湖南省湘西自治州2024-2025学年高二下学期期末数学试题

2024～2025学年第二学期高二期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试题卷共6页.如缺页，考生须声明，否则后果自负. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示． 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 50 60 70 80 100 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 在一次投篮比赛中，小明同学连续投篮3次，若前一次投中，则后一次投中的概率为前一次投中概率的2倍；若前一次未投中，则后一次投中的概率与第一次投中的概率相同．已知他第一次投中的概率为，则在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，的右支上存在点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当或时， C. D. 在上的投影向量的坐标为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 11. 已知直线（不同时为0），圆，则（ ） A. 当时，直线与圆不可能有交点 B. 当时，直线与圆相切 C. 当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点，使得的面积为 D. 当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，项的系数为60，则实数的值为______． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为______． 14. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体．如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了本校120名男生和120名女生，通过调查得到以下信息：120名女生中有30人课间经常进行体育活动，120名男生中有50人课间经常进行体育活动． （1）完成如下的列联表，并判断能否有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关； 单位：人 性别 课间进行体育活动情况 合计 不经常 经常 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率，在全校学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列的各项都为正数，其前项和为，且． （1）证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求二面角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． （1）求曲线的方程； （2）若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； （3）设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间； （3）若且，证明：． 2024～2025学年第二学期高二期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试题卷共6页.如缺页，考生须声明，否则后果自负. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）列联表如下：单位：人 性别 课间进行体育活动情况 合计 不经常 经常 男 70 50 120 女 90 30 120 合计 160 80 240 没有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联． （2）的分布列为 0 1 2 3 数学期望为1 【16题答案】 【答案】（1）证明：由，且，可得， 所以当时，，解得或（舍）； 当时，， 两式相减， 因为，可得， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式为． （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图1，连接交于点，连接， 因为的中点，为的中点，所以为的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面． （2）证明：在中，，，， 由余弦定理得， ， 所以，所以， 又平面，平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 因为平面，所以． （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明：由题意及（1）（2）证明如下， 当点在直线上运动时， 设点的坐标为. 又， ∴过点且与圆相切得直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点， 则切线方程为， 即， 所以，整理得．① 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ∴．② 联立得．③ 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ∴．④ 同理可得，．⑤ 联立②，④，⑤三式，得 ， ∴当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 要证，只需证， 即证， 设函数，即证． 又， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以． 令，则， 所以在上单调递增，故， 而，所以， 故，即且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $