第10讲 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题（举一反三讲义）（全国通用）

第10讲 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题 一、 考点精讲练本讲要点 考点01：动态平衡问题（必备知识+4例+4变式+能力提升） 考点02：晾衣架模型（必备知识+1例+1变式） 考点03：临界极值问题（必备知识+3例） 2、 拓展学习（自锁现象和摩擦角问题：必备知识+2例+2变式+能力提升） 三、 巩固提升（精选12道题） 动态平衡问题 考点一 动态平衡就是通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 1.图解法 用图解法分析物体的动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。 （1）一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 （2）一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 【例1-1】 (2025·河北石家庄高三期末)如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为圆的柱状物体A，A与墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体B，A、B均保持静止。若将A向左移动少许，下列说法正确的是(　　) A.B对A的作用力不变 B.墙对B的作用力不变 C.地面对A的摩擦力不变 D.地面对A的支持力不变 【答案】　D 【详解】　对物体B受力分析，受到重力mg、A对B的支持力FNAB和墙壁对B的支持力FNB，如图甲所示，当A向左移动后，A对B的支持力FNAB的方向不断变化，根据平衡条件结合合成法可知A对B的支持力FNAB和墙壁对B的支持力FNB都在不断减小，由牛顿第三定律可知B对A的作用力不断减小，故A、B错误;对A和B整体受力分析，受到总重力G、地面的支持力FN、地面的摩擦力Ff和墙壁的弹力FN1，如图乙所示，根据平衡条件，有Ff＝FN1，FN＝G，故地面对A的支持力不变，地面对A的摩擦力Ff逐渐减小，故C错误，D正确。 【变式1-1】（多选）（2019·全国I卷·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 【答案】BD 【详解】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大； 对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加．故本题选BD． 2.解析法:如果物体受到多个力的作用,可进行正交分解,利用解析法,建立平衡方程,根据自变量的变化确定因变量的变化。 【例1-2】 （2021·湖南·高考真题）质量为的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，为半圆的最低点，为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为的小滑块。用推力推动小滑块由A点向点缓慢移动，力的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（　　） A．推力先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 【答案】C 【详解】AB ．对滑块受力分析，由平衡条件有 滑块从A缓慢移动B点时，越来越大，则推力F越来越大，支持力N越来越小，所以AB错误； C．对凹槽与滑块整体分析，有墙面对凹槽的压力为 则越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C正确； D．水平地面对凹槽的支持力为 则越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D错误； 故选C。 【变式1-2】（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【答案】B 【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知 联立解得 故A错误，B正确； C．拉力的大小为 其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误； D．摩擦力大小为 可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误； 故选B。 3.相似三角形法:一个力恒定、另外两个力的方向同时变化,当所作矢量三角形与空间的某个几何三角形总相似时用此法。(如表所示) 受力分析 力的矢量三角形 和几何三角形相似 比例 == == == 【例1-3】 (多选)(2025·江西鹰潭模拟)如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小滑轮，小滑轮到轨道上B点的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球，靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小滑轮的距离为L，另一端绕过小滑轮后用力拉住。重力加速度大小为g，则(　　) A.若使小球静止在A点，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝ B.若使小球静止在A点，绳对小球的拉力大小FT＝ C.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN不变，绳对小球的拉力大小FT变小 D.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN变小，绳对小球的拉力大小FT先变小后变大 【答案】　AC 【详解】对小球受力分析如图所示，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如图所示闭合三角形。由图可知力的三角形与几何三角形△AOO'相似，则有，得FN＝，FT＝，故A正确，B错误;缓慢地拉绳，小球由A到B的过程中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，由上式可知，FN不变，FT变小，故C正确，D错误。 【变式1-3】(2025·山东烟台市龙口市校考)如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有小滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用轻质钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A.大小不变 B.逐渐增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 【答案】　A 【详解】以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，G、FN的合力F合与F大小相等、方向相反。 根据三角形相似得，得FN＝ G ∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。 4.力的外接圆法和正弦定理法:一力恒定,另外两力方向均变化,但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题,可利用力的外接圆法或正弦定理法。 力的外 接圆法 作出某状态三个力的矢量三角形,根据不同位置判断另外两个力的大小变化 正弦 定理法 物体受三个共点力作用而处于平衡状态,对表示三个力的矢量组成的封闭三角形,根据正弦定理可推出==,若F1、α不变、β(或γ)的变化导致F2(或F3)变化 【例1-4】某中学为增强学生体魄,组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中,一学生将铅球置于两手之间,其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变,将右手由图所示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦,则在转动过程中,下列说法正确的是(　　) A.右手对铅球的弹力一直增大 B.右手对铅球的弹力先增大后减小 C.左手对铅球的弹力一直增大 D.左手对铅球的弹力先增大后减小 【答案】B 【详解】方法一　力的外接圆法：　以铅球为研究对象,受重力G、右手对铅球的弹力F1和左手对铅球的弹力F2,受力分析如图甲所示,缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态,则将三力平移后构成一首尾相连的三角形,两手之间夹角保持60°不变,两力之间的夹角保持120°不变,在力矢量三角形中,F1与F2夹角保持60°不变,重力G的大小方向不变,作出力三角形的外接圆,在右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中,力的三角形变化如图甲所示,分析可得F1开始小于直径,当转过30°时F1等于直径,再转时又小于直径,所以F1先增大后减小,F2开始就小于直径,转动过程中一直减小,选项B正确。 方法二　正弦定理法：　以铅球为研究对象,受重力G、右手对铅球的弹力F1及左手对铅球的弹力F2,受力分析如图乙所示,缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态,将三力平移后构成一首尾相连的三角形,两手之间夹角保持60°不变,右手由图示位置缓慢旋转的角度设为θ,根据正弦定理有==,右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中,θ由0°变为60°,sin(60°+θ)先变大再变小,所以F1先增大后减小,sin(60°-θ)一直变小,所以F2一直减小,选项B正确。 【变式1-4】(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A.MN上的张力逐渐增大 B.MN上的张力先增大后减小 C.OM上的张力逐渐增大 D.OM上的张力先增大后减小 【答案】AD 【详解】　方法一　力的外接圆法：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示， F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误。 方法二　正弦定理法：根据正弦定理，mg与sin θ3保持不变，sin θ1变大，F1变大，sin θ2先增大后减小，F2先增大后减小，故选A、D。 【解题能力提升】 分析动态平衡问题的流程 受力分析→化动为静→画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形→静中求动 晾衣架问题 考点二 1. 晾衣架模型：重物悬挂在光滑绳子上，绳子两端的力相等。 ①绳子悬点间的距离增大或减小,绳子变长或变短，导致绳子上的力的变化问题; ②悬点水平距离不变，将其中一个悬点上下移动，判断绳子上的力的变化问题，这些都属于晾衣杆模型。 d L A B 2.模型特点：当绳子长度不变，绳子悬点上下移动时，绳子上的力不变，绳子上的力和重力的关系满足mg/2F=cosθ,θ为绳与竖直方向的夹角，由间距d和绳长l共同决定，与绳子的悬点位置无关，所以悬点位置的上下移动并不会导致绳子上的力的变化。如果重物的质量发生变化，绳子上的拉力也会等比例变化。 【例2】如图所示，晾晒衣服的绳子轻质且不可伸长，悬挂衣服的衣架的挂钩光滑，轻绳两端A、B分别固定在两根竖直杆上，挂钩在O点时，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别缓慢移动到不同的位置。下列判断正确的是（　　） A．B端缓慢移动到B1位置时，绳子张力变小 B．B端缓慢移动到B2位置时，绳子张力变小 C．B端缓慢移动到B1的位置的过程中，挂钩沿竖直方向向下缓慢移动一小段距离 D．B端缓慢移动到B2位置的过程中，挂钩沿OA方向斜向上缓慢移动一小段距离 【答案】D 【详解】AB、对挂钩受力分析，如图所示： 设绳长为L，两杆之间的距离为d，根据几何关系可得：sinθ 悬点从B移到B1或B2，细线与杆的夹角θ不变，根据平衡条件，有：2Tcosθ＝mg，则绳子张力也不变，故AB错误； CD、悬点从B移到B1或B2，细线与杆的夹角θ不变，则B端缓慢移动到B1的位置的过程中，挂钩沿OA方向向上缓慢移动一小段距离，B端缓慢移动到B2的位置的过程中，挂钩沿OA方向斜向上缓慢移动一小段距离，故C错误，D正确。 故选D。 【变式2】（多选）如图所示，左右两根竖直杆之间有一段光滑的轻绳，轻绳两端分别固定在杆的点和点，轻绳上有一个光滑挂钩，挂钩下面挂了一物块。保持左侧杆和点的位置不变，下列说法正确的是（　　） A．右侧杆不动，点移到位置时，绳子张力变小 B．右侧杆不动，点移到位置时，绳子张力不变 C．点不动，将右侧杆移到虚线位置时，绳子张力不变 D．点不动，将右侧杆移到虚线位置时，绳子张力变大 【答案】BD 【详解】设挂钩为O，根据对称性可知，挂钩两侧绳子与竖直方向的夹角相等，设为，根据受力平衡可得 设轻绳两端点的水平距离为，绳子长度为，由几何关系可得 A．右侧杆不动，B点移到位置时，由于和均不变，则不变，绳子张力不变，故A错误； B．侧杆不动，B点移到位置时，由于和均不变，则不变，绳子张力不变，故B正确； C．B点不动，将右侧杆移到虚线位置C时，由于变小，不变，则变小，变大，绳子张力变小，故C错误； D．B点不动，将右侧杆移到虚线位置D时，由于变大，不变，则变大，变小，绳子张力变大，故D正确。 故选BD。 平衡中的临界极值问题 考点三 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 【例3-1】（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知机器人“天工”它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有 可得 故选B。 （2）数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 【例3-2】春秋末年，齐国著作《考工记》中记载“马力既竭，輈（zhōu，指车辕）犹能一取焉”，揭示了一些初步的力学原理。如图甲所示，车辕是马车车身上伸出的两根直木，它是驾在马上拉车的把手。如图乙为马拉车时的简化模型，车辕前端距车轴的高度H约为1m，马拉车的力可视为沿车辕方向，马车的车轮与地面间的摩擦力大小是其对地面压力的倍，若想让马拉车在水平面上匀速前进且尽可能省力，则车辕的长度约为（　　） A．m B．m C．3m D．2m 【答案】D 【详解】设车辕与水平方向夹角为θ，则当车匀速前进时 解得 而 则当时F最小，即此时车辕的长度约为 故选D。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【例3-3】如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加外力F（重力加速度为g），则下列说法中正确的是（　　） A．AC绳的拉力为 B．CD绳的拉力为 C．外力F的最小值为 D．外力F的最小值为 【答案】D 【详解】AB．令AC绳与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系有 解得 对C点与重物进行分析，根据平衡条件有 ， 解得 ， 故AB错误； CD．对D点进行受力分析，作出矢量动态三角形如图所示 可知，当外力F方向与绳BD垂直时，外力F最小，则有 故C错误，D正确。故选D。 拓展学习 自锁现象和摩擦角 1．摩擦角 物体在粗糙平面(斜面)上滑动时，所受滑动摩擦力Ff和支持力FN的合力F合与FN间的夹角为θ，如图甲、乙所示，由于tanθ＝＝μ为常量，所以θ被称为摩擦角． 图甲　　　　　　　　　图乙 2．摩擦角的应用 (1)在水平面上，若给物体施加拉力F使之在水平面上滑动，则力跟水平方向的夹角为θ(跟F合垂直)时，拉力F最小，如图丙． 图丙　　　　　图丁　　　　　图戊 (2)当所加推力F与支持力FN反方向间的夹角β≤θ时，无论推力F多大，都不能推动物体在平面(斜面)上运动，这种现象称为摩擦自锁，如图丁、戊． (3)有摩擦力参与的四力平衡问题可通过合成支持力FN和滑动摩擦力Ff转化为三力平衡问题，然后根据力的平衡知识求解． 【例3-1】如图所示，倾角为45°的斜面上，放置一质量为m的小物块，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一个力，该力最小时大小与方向是(　　) A.mgsin 15°，与水平方向夹角为15°，斜向右上 B.mgsin 30°，竖直向上 C.mgsin 75°，沿斜面向上45° D.mgtan 15°，水平向右 【答案】　A 【详解】将支持力和摩擦力合为全反力FR，设摩擦角大小为θ，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝tan θ＝，可知摩擦角θ＝30°，即全反力方向与垂直斜面方向的夹角为30°，将重力G、全反力FR、外力F这三个力首尾相连构成矢量三角形，如图，由几何关系可知外力F与全反力FR垂直时，外力F取最小值，最小值为Fmin＝mg·sin(45°－30°)＝mgsin 15°，方向与水平方向成15°，斜向右上，故A正确。 【变式3-1】如图（a），摩擦角的物理意义是：当两接触面间的静摩擦力达到最大值时，静摩擦力f与支持面的支持力N的合力F与接触面法线间的夹角即为摩擦角，可知。利用摩擦角的知识可以用来估料，如图（b）所示。物料自然堆积成圆锥体，圆锥角底角必定是该物料的摩擦角。若已知物料的摩擦角和高h，动摩擦因数为。物料所受滑动摩擦力等于最大静摩擦力。可求出圆锥体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】物料自然堆积成圆锥体，圆锥角底角必定是该物料的摩擦角，对物料作受力分析如图所示 当底角大于时，物料将沿锥面下滑，为使物料不下滑，应使减小；当底角小于时，物料将停留在锥面上，那么使物料恰好不下滑应使增大，且让，所以底角会保持为定值。若已知和锥体的高h，则可求出它的体积为 故选A。 【解题能力提升】 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α＝＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。 3. 自锁现象 自锁现象是一种力学物理现象，如果作用于物体的主动力的合力Q的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，总有一个全反力R与之平衡，物体保持静止；反之，如果主动力的合力Q的作用线在摩擦角之外，则无论这个力多么小，物体也不可能保持平衡。这种与力大小无关而与摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件。物体在这种条件下的平衡现象称之自锁现象。 【例3-2】北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，该粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为m，木棍与水平地面动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为（　　） A．1.5m B．m C．2m D．2m 【答案】C 【详解】设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，设粮仓对木棍的作用力大小为F，则为使木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有 由几何知识有 两式联立解得 即木棍的长度最多为2m，故ABD错误，C正确。 故选C。 【变式3-2】某同学做家务时，使用拖把清理地板，如图所示。假设拖把头的质量为1kg，拖把杆的质量不计，拖把杆与水平地面成53°角。当对拖把头施加一个沿拖把杆向下、大小为10N的力F1时，恰好能推动拖把头向前匀速运动。重力加速度g取10m/s2，，。 （1）求拖把头与地板间的动摩擦因数。 （2）当拖把静止时，对拖把头施加一个沿拖把杆向下的力F2，拖把杆与地面的夹角为。当增大到某一值时，无论F2多大，都不能推动拖把头，求此时的tan值。（为方便起见，本问可忽略拖把头的重力，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）    【答案】（1）或0.33；（2） 【详解】（1）对拖把头受力分析，如图所示    拖把头做匀速直线运动，水平方向和竖直方向受力平衡：水平方向有 竖直方向有 而 解得 （2）忽略拖把头的重力，若不能推动拖把头，需满足 即 即时，无论对拖把头施加一个沿拖把杆向下的多大的力，都不能推动拖把头。 巩固提升 1．如图，光滑斜面上有一个小球被轻绳拴住，悬挂在天花板上，已知轻绳与竖直方向的夹角为，斜面倾角，整个装置处于静止状态。现保持悬点不变，将斜面向左缓慢推动平移一小段距离后，下列说法正确的是（　　） A．小球对斜面的压力变小 B．斜面对小球支持力变大 C．轻绳拉小球的拉力变小 D．斜面受到地面的摩擦力变大 【答案】A 【详解】ABC．斜面向左移动时绳子的拉力与竖直方向之间的夹角逐渐减小，绳子的拉力以及斜面的支持力变化如图： 可知绳子的拉力增大，斜面的支持力逐渐减小，根据牛顿第三定律可知小球对斜面的压力减小，故A正确，BC错误。 D．对斜面分析可知，地面对斜面的摩擦力为 因FN减小，则斜面受到地面的摩擦力变小，选项D错误。 故选A。 2．用绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上。悬点A固定不动，将悬点B从如图所示位置逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力的大小变化情况是（    ） A．OA绳上的拉力逐渐减小 B．OA绳上的拉力先减小后增大 C．OB绳上的拉力逐渐增大 D．OB绳上的拉力先增大后减小 【答案】A 【详解】将AO绳、BO绳的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变OB绳拉力的方向，使FB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知FA逐渐减小，且方向不变，而FB先减小后增大，且方向不断改变，当FB与FA垂直时，FB最小。 故选A。 3．（2025·陕西渭南·三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为。一只小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向半球面最高点，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知与的夹角为，在此过程中，下列说法正确的是（    ） A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大 B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小 C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零 D．地面对大理石半球的支持力变小 【答案】C 【详解】AB．对小蚂蚁受力分析如图所示 可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持不变；蚂蚁受到的摩擦力为 蚂蚁受到的支持力为 小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向点的过程中逐渐变小，则小蚂蚁受到的支持力变大，摩擦力变小，大理石半球对小蚂蚁的作用力不变，故AB错误； CD．选取大理石半球与小蚂蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，所以大理石半球受到地面的支持力始终大小等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。 故选C。 4．（多选）图1是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图2所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是（　　） A．货物A对玻璃棚的压力越来越小 B．货物A对玻璃棚的压力越来越大 C．绳子的拉力越来越大 D．绳子的拉力先减小后增大 【答案】AC 【详解】对A受力分析，其动态图如下    货物缓慢向上移动，则拉力方向与竖直方向上的夹角减小，由图可知，绳子的拉力越来越大。同时，玻璃棚对货物的支持力变小，则货物A对玻璃棚的压力越来越小。 故选AC。 5．（2025·山东威海·三模）如图所示，工人利用定滑轮通过绳索施加拉力，将一根均匀的钢梁拉起，定滑轮位于钢梁端的正上方，拉起的过程中钢梁绕端缓慢转动。拉力的大小（　　） A．始终不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 【答案】C 【详解】对钢梁AB受力分析，向下的重力mg，细绳的拉力F以及地面对A点的作用力N（摩擦力和支持力的合力），三个力的合力交于一点，组成力的封闭三角形，则由相似三角形可知 则随着钢梁B点逐渐升高，则OC的减小，F减小。 故选C。 6．（2025·山东·二模）黄河铁牛是世界桥梁史上的传世之宝。如图，唐代蒲津浮桥通过两岸的铁牛固定，铁牛底部的铁柱插入地下。铁牛受到3个力：其中桥索对铁牛的拉力为，铁柱对铁牛的作用力为，铁牛自身重力为G，则（　　） A．若增大，则减小 B．与的合力竖直向上 C．铁柱对铁牛的作用力一定沿着铁柱向上 D．若桥索与竖直方向夹角变大，则与的合力变小 【答案】B 【详解】ABD．根据共点力平衡条件及矢量三角形法则可知若增大，增大，且与的合力与重力等大反向，方向竖直向上，故AD错误，B正确； C．根据三个力的合成可知一定与和重力合力的方向相反，不一定沿着铁柱向上，故C错误。 故选B。 7．图甲为某人发明的自动叉秸秆工具，捆成圆柱形的秸秆从地上被叉起后，处于长、短直杆之间被短直杆挡住，短直杆焊接在长直杆上，且二者之间夹角小于90°，简化图如图乙所示，不计一切摩擦。若长直杆由水平逆时针缓慢转至竖直，则下列说法正确的是（　　） A．长直杆对秸秆的弹力一直增大 B．长直杆对秸秆的弹力先减小后增大 C．短直杆对秸秆的弹力一直增大 D．短直杆对秸秆的弹力先减小后增大 【答案】C 【详解】对秸秆受力分析可知，秸秆受到重力，短直杆弹力，长直杆弹力，如图 由题意知长直杆与短直杆的角小于不变，则与的夹角不能变，故图中不能变，由于秸秆受三力平衡，作出力的矢量三角形如上图所示，当长直杆由水平缓慢转至竖直时，图像可知一直增大，先增加后减小，故短直杆对秸秆的弹力一直增大，长直杆对秸秆的弹力先增加后减小。 故选C。 8．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【详解】AB．设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又 且 可知 则 可知从锐角逐渐增大到钝角，根据 由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，故A错误、B正确； CD．设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则 可得 不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故CD错误。 故选B。 9．（多选）质量为M的木楔倾角为37°，在水平面上保持静止。当将一质量为m的物块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如图所示，当用与木楔斜面成角的力F拉物块，物块匀速上升（已知木楔在整个过程中始终静止）。可取。下列说法正确的有（　　） A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.75 B．当时F有最小值 C．当时F有最小值 D．F的最小值为 【答案】ABD 【详解】A．物块匀速下滑时，有 解得 故A正确； BCD．物块匀速上升时，有 整理得 可知当时有最小值，最小值为 故BD正确，C错误。 故选ABD。 10．（多选）（2025·福建厦门·二模）如图甲所示，我国古建屋顶多采用蝴蝶瓦方式铺设。图乙是两片底瓦和一片盖瓦的铺设示意图，三根相同且平行的椽子所在平面与水平面夹角为。图丙为截面示意图，弧形底瓦放置在两根相邻的椽子正中间，盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离和瓦的半径都为，盖瓦和底瓦形状相同，厚度不计，质量均为、最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取，在无扰动的情况下，底瓦与盖瓦均保持静止。若仅铺设这三片瓦进行研究，则（　　） A．底瓦与椽子间的动摩擦因数 B．底瓦与椽子间的动摩擦因数 C．适当增大两椽子间的距离，底瓦更不容易下滑 D．适当减小两椽子间的距离，底瓦更不容易下滑 【答案】AC 【详解】AB．以两片底瓦和盖瓦整体为研究对象，易得这个整体的重力在垂直椽子所在平面方向上的分力为3mgcos37°，垂直椽子所在平面方向上整体处于平衡状态，可知 相邻两椽子与底瓦接触点间的距离和瓦的半径都为，根据几何关系 可得椽子与底瓦接触部位之间的弹力 在无外界干扰的情况下，为使底瓦与盖瓦不下滑，应使 解得 故A正确B错误； C．适当增大两椽子间的距离，增大，弹力增大，最大静摩擦力增大，底瓦更不容易下滑，故C正确； D．适当减小两椽子间的距离，减小，弹力减小，最大静摩擦力减小，底瓦容易下滑，故D错误。 故选AC。 11．（多选）一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心O点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为。现使圆环沿顺时针方向缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中（　　） A．AO绳中的拉力一直增大 B．AO绳中最大拉力为 C．BO绳中的拉力先减小后增大 D．BO绳中最小拉力为0 【答案】BD 【详解】AC．物体始终保持静止，合力为零，由于重力不变，以及和夹角不变，则 则mg、、构成封闭的矢量三角形如图所示 可知在AO绳由水平转动至竖直的过程中，AO绳中的拉力先增大后减小，BO绳中的拉力一直减小。故AC错误； B．当为直径时，最大，AO绳中最大拉力为 故B正确； D．在AO绳竖直时，BO绳中拉力最小，为零。故D正确。 故选BD。 12．小明和小语到机场去为朋友送行，看到有一些旅客斜向上拉着旅行箱走，也有一些旅客斜向下推着旅行箱走。小刘突然产生了一个想法，他问小赵：若在粗糙水平面上，为使质量为25kg的行李箱在水平面上做匀速直线运动，往往可以采用“拉”或“推”两种方式，这两种方式可简化为如图1的模型，甲受到与水平方向成30°角的拉力乙受到与水平方向成30°角的推力，g取。（结果可用分数和根号表示） （1）求行李箱与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ； （2）求的大小； （3）若此题已知行李箱与水平面间的动摩擦因数为μ₀，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对它作用一个推力F，如图2所示，若F无论为多大也不能推动行李箱，则F与水平地面间的夹角α的正切值（tanα）满足什么关系？（提示：） 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）对甲图行李箱受力分析，可得 ， 由 解得 （2）将换成推力后，行李箱仍向右匀速直线运动，所以合力为0。则由题意可得 ， 由 解得 （3）对行李箱进行受力分析，由题意可得 ， 联立解得 由题意，F取无限大，则恒有 即 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题 一、 考点精讲练本讲要点 考点01：动态平衡问题（必备知识+4例+4变式+能力提升） 考点02：临界极值问题（必备知识+3例） 2、 拓展学习（自锁现象和摩擦角问题：必备知识+2例+2变式+能力提升） 三、 巩固提升（精选12道题） 动态平衡问题 考点一 动态平衡就是通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 1.图解法 用图解法分析物体的动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。 （1）一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 （2）一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 【例1-1】 (2025·河北石家庄高三期末)如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为圆的柱状物体A，A与墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体B，A、B均保持静止。若将A向左移动少许，下列说法正确的是(　　) A.B对A的作用力不变 B.墙对B的作用力不变 C.地面对A的摩擦力不变 D.地面对A的支持力不变 【变式1-1】（多选）（2019·全国I卷·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 2.解析法:如果物体受到多个力的作用,可进行正交分解,利用解析法,建立平衡方程,根据自变量的变化确定因变量的变化。 【例1-2】 (2025·河北保定一模)如图，质量为0.2 kg的小球A在水平力F作用下，与四分之一光滑圆弧形滑块B一起静止在地面上，小球球心跟圆弧圆心连线与竖直方向夹角θ＝60°，g取10 m/s2。则以下说法正确的是(　　) A.B对A的支持力大小为2 N B.水平地面对B的摩擦力方向水平向右 C.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，F减小 D.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，地面对B的支持力减小 【变式1-2】（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 3.相似三角形法:一个力恒定、另外两个力的方向同时变化,当所作矢量三角形与空间的某个几何三角形总相似时用此法。(如表所示) 受力分析 力的矢量三角形 和几何三角形相似 比例 == == == 【例1-3】 (多选)(2025·江西鹰潭模拟)如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小滑轮，小滑轮到轨道上B点的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球，靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小滑轮的距离为L，另一端绕过小滑轮后用力拉住。重力加速度大小为g，则(　　) A.若使小球静止在A点，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝ B.若使小球静止在A点，绳对小球的拉力大小FT＝ C.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN不变，绳对小球的拉力大小FT变小 D.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN变小，绳对小球的拉力大小FT先变小后变大 【变式1-3】(2025·山东烟台市龙口市校考)如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有小滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用轻质钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A.大小不变 B.逐渐增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 4.力的外接圆法和正弦定理法:一力恒定,另外两力方向均变化,但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题,可利用力的外接圆法或正弦定理法。 力的外 接圆法 作出某状态三个力的矢量三角形,根据不同位置判断另外两个力的大小变化 正弦 定理法 物体受三个共点力作用而处于平衡状态,对表示三个力的矢量组成的封闭三角形,根据正弦定理可推出==,若F1、α不变、β(或γ)的变化导致F2(或F3)变化 【例1-4】某中学为增强学生体魄,组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中,一学生将铅球置于两手之间,其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变,将右手由图所示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦,则在转动过程中,下列说法正确的是(　　) A.右手对铅球的弹力一直增大 B.右手对铅球的弹力先增大后减小 C.左手对铅球的弹力一直增大 D.左手对铅球的弹力先增大后减小 【变式1-4】(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A.MN上的张力逐渐增大 B.MN上的张力先增大后减小 C.OM上的张力逐渐增大 D.OM上的张力先增大后减小 【解题能力提升】 分析动态平衡问题的流程 受力分析→化动为静→画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形→静中求动 平衡中的临界极值问题 考点二 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 【例2-1】（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　） A． B． C． D． （2）数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 【例2-2】春秋末年，齐国著作《考工记》中记载“马力既竭，輈（zhōu，指车辕）犹能一取焉”，揭示了一些初步的力学原理。如图甲所示，车辕是马车车身上伸出的两根直木，它是驾在马上拉车的把手。如图乙为马拉车时的简化模型，车辕前端距车轴的高度H约为1m，马拉车的力可视为沿车辕方向，马车的车轮与地面间的摩擦力大小是其对地面压力的倍，若想让马拉车在水平面上匀速前进且尽可能省力，则车辕的长度约为（　　） A．m B．m C．3m D．2m (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【例2-3】如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加外力F（重力加速度为g），则下列说法中正确的是（　　） A．AC绳的拉力为 B．CD绳的拉力为 C．外力F的最小值为 D．外力F的最小值为 拓展学习 自锁现象和摩擦角 1．摩擦角 物体在粗糙平面(斜面)上滑动时，所受滑动摩擦力Ff和支持力FN的合力F合与FN间的夹角为θ，如图甲、乙所示，由于tanθ＝＝μ为常量，所以θ被称为摩擦角． 图甲　　　　　　　　　图乙 2．摩擦角的应用 (1)在水平面上，若给物体施加拉力F使之在水平面上滑动，则力跟水平方向的夹角为θ(跟F合垂直)时，拉力F最小，如图丙． 图丙　　　　　图丁　　　　　图戊 (2)当所加推力F与支持力FN反方向间的夹角β≤θ时，无论推力F多大，都不能推动物体在平面(斜面)上运动，这种现象称为摩擦自锁，如图丁、戊． (3)有摩擦力参与的四力平衡问题可通过合成支持力FN和滑动摩擦力Ff转化为三力平衡问题，然后根据力的平衡知识求解． 【例3-1】如图所示，倾角为45°的斜面上，放置一质量为m的小物块，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一个力，该力最小时大小与方向是(　　) A.mgsin 15°，与水平方向夹角为15°，斜向右上 B.mgsin 30°，竖直向上 C.mgsin 75°，沿斜面向上45° D.mgtan 15°，水平向右 【变式3-1】如图（a），摩擦角的物理意义是：当两接触面间的静摩擦力达到最大值时，静摩擦力f与支持面的支持力N的合力F与接触面法线间的夹角即为摩擦角，可知。利用摩擦角的知识可以用来估料，如图（b）所示。物料自然堆积成圆锥体，圆锥角底角必定是该物料的摩擦角。若已知物料的摩擦角和高h，动摩擦因数为。物料所受滑动摩擦力等于最大静摩擦力。可求出圆锥体的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题能力提升】 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α＝＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。 3. 自锁现象 自锁现象是一种力学物理现象，如果作用于物体的主动力的合力Q的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，总有一个全反力R与之平衡，物体保持静止；反之，如果主动力的合力Q的作用线在摩擦角之外，则无论这个力多么小，物体也不可能保持平衡。这种与力大小无关而与摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件。物体在这种条件下的平衡现象称之自锁现象。 【例3-2】北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，该粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为m，木棍与水平地面动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为（　　） A．1.5m B．m C．2m D．2m 【变式3-2】某同学做家务时，使用拖把清理地板，如图所示。假设拖把头的质量为1kg，拖把杆的质量不计，拖把杆与水平地面成53°角。当对拖把头施加一个沿拖把杆向下、大小为10N的力F1时，恰好能推动拖把头向前匀速运动。重力加速度g取10m/s2，，。 （1）求拖把头与地板间的动摩擦因数。 （2）当拖把静止时，对拖把头施加一个沿拖把杆向下的力F2，拖把杆与地面的夹角为。当增大到某一值时，无论F2多大，都不能推动拖把头，求此时的tan值。（为方便起见，本问可忽略拖把头的重力，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）    巩固提升 1．如图，光滑斜面上有一个小球被轻绳拴住，悬挂在天花板上，已知轻绳与竖直方向的夹角为，斜面倾角，整个装置处于静止状态。现保持悬点不变，将斜面向左缓慢推动平移一小段距离后，下列说法正确的是（　　） A．小球对斜面的压力变小 B．斜面对小球支持力变大 C．轻绳拉小球的拉力变小 D．斜面受到地面的摩擦力变大 2．用绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上。悬点A固定不动，将悬点B从如图所示位置逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力的大小变化情况是（    ） A．OA绳上的拉力逐渐减小 B．OA绳上的拉力先减小后增大 C．OB绳上的拉力逐渐增大 D．OB绳上的拉力先增大后减小 3．（2025·陕西渭南·三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为。一只小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向半球面最高点，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知与的夹角为，在此过程中，下列说法正确的是（    ） A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大 B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小 C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零 D．地面对大理石半球的支持力变小 4．（多选）图1是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图2所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是（　　） A．货物A对玻璃棚的压力越来越小 B．货物A对玻璃棚的压力越来越大 C．绳子的拉力越来越大 D．绳子的拉力先减小后增大 5．（2025·山东威海·三模）如图所示，工人利用定滑轮通过绳索施加拉力，将一根均匀的钢梁拉起，定滑轮位于钢梁端的正上方，拉起的过程中钢梁绕端缓慢转动。拉力的大小（　　） A．始终不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 6．（2025·山东·二模）黄河铁牛是世界桥梁史上的传世之宝。如图，唐代蒲津浮桥通过两岸的铁牛固定，铁牛底部的铁柱插入地下。铁牛受到3个力：其中桥索对铁牛的拉力为，铁柱对铁牛的作用力为，铁牛自身重力为G，则（　　） A．若增大，则减小 B．与的合力竖直向上 C．铁柱对铁牛的作用力一定沿着铁柱向上 D．若桥索与竖直方向夹角变大，则与的合力变小 7．图甲为某人发明的自动叉秸秆工具，捆成圆柱形的秸秆从地上被叉起后，处于长、短直杆之间被短直杆挡住，短直杆焊接在长直杆上，且二者之间夹角小于90°，简化图如图乙所示，不计一切摩擦。若长直杆由水平逆时针缓慢转至竖直，则下列说法正确的是（　　） A．长直杆对秸秆的弹力一直增大 B．长直杆对秸秆的弹力先减小后增大 C．短直杆对秸秆的弹力一直增大 D．短直杆对秸秆的弹力先减小后增大 8．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 9．（多选）质量为M的木楔倾角为37°，在水平面上保持静止。当将一质量为m的物块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如图所示，当用与木楔斜面成角的力F拉物块，物块匀速上升（已知木楔在整个过程中始终静止）。可取。下列说法正确的有（　　） A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.75 B．当时F有最小值 C．当时F有最小值 D．F的最小值为 10．（多选）（2025·福建厦门·二模）如图甲所示，我国古建屋顶多采用蝴蝶瓦方式铺设。图乙是两片底瓦和一片盖瓦的铺设示意图，三根相同且平行的椽子所在平面与水平面夹角为。图丙为截面示意图，弧形底瓦放置在两根相邻的椽子正中间，盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离和瓦的半径都为，盖瓦和底瓦形状相同，厚度不计，质量均为、最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取，在无扰动的情况下，底瓦与盖瓦均保持静止。若仅铺设这三片瓦进行研究，则（　　） A．底瓦与椽子间的动摩擦因数 B．底瓦与椽子间的动摩擦因数 C．适当增大两椽子间的距离，底瓦更不容易下滑 D．适当减小两椽子间的距离，底瓦更不容易下滑 11．（多选）一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心O点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为。现使圆环沿顺时针方向缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中（　　） A．AO绳中的拉力一直增大 B．AO绳中最大拉力为 C．BO绳中的拉力先减小后增大 D．BO绳中最小拉力为0 12．小明和小语到机场去为朋友送行，看到有一些旅客斜向上拉着旅行箱走，也有一些旅客斜向下推着旅行箱走。小刘突然产生了一个想法，他问小赵：若在粗糙水平面上，为使质量为25kg的行李箱在水平面上做匀速直线运动，往往可以采用“拉”或“推”两种方式，这两种方式可简化为如图1的模型，甲受到与水平方向成30°角的拉力乙受到与水平方向成30°角的推力，g取。（结果可用分数和根号表示） （1）求行李箱与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ； （2）求的大小； （3）若此题已知行李箱与水平面间的动摩擦因数为μ₀，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对它作用一个推力F，如图2所示，若F无论为多大也不能推动行李箱，则F与水平地面间的夹角α的正切值（tanα）满足什么关系？（提示：） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$