第5讲 有理数的乘方 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第5讲 有理数的乘方 1 2 1.有理数的乘方:求 个相同因数的积的运算，叫做乘方.乘方的结果叫 做幂，在 中， 叫做底数， 叫做指数 读作 的 次方.(将 看 作a的 次方的结果时，也可以读作 的 次幂) 2.乘方的法则:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数，负数的 偶次幂是正数:0的任何正整数次幂都是 0. 3 1.有理数的乘方运算注意事项：（1）有理数的乘方运算与有理数的加 减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.（2） 由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算时，应 先算乘方，再算乘除，最后算加减. 2.设 为正整数，则有 ；偶次方具有非负性， 即任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0 时，其中的每一项都必须等于0. 4 3.科学记数法：把一个大于10的数记成 的形式，其中 是整数 数位只有一位的数， 是正整数，这种记数法叫做科学记数法.（1）形 式： ，其中 ＜ 为正整数.（2）规律：①科学记数法 中 的要求和10的指数 的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整 数位数少1，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数 ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于 10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号. 5 知识点一：乘方的定义及运算 &1& 计算： （1） 思路点拨 先进行乘方运算，再进行乘法运算即可. 解题过程 原式 6 （2） 思路点拨 先进行乘方运算，相加即可得到结果， 解题过程 原式 （3） 思路点拨（4）先进行乘方运算，再根据有理数的乘除运算法则计算. 解题过程 原式 7 （4） 思路点拨 见（3） 解题过程 原式 . 方法提炼 本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义及运算法则是解题的关键. 8 &2& 计算： （1） [答案] 原式 （2） [答案] 原式 9 （3） [答案] 原式 . （4） [答案] 原式 10 知识点二：幂的性质及简单应用 阅读下列各式： ，请据此解答下列 问题： （1）验证： ___； ___. 1 1 思路点拨 根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题. 解题过程 ， 故 答案为1；1. 11 （2）通过上述验证，归纳得出： ______； _ _______. <m></m> <m></m> 思路点拨 通过猜想归纳得出答案. 解题过程 12 （3）请应用上述性质计算： 思路点拨 根据归纳获得的结论、有理数的乘法法则、有理数的乘方运算进行计算. 解题过程 . 13 方法提炼 本题考查有理数的乘法、乘方，熟练掌握有理数的乘法法则、乘方是解题的关键. 14 我国约有 的土地，平均 的土地一年从 太阳得到的能量相当于燃烧 煤所产生的能量. （1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤？（结果用科学记数法表示） [答案] 一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧 煤. 15 （2）若 煤大约可以发出 千瓦时电，则（1）中的煤大约发 出多少千瓦时电？（结果用科学记数法表示） [答案] （千瓦时）. 中的煤大约发出 千瓦时电. 16 &5& 某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据 ，知道 就可以求 的值.如果知道 ，可以求 的值吗？他们为此进行了研究，规定：若 ，则 例如：若 ，则 17 （1）填空： ___； ___. 6 3 思路点拨 根据乘方的定义解决此题. 解题过程 故答案为. 18 （2）若 ，求 的值. 思路点拨 根据乘方的定义解决此题. 解题过程 19 （3）探索 与 之间的关系，并说明理由. 思路点拨 根据乘方的定义以及底数相同的幂相乘指数的变化规律解决此题. 解题过程 理由如下： 设 20 方法提炼 本题考查有理数的乘方，根据乘方的定义得到底数相同的幂相乘指数的变化规律是解题的关键. 21 1.下列运算中，结果与 的结果相同的是( ) D A. B. C. D. 2.京杭大运河全长约 ，数据1790000用科学记数法表示为 ( ) C A. B. C. D. 22 3.设 是任意有理数，下列说法正确的是( ) B A. 的值总是正的 B. 的值总是正的 C. 的值总是负的 D. 的值中，最大值是1 4.某手机软件的用户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月 亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，最开始是星星，1个星星为1级， 4个星星等于1个月亮，4个月亮等于1个太阳，4个太阳等于1个皇冠.某 用户的等级标识图为2个皇冠，则其用户等级为 ( ) B A. B. C. D. 23 5.若 ，则 的值是( ) A A.1 B.-2023 C.-1 D.2023 [解析] ，而 ， ，解得 故选A. 24 6. 等于____； 的绝对值是___. - 9 1 7.如果 ，那么 ____. 27 8.如图，将一张长方形的纸对折， 可得到1条折痕（图中虚线），继 <m></m> 续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可 以得到7条折痕，那么对折2022次，可以得到_ ___________条折痕. 25 9.计算： （1） [答案] 原式 . （2） [答案] 原式 26 （3） [答案] 原式 . （4） [答案] 原式 27 10.已知 （1）当 时，求 的值. [答案] ， 28 （2）当 时，求 的值. [答案] ， . 29 11.有一根 长的铜丝，第一次剪去铜丝的 ，第二次剪去剩下铜丝 的 如此剪下去，第2023次剪完后剩下铜丝的长度是 ( ) C A. B. C. D. 30 [解析] 第一次剪去铜丝的 ，剩下 ，第二次剪去剩下铜丝的 ，剩 下 第2023次剪完后剩下铜丝的长度是 故选C. 31 12.规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做“除方”， 如 等.类比有理数的乘方，我们 把 记作 ，读作“2的圈3次方”；把 记作 ，读作“-3的圈4次方”.一般地， 把 记作 ，读作“ 的圈 次方”.关于除方，下 列说法错误的是 ( ) 32 A.任何非零数的圈2次方都等于1 B.对于任何正整数 ， C. D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数 √ 33 [解析] 任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除， 都等于1.故选项 A正确. ，故选项B正确. ， ，则 ， 故选项C错误. 负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈 偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数，故选项D正确.故选 C. 34 13.有一列数： ，其中某三个相邻数的和是-170 1，则这三个数中最大的数是_____. 729 [解析] 设这三个数分别为 由题意得 ，解得 这三个数分别是 这三个数中最大的数是 故答案为729. 35 14.大于1的正整数 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如 若 “分裂”后， 其中有一个奇数是223，则 的值是____. 15 [解析] ， ， “分裂”后的第一个数是 ，共有 个奇数. ， 奇数223是底数为15的数的三次幂“分裂”后的一个奇数. 故答案为15. 36 15.光在真空中的传播速度约是 ，光在真空中传播一年的距 离称为光年. （1）1光年约是多少千米？（一年以 计算） [答案] 光年约是 （2）某星系的直径达10万光年，约是多少千米？ [答案] 该星系的直径约是 37 （3）如果一架飞机的飞行速度为 ，那么光的速度是这架飞 机速度的多少倍？ [答案] ， 光的速度是这架飞机速度的 倍. 38 16.问题：你能比较 和 的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较 和 的大小 是正整数 ，然后，我们从分析 这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论. 39 （1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“＞”“＜”或“ ”）： ① ____ ；② ____ ；③ ____ ；④ ____ ；⑤ ____ ； ＜ ＜ ＞ ＞ ＞ （2）将题（1）的结果进行归纳，猜想出 和 的大小关系. [答案] 当 时， ；当 时， . 40 （3）根据上面归纳猜想后得到的一般结论，比较下列两数的大小： ____ ＞ [解析] .故答案为 ＞ . 41 17.阅读材料，求值： 解：设 ①， 将等式①两边同时乘2，得 ②， ②-①得 ，即 请你仿照此法计算： 42 （1） [答案] 设 ①， 将等式两边同时乘2，得 ②， ② - ①得 ，即 43 （2） （其中 为正整数）. [答案] 设 ③， 将等式两边同时乘3，得 ④， ④ - ③得 ，即 . 44 $$