第五章 第5节 复 数（知识点梳理+限时挑战）-2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第五章 平面向量、复数 第5节　复 数 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 复数的有关概念★★☆☆☆ 考点2 复数的几何意义★★★☆☆ 考点3 复数的运算★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.复数的有关概念★★☆☆☆ (1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类 满足条件(a,b为实数) 复数的 分类 a+bi为实数⇔b=0 a+bi为虚数⇔b≠0 a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0 (3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). (5)模:向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R). 2.复数的几何意义★★☆☆☆ 复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系. 3.复数的运算★★★☆☆ (1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R. (2)几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义, 即=+,=-. 【名师点拨】 1.i的乘方具有周期性 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*. 2.(1±i)2=±2i,=i,=-i. 3.复数的模与共轭复数的关系z·=|z|2=||2. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(　　) (2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(　　) (3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(　　) 2.(人教A必修二P69【典例】1改编)若复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数,则实数m=　　　　.  3.(人教A必修二P94T1(2)改编)复数的共轭复数是　　　　.  4.(北师大必修二P183【典例】5改编)计算: (-2-i)(3+i)=　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　复数的概念 【典例】1 (1)(2025·广州调研)复数z满足(1+i)z=i,i为虚数单位,则下列说法正确的是(　　) A.|z|=1 B.z 在复平面内对应的点位于第二象限 C.z的实部为 D.z的虚部为i (2)(2025·宜春质检)如果复数z=m2+m-2-(m-1)i是纯虚数,m∈R,i是虚数单位,则(　　) A.m≠1且m≠-2 B.m=1 C.m=-2 D.m=1或m=-2 【变式训练】1 (1)(多选)(2025·漳州模拟)若(1+i)a+bi=4i,a,b∈R,则(　　) A.a=1 B.b=4 C.a-b=-4 D.ab=0 (2)已知复数z满足|z|=|z-1|=1,且复数z对应的点在第一象限,则下列结论正确的是(　　) A.复数z的虚部为- B.z=-i C.z2=z+1 D.复数z的共轭复数为-i 考点二　复数的四则运算 【典例】2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)若=1+i,则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i (2)(2025·郑州模拟)若z=,则|z|=(　　) A. B. C. D. 【变式训练】2 (1)(2025·武汉调研)复数=(　　) A.-i B.i C.-i D.+i (2)(多选)(2025·湖南名校联考)已知复数z1,z2满足3z1+z2=-1-2i,z1+3z2=5+2i,则(　　) A.z1=-1-i B.z2=2+i C.z1-z2=-3+2i D.= 考点三　复数的几何意义 【典例】3 (1)(多选)(2025·青岛适应性检测)已知复数z,下列说法正确的是(　　) A.若z-=0,则z为实数 B.若z2+=0,则z==0 C.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2 D.若|z-i|=|z|+1,则z为纯虚数 (2)(多选)(2025·泰安检测)已知复数z,w,则下列说法正确的是(　　) A.若z=,则=w B.若z=3+i,w=-2i,则z+w在复平面内对应的点在第二象限 C.若z2=1,则z= D.若|z-2|=1,复数z在复平面内对应的点为Z,则直线OZ(O为原点)斜率的取值范围为 【变式训练】3 (1)(2025·杭州模拟)复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-2) B.(-3,-2) C.(-2,+∞) D.(-∞,-3) (2)(多选)(2025·西安调研)已知z满足|z+i2-i3|=|z|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　) A.x-y-1=0 B.x+y+1=0 C.|z|的最小值为 D.|z|的最小值为 【限时【变式训练】】（限时：60分钟）　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.(2025·1月八省联考)|2-4i|=(　　) A.2 B.4 C.2 D.6 2.(2024·全国甲卷)若z=5+i,则i(+z)=(　　) A.10i B.2i C.10 D.2 3.(2025·太原调研)在复平面内,复数z对应的点的坐标为(1,-1),则-2i=(　　) A.-1-3i B.1-i C.1-3i D.-1+i 4.(2025·成都诊断)已知复数z=(其中i为虚数单位),则z的虚部是(　　) A.- B.-i C. D.i 5.(2025·聊城模拟)若复数z满足=i·z,则z可以为(　　) A.1-i B.1+i C.1+2i D.1-2i 6.(2025·合肥质检)若复数的实部与虚部相等,则实数a的值为(　　) A.1 B.3 C.-1 D.-3 7.(2025·吉林部分学校模拟)已知复数z满足-2z=1-3i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.若是纯虚数,则复数z可以是(　　) A.-3+4i B.3-4i C.4+3i D.4-3i 二、多选题 9.(2025·杭州模拟)已知关于x的方程x2+tx+1=0(-2<t<2)的两复数根为z1和z2,则(　　) A.z1= B.z1·z2=1 C.|z1|=|z2| D.= 10.(2025·重庆诊断)若|z-1|=|z+1|,则(　　) A.z∈R B.|-1|=|+1| C.z+=0 D.z·=z2 11.(2025·湘豫名校联考)一般地,对于复数z=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),在平面直角坐标系中,设|z|=||=r(r≥0),经过点Z的终边的对应角为θ,则根据三角函数的定义可知a=rcos θ,b=rsin θ,因此z=r(cos θ+isin θ),我们称此种形式为复数的三角形式,r称为复数z的模,θ称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果,我们规定,适合0≤θ<2π的辐角θ的值叫做辐角的主值.已知复数z满足|z-1|≤r,r∈(0,1),Re(z)为z的实部,θ为z的辐角的主值,则(　　) A.|z-2i|的最大值为r+3 B.|z-2i|的最小值为3-r C.cos θ≤ D.Re≥(1-r2) 三、填空题 12.(2025·天津五所重点中学联合测试)设z=+i,则z的共轭复数为　　　　.  13.已知i为虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则a+b=　　　　.  14.(2025·南京调研)已知复数z在复平面内对应的点在第二象限,为z的共轭复数,且满足|z+|=|z-|=|z|2,则复数z=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 平面向量、复数 第5节　复 数 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 复数的有关概念★★☆☆☆ 考点2 复数的几何意义★★★☆☆ 考点3 复数的运算★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.复数的有关概念★★☆☆☆ (1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类 满足条件(a,b为实数) 复数的 分类 a+bi为实数⇔b=0 a+bi为虚数⇔b≠0 a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0 (3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). (5)模:向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R). 2.复数的几何意义★★☆☆☆ 复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系. 3.复数的运算★★★☆☆ (1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R. (2)几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义, 即=+,=-. 【名师点拨】 1.i的乘方具有周期性 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*. 2.(1±i)2=±2i,=i,=-i. 3.复数的模与共轭复数的关系z·=|z|2=||2. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(　　) (2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(　　) (3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 【解析】(1)虚部为b;(2)虚数不可以比较大小. 2.(人教A必修二P69【典例】1改编)若复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数,则实数m=　　　　.  【答案】-1 【解析】由题意知解得m=-1. 3.(人教A必修二P94T1(2)改编)复数的共轭复数是　　　　.  【答案】-2+i 【解析】==-2-i, 故其共轭复数是-2+i. 4.(北师大必修二P183【典例】5改编)计算: (-2-i)(3+i)=　　　　.  【答案】-5-5i 【解析】(-2-i)(3+i) =-2×3-2×i-3×i-i×i =-6-2i-3i-i2 =-6-2i-3i+1 =-5-5i. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　复数的概念 【典例】1 (1)(2025·广州调研)复数z满足(1+i)z=i,i为虚数单位,则下列说法正确的是(　　) A.|z|=1 B.z 在复平面内对应的点位于第二象限 C.z的实部为 D.z的虚部为i 【答案】C 【解析】∵(1+i)z=i, ∴z===+i, 则|z|==,故A错误; z在复平面内对应的点的坐标为, 位于第一象限,故B错误; z的实部为,故C正确; z的虚部为,故D错误. (2)(2025·宜春质检)如果复数z=m2+m-2-(m-1)i是纯虚数,m∈R,i是虚数单位,则(　　) A.m≠1且m≠-2 B.m=1 C.m=-2 D.m=1或m=-2 【答案】C 【解析】由复数z=m2+m-2-(m-1)i是纯虚数,得解得m=-2. 【思维建模】解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. 【变式训练】1 (1)(多选)(2025·漳州模拟)若(1+i)a+bi=4i,a,b∈R,则(　　) A.a=1 B.b=4 C.a-b=-4 D.ab=0 【答案】BCD 【解析】由题意可得,(1+i)a+bi=a+(a+b)i=4i, 则解得 可得a-b=-4,ab=0,故B,C,D正确,A错误. (2)已知复数z满足|z|=|z-1|=1,且复数z对应的点在第一象限,则下列结论正确的是(　　) A.复数z的虚部为- B.z=-i C.z2=z+1 D.复数z的共轭复数为-i 【答案】D 【解析】设复数z=a+bi(a,b∈R), 因为|z|=|z-1|=1,且复数z对应的点在第一象限, 所以解得 即z=+i. 对于A,复数z的虚部为,故A错误; 对于B,z=+i,故B错误; 对于C,因为z2==-+i≠z+1,故C错误; 对于D,复数z的共轭复数为-i,故D正确. 考点二　复数的四则运算 【典例】2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)若=1+i,则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】C 【解析】因为=1+i,所以=, 即1-==-i,即=+i=, 所以z==1-i,故选C. (2)(2025·郑州模拟)若z=,则|z|=(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】z=====+i, |z|==. 【思维建模】 1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算; 2.复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 【变式训练】2 (1)(2025·武汉调研)复数=(　　) A.-i B.i C.-i D.+i 【答案】B 【解析】复数===i. (2)(多选)(2025·湖南名校联考)已知复数z1,z2满足3z1+z2=-1-2i,z1+3z2=5+2i,则(　　) A.z1=-1-i B.z2=2+i C.z1-z2=-3+2i D.= 【答案】ABD 【解析】∵3z1+z2=-1-2i, z1+3z2=5+2i, ∴z1=-1-i,z2=2+i, ∴z1-z2=-3-2i, ===. 考点三　复数的几何意义 【典例】3 (1)(多选)(2025·青岛适应性检测)已知复数z,下列说法正确的是(　　) A.若z-=0,则z为实数 B.若z2+=0,则z==0 C.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2 D.若|z-i|=|z|+1,则z为纯虚数 【答案】AC 【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi, 若z-=0,即(a+bi)-(a-bi)=2bi=0, 即b=0,则z为实数,故A正确; 若z2+=0,则(a+bi)2+(a-bi)2=0, a2-b2+2abi+a2-b2-2abi=0, 即a2=b2,即a=±b,故B错误; 若|z-i|=1,即|z-i|=|a+(b-1)i| ==1, 所以a2+(b-1)2=1, z表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆上的点, 且|z|表示圆上的点到原点的距离,所以|z|的最大值为2,故C正确; 若|z-i|=|z|+1, 即=+1, b=-, 则a=0且b≤0, 此时z可能为实数也可能为纯虚数,故D错误. (2)(多选)(2025·泰安检测)已知复数z,w,则下列说法正确的是(　　) A.若z=,则=w B.若z=3+i,w=-2i,则z+w在复平面内对应的点在第二象限 C.若z2=1,则z= D.若|z-2|=1,复数z在复平面内对应的点为Z,则直线OZ(O为原点)斜率的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对于A,设z=a+bi(a,b∈R), 则=a-bi,若z=, 则=a+bi,则w=a-bi, 所以=w,故A正确; 对于B,若z=3+i,w=-2i,则z+w=3-i, 所以z+w在复平面内对应的点在第四象限,故B错误; 对于C,设z=a+bi(a,b∈R), 由z2=1,得(a2-b2)+2abi=1, 则a=±1,b=0,即z=±1, 则z=,故C正确; 对于D,设z=x+yi(x,y∈R), 则z-2=(x-2)+yi, 若|z-2|=1,则(x-2)2+y2=1, 即点Z在以(2,0)为圆心,1为半径的圆上,设过原点与圆相切的直线为y=kx,k≠0, 即kx-y=0, 则圆心到切线的距离d==1, 解得k=±, 所以直线OZ(O为原点)斜率的取值范围为,故D正确. 【思维建模】 1.复数z=a+bi(a,b∈R) 2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此解题时可运用数形结合的方法,把复数、向量与解析几何联系在一起,使问题的解决更加直观. 【变式训练】3 (1)(2025·杭州模拟)复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-2) B.(-3,-2) C.(-2,+∞) D.(-∞,-3) 【答案】D 【解析】由复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限, 可得解得a<-3, 故实数a的取值范围为(-∞,-3). (2)(多选)(2025·西安调研)已知z满足|z+i2-i3|=|z|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　) A.x-y-1=0 B.x+y+1=0 C.|z|的最小值为 D.|z|的最小值为 【答案】AC 【解析】由题意z=x+yi(x,y∈R), 由|z+i2-i3|=|z|, 得|x+yi-1+i|=|x-1+(y+1)i| =|x+yi|, 即(x-1)2+(y+1)2=x2+y2,即x-y-1=0.故A正确; |z|表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到原点的距离,易知其最小值为原点到直线x-y-1=0的距离,即,故C正确. 【限时【变式训练】】（限时：60分钟）　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.(2025·1月八省联考)|2-4i|=(　　) A.2 B.4 C.2 D.6 【答案】C 【解析】计算可知|2-4i|==2. 2.(2024·全国甲卷)若z=5+i,则i(+z)=(　　) A.10i B.2i C.10 D.2 【答案】A 【解析】因为z=5+i,所以=5-i,所以i(+z)=10i,故选A. 3.(2025·太原调研)在复平面内,复数z对应的点的坐标为(1,-1),则-2i=(　　) A.-1-3i B.1-i C.1-3i D.-1+i 【答案】A 【解析】根据题意,复数z对应的点的坐标为(1,-1), 则z=1-i,则-2i=-2i=(1-i)(-i)-2i=-1-3i. 4.(2025·成都诊断)已知复数z=(其中i为虚数单位),则z的虚部是(　　) A.- B.-i C. D.i 【答案】A 【解析】z==, 所以z的虚部是-. 5.(2025·聊城模拟)若复数z满足=i·z,则z可以为(　　) A.1-i B.1+i C.1+2i D.1-2i 【答案】A 【解析】设z=a+bi(a,b∈R), 则=a-bi, 故有a-bi=i·(a+bi)=-b+ai, 即有a=-b,选项中只有A符合要求. 6.(2025·合肥质检)若复数的实部与虚部相等,则实数a的值为(　　) A.1 B.3 C.-1 D.-3 【答案】A 【解析】===+i, 因为复数的实部与虚部相等, 所以=,所以a=1. 7.(2025·吉林部分学校模拟)已知复数z满足-2z=1-3i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】设z=x+yi(x,y∈R), 由-2z=1-3i得x-yi-2(x+yi)=1-3i, 即∴ 即z在复平面内对应的点为(-1,1),在第二象限. 8.若是纯虚数,则复数z可以是(　　) A.-3+4i B.3-4i C.4+3i D.4-3i 【答案】D 【解析】设z=a+bi(a,b∈R), 由题意知a2+b2≠0, 则== =. 因为是纯虚数, 所以 经验证可知,a=4,b=-3符合, 即复数z可以是4-3i. 二、多选题 9.(2025·杭州模拟)已知关于x的方程x2+tx+1=0(-2<t<2)的两复数根为z1和z2,则(　　) A.z1= B.z1·z2=1 C.|z1|=|z2| D.= 【答案】ABC 【解析】实系数一元二次方程的虚根互为共轭,所以A,C正确, 由根与系数的关系知B正确, ==,D错误. 10.(2025·重庆诊断)若|z-1|=|z+1|,则(　　) A.z∈R B.|-1|=|+1| C.z+=0 D.z·=z2 【答案】BC 【解析】利用复数的几何意义知在复平面内, z对应的点在以(1,0),(-1,0)为端点的线段的中垂线,即y轴上, 所以z不一定是实数,A错误; 因为z与关于实轴对称,且在y轴上, 所以B,C正确; 取z=i,则z·=1,z2=-1,所以D错误. 11.(2025·湘豫名校联考)一般地,对于复数z=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),在平面直角坐标系中,设|z|=||=r(r≥0),经过点Z的终边的对应角为θ,则根据三角函数的定义可知a=rcos θ,b=rsin θ,因此z=r(cos θ+isin θ),我们称此种形式为复数的三角形式,r称为复数z的模,θ称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果,我们规定,适合0≤θ<2π的辐角θ的值叫做辐角的主值.已知复数z满足|z-1|≤r,r∈(0,1),Re(z)为z的实部,θ为z的辐角的主值,则(　　) A.|z-2i|的最大值为r+3 B.|z-2i|的最小值为3-r C.cos θ≤ D.Re≥(1-r2) 【答案】ABD 【解析】|z-1|≤r,r∈(0,1)的几何意义是点Z在以(1,0)为圆心、以r为半径的圆上或圆内,如图所示, 对于A,B,|z-2i|的几何意义是点Z与点(0,2)的距离,其最大值为r+=r+3. 同理可知|z-2i|的最小值为3-r,所以A,B正确. 对于C,因为图中辐角的余弦值不小于,所以C错误; 对于D,设z=x+yi(x,y∈R), 有Re==·cos2θ(其中θ是z的辅角的主值), 因为cos θ≥, 所以Re=cos2θ≥(1-r2)=(1-r2),D正确. 三、填空题 12.(2025·天津五所重点中学联合测试)设z=+i,则z的共轭复数为　　　　.  【答案】3-2i 【解析】因为z=+i=+i=+i=3+2i,故=3-2i. 13.已知i为虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则a+b=　　　　.  【答案】1 【解析】因为=a+bi, 所以a+bi== ==+i, 所以a=,b=,则a+b=+=1. 14.(2025·南京调研)已知复数z在复平面内对应的点在第二象限,为z的共轭复数,且满足|z+|=|z-|=|z|2,则复数z=　　　　.  【答案】-1+i 【解析】由题意设z=a+bi(a,b∈R,a<0,b>0),则=a-bi. 因为|z+|=|z-|=|z|2, 则|2a|=|2bi|=a2+b2, 即|a|=|b|=, 解得|a|=|b|=1. 因为a<0,b>0, 所以a=-1,b=1,所以z=-1+i. 学科网（北京）股份有限公司 $$