幂函数为y＝xα，则2α＝，可得α＝，所以y＝x，则所求的单调递增区间为[0，＋∞). 3. A　【解析】 函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴为x＝，由于f(x)在上是减函数，所以≥⇒k≥2. 4. A　【解析】 由题意得Δ＝4(m＋3)2－4×3×(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3，所以实数m的取值范围是{0，－3}． 5. －2　【解析】 当－≤0，即a≥0时，函数在区间[0，3]上为增函数，故f(x)min＝f(0)＝－1，不符合题意，舍去；当－≥3，即a≤－6时，函数在区间[0，3]上为减函数，故f(x)min＝f(3)＝8＋3a＝－2，解得a＝－，与a≤－6矛盾，舍去；当0<－<3，即－6<a<0时，f(x)min＝f＝－2，解得a＝－2，经检验符合题意．故a＝－2. 课堂核心考点 例1　C　【解析】 设幂函数y＝f(x)＝xα，α∈R，由题意得2α＝，α＝－，故y＝f(x)＝x－＝，定义域为(0，＋∞)，故D错误；定义域不关于原点对称，y＝f(x)为非奇非偶函数，故A，B错误；由于－<0，故y＝f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递减，故C正确． 变式1　A　【解析】 因为幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是增函数，所以解得m＝2. 例2-1　【解答】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 例2-2　D　【解析】 对于A，由对数函数图象可知a>1，又函数g(x)＝ax2－2x，对称轴为x＝<1，对应方程的两个根为0，，由图知<1，从而a>2，故A可能；对于B，由对数函数图象可知a>1，又函数g(x)＝ax2－2x，对称轴为x＝<1，对应方程的两个根为0，，由图知>1，从而0<a<2，故B可能；对于C，由对数函数图象可知0<a<1，又函数g(x)＝ax2－2x，对称轴为x＝>1，对应方程的两个根为0，，由图知>1，从而a<2，故C可能；对于D，由对数函数图象可知0<a<1，又函数g(x)＝ax2－2x，对称轴为x＝<1，则a<0或a>1，故D不可能． 变式2-2　ABD　【解析】 当a>b>0时，A正确；当b>a>0时，B正确；当0>a>b时，D正确；当0>b>a时，无此选项． 例2-3　(1) BC　【解析】 因为函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2在[－1，2]上不单调，所以－1<<2，所以－2<4a－1<4，所以－<a<. (2) [－2，－1]　【解析】 因为函数f(x)＝在R上是减函数，所以解得a∈[－2，－1]. 例3　　【解析】 当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－2.当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上，且对称轴为x＝.①当<1，即a>1时，f(x)在上单调递减，在[，1]上单调递增，所以f(x)min＝f＝－＝－.②当≥1，即0＜a≤1时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝a－2.当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下，且对称轴x＝＜0，在y轴的左侧，所以f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝ 题组·高频强化 1. 　【解析】 因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以其图象的对称轴为直线x＝1.当－2<a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a>1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.综上，g(a)＝ 2. 　【解析】 函数y＝－x2＋2ax＋2开口向下，对称轴为x＝a.因为x∈[－1，3]，令y＝f(x)＝－x2＋2ax＋2，当a≤＝1时，ymin＝f(3)＝6a－7；当a>1时，ymin＝f(－1)＝1－2a.所以函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值ymin＝ 3. 2＋或3－　【解析】 令f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，因为y＝f(x)在区间[a，a＋1]上的最大值为4，当a＋≥3，即a≥时，f(x)max＝(a＋1－3)2＋1＝4⇒a＝2＋；当a＋<3，即a<时，f(x)max＝(a－3)2＋1＝4⇒a＝3－.综上，a＝2＋或a＝3－. 例4　(1) 　【解析】 因为关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m>0)的两个互异的实数根都小于1，所以即解得m>. (2) 　【解析】 设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，问题转化为抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在(－1，0)和(1，2)内，则解得－<m<－. (3) (－3，0)　【解析】 显然a≠0，关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f(x)＝ax2＋x＋2(对开口方向进行讨论，分a>0和a<0).①若a>0，即图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)<0且f(1)<0，即2<0且a＋3<0，则a∈∅；(若发现f(0)＝2，结合图象也可知a>0不可能).②若a<0，即图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)>0且f(1)>0，即2>0且a＋3>0，则－3<a<0.综上，实数a的取值范围是(－3，0). 课后提升练 1. B　【解析】 因为函数f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.又函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，所以()n＝2，解得n＝3，故f(x)＝x3，则函数f(x)为增函数．因为n＞m＞ln 2，所以c＜a＜b. 2. C　【解析】 由{x|m≤x≤n}＝{y|y＝x2，m≤x≤n}，又y＝x2≥0，则m≥0，所以y＝x2在[m，n]上单调递增，故值域为[m2，n2]，即m，n是x2＝x的两根，解得x1＝0，x2＝1.当m＝n＝0时，点(m，n)为(0，0)，当m＝n＝1时，点(m，n)为(1，1)，当m＝0，n＝1时，点(m，n)为(0，1). 3. f(x)＝x2－4x＋3　【解析】 因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，即a＝1，故f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 4. (－4，－2)　【解析】 设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，因为方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，所以即所以－4<m<－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$