精品解析：甘肃省定西市渭源县第三高级中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试卷

2024-2025学年甘肃省定西市渭源县第三高级中学期末质量检测卷 高一数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ） A. B. C. 2 D. 6. 实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的分位数为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 8. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率P．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数： 169 966 151 525 271 937 592 408 569 683 471 257 333 027 554 488 730 863 637 039 据此估计P的值为（ ） A. 0.5 B. 0.55 C. 0.6 D. 0.65 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若△ABC为锐角三角形，则 C. 若，，，则满足条件的△ABC有两个 D. 若，则△ABC为等腰三角形 10. 如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （ ） A. B. C. 四边形为等腰梯形 D. 四边形的周长为 11. 如图，在正三棱柱中，、分别是棱，的中点，连接，，，是线段的中点，是线段上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与平面所成的角为 C. 三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为 D. 若，则过，，三点作平面，截正三棱柱所得截面图形的面积为 三．填空题（本大题共3个小题，每题5分共15分） 12. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 13. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为__________. 14. 设A，B是两个相互独立事件，且，，则________． 四、简答题：本大题共5小题，共77分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若． （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 如图，棱长为2的正方体中，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）； （3）若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线. 18. 如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点. （1）证明：平面平面： （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数，且. （1）求a的值和函数的最小正周期； （2）求不等式的解集； （3）在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省定西市渭源县第三高级中学期末质量检测卷 高一数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式计算即可. 【详解】． 故选：D 2. 已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的加法运算及共轭运算，再利用复数的几何意义即可得选项. 【详解】由， 则对应的点为位于第一象限，所以A正确， 故选：A. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由，则. 故选：D. 4. 已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】由题意得，在方向上的投影向量. 故选：C 5. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 6. 实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出挖去的圆柱底面半径和高，再结合圆锥表面积、圆柱侧面积公式直接计算可得结果. 【详解】根据题意的中点为可知，挖去的圆柱底面半径为，高为， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积，显然圆锥母线为， 易知圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B 7. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的分位数为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求解即可. 【详解】， 所以第分位数为从小到大排列的第9个数，即第分位数为5. 故选：. 8. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率P．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数： 169 966 151 525 271 937 592 408 569 683 471 257 333 027 554 488 730 863 637 039 据此估计P的值为（ ） A. 0.5 B. 0.55 C. 0.6 D. 0.65 【答案】C 【解析】 【分析】从20组随机数中找出包含至少2次击中目标的随机数的组数，利用古典概率的关系式，即可求出概率P的值. 【详解】根据题意，3次射击至少击中两次的数为： 151，525，271，592，408，471，257，333，027，554，730，039，共12组， 故3次射击至少2次击中目标的概率为: . 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若△ABC为锐角三角形，则 C. 若，，，则满足条件的△ABC有两个 D. 若，则△ABC为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性及三角形中大角对大边可判断选项A；先根据△ABC为锐角三角形得出，再根据正弦函数的单调性和诱导公式可判断选项B；先利用正弦定理得出，再根据大边对大角及正弦函数的性质可判断选项C；先根据正弦定理得出，再根据二倍角正弦公式及正弦函数的性质即可判断选项D. 【详解】对于选项A：∵在上单调递减且， ∴， 则，故选项A不正确； 对于选项B：∵△ABC为锐角三角形， ∴，且，， 即. 又∵函数在上单调递增， ∴， ∴，故选项B正确； 对于选项C：因为，，， 所以由正弦定理：可得. 又因为， 则，且， 所以满足条件的角C有两个，故选项C正确； 对于选项D，∵， 则由正弦定理可得， ∴，即， ∴或，即或， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选项D不正确， 故选：BC． 10. 如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （ ） A. B. C. 四边形为等腰梯形 D. 四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用斜二测画法，表示图象的直观图，再根据几何关系，表示长度，判断选项. 【详解】由题意可画出其直观图如下， 其中，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC 11. 如图，在正三棱柱中，、分别是棱，的中点，连接，，，是线段的中点，是线段上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与平面所成的角为 C. 三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为 D. 若，则过，，三点作平面，截正三棱柱所得截面图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，要证明两平面平行，需证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可，即证明平面；对于选项B，首先找出直线与平面所成角，然后确定其角度的大小即可；对于选项C，根据三棱锥和三棱柱的体积公式进行求解即可；对于选项D，先确定平面截正三棱柱的截面图形，然后根据垂直关系和线段关系求解即可. 【详解】对于选项A： 取中点，连接. 则在中，，所以. 在中，，所以. 又平面，不在平面内， 所以平面，平面， 又，所以平面平面.所以A正确； 对于选项B： 由A知平面与平面平行，所以直线与平面所成的角也是直线与平面所成的角.因为正三棱柱，所以， 又，所以平面. 所以直线与平面所成的角为，所以B错误； 对于选项C： 因为平面，，所以平面. 因为是的四等分点，是的中点， 所以. 所以三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为： ，所以C正确； 对于选项D： 连接并延长交于点，连接即是平面截正三棱柱的截面图形. 因为正三棱柱，所以. 因为平面，平面，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，， 在中，，所以. 所以根据勾股定理. 所以，所以D正确. 故选：ACD. 三．填空题（本大题共3个小题，每题5分共15分） 12. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题 可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ， ,,,． 所以点P的坐标为. 故答案为：. 13. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据面积公式、正弦定理、余弦定理得出是边长为的等边三角形，再结合极化恒等式可求出. 【详解】设， 则，， 则，，得， 因，则，， 利用正弦定理、余弦定理可得，，即， 则是边长为的等边三角形， 取中点， 则 因的最大值为，故的最大值为. 故答案为： 14. 设A，B是两个相互独立事件，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据独立事件的概率乘法公式求，再根据概率的加法公式求. 【详解】由题知，，，， ∴， ∴． 故答案为：. 四、简答题：本大题共5小题，共77分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若． （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式，结合三角形内角和与三角恒等变换即可得，从而得角的大小； （2）根据三角形的面积公式可得的值，结合余弦定理与平方公式可得的值，从而可得三角形的周长. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 即，展开整理得， 因为，所以， 于是，即，故； 【小问2详解】 因为，所以， 又由余弦定理可得，即， 所以，即，由此得． 从而的周长． 16. 如图，棱长为2的正方体中，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 连接交于，连接， 在正方体中，为的中点，且为中点， 所以是的中位线，即， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，即可得到，根据线面平行判断定理从而得证； （2）根据正方体的性质及计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方体中，平面， 所以； 17. 某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）； （3）若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线. 【答案】（1） （2） （3）108 【解析】 【分析】(1)根据频率直方图的特征可知所有的频率之和为1，列出方程，解方程即可； (2)根据频率直方图，利用每组的组中值乘以对应的频率，再求和即可； (3)根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可. 【小问1详解】 由题意得 ，解得. 【小问2详解】 平均分为：. 【小问3详解】 由直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为， 因为 设复赛最低分数线为，则位于区间内， 故. 18. 如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点. （1）证明：平面平面： （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于点，连接，， 在菱形中，，，且既是的中点，也是的中点， 又，是等边三角形， ，， 又，，平面，平面， 平面，， ，又是的中点，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件及面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在边长为2的菱形中，，， 以为原点，，所在直线分别为，轴，作平而，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， 设，， ，解得， 又折叠过程中，，，解得， ， ，， 由（1）知平而， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，则，，， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数，且. （1）求a的值和函数的最小正周期； （2）求不等式的解集； （3）在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长. 【答案】（1），. （2），. （3）， 【解析】 【分析】（1）根据可求的值，利用二倍角公式及三角恒等变换公式，化简函数的解析式，利用求函数的最小正周期. （2）结合函数的性质解不等式. （3）利用余弦定理解三角形即可. 【小问1详解】 因为. 由. 所以. 所以函数的最小正周期为：. 【小问2详解】 由，. ，. 所以不等式的解集为，. 【小问3详解】 因为，所以. 由题意：，所以， 所以. 如图： 设，，， 在中，由余弦定理得：① 在中，由余弦定理得：② ①②得：. 在，由余弦定理得：. 所以，因为，所以. 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $