第五章 第4节 向量中的最值(范围)问题（知识点梳理+限时挑战）-2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第五章平面向量、复数 第4节　向量中的最值(范围)问题 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 题型一　与系数有关的最值(范围)★★★☆☆ 题型二　与数量积有关的最值(范围)★★★☆☆ 题型三　与模有关的最值(范围)★★★☆☆ 题型四　与夹角有关的最值(范围)★★★☆☆ 【知识拓展】极化恒等式★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【题型分析】平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合. 题型一　与系数有关的最值(范围)★★★☆☆ 【典例】1(2025·安徽六校测试)已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图),若P在上,且=λ+μ,则λ+μ的最大值为　　　　.  【变式训练】1(2025·深圳调研)设点A(-2,0),B,C(0,1),若动点P满足|PA|=2|PB|,且=λ+μ,则λ+2μ的最大值为　　　　.  题型二　与数量积有关的最值(范围)★★★☆☆ 【典例】2(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　;F为线段BE上的动点,G为AF的中点,则·的最小值为　　　　.  【变式训练】2(2025·杭州调研)如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,·=3,D是BC的中点,点E在边AC上,3=,BE交AD于点F.设=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　;若G是线段BC上的一个动点,则·的最大值为　　　　.  题型三　与模有关的最值(范围)★★★☆☆ 【典例】3(2025·北京部分区模拟)已知平行四边形ABCD的面积为6,∠BAD=,且=2.若F为线段DE上的动点,且=λ+,则实数λ的值为　　　　;||的最小值为　　　　.  【变式训练】3(2025·中山调研)已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=,a·b=-,<a-c,b-c>=30°,则|c|的最大值为(　　) A.2 B. C.2 D. 题型四　与夹角有关的最值(范围)★★★☆☆ 【典例】4(2025·济南调研)平面向量a,b满足|a|=3|b|,且|a-b|=4,则a与a-b夹角的正弦值的最大值为(　　) A. B. C. D. 【变式训练】4已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,AD上(包含端点),若·=2,则与夹角的余弦值的最大值是　　　　.  【知识拓展】极化恒等式★★★☆☆ 极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)证明过程:如图, 设=a,=b,则=a+b,=a-b. ||2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2, ||2=(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2, 两式相减得a·b=[(a+b)2-(a-b)2],此即极化恒等式. (2)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的. 【典例】(1)如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·值为　　　　.  (2)(2025·郑州模拟)已知MN是正四面体A-BCD的外接球的一条直径,点P在正四面体表面上运动,正四面体的棱长是2,则·的取值范围为　　　　.  【变式训练】(2022·北京卷)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则·的取值范围是(　　) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 【限时【变式训练】】（限时：60分钟） 一、单选题 1.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=,且a·b=1.若|c|=2,则(a+b)·c的最大值为(　　) A.2 B.10 C.2 D.5 2.已知△ABC中,AB=4,AC=3,cosA=,若D为边BC上的动点,则·的取值范围是(　　) A.[4,12] B.[8,16] C.[4,16] D.[2,4] 3.(2025·内江模拟)已知向量a=(m,n),b=(cosθ,sinθ),其中m,n,θ∈R.若|a|=4|b|,则当a·b<λ2恒成立时,实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-,2) D.(-2,2) 4.(2025·铜川模拟)在△ABC中,D是AB边上的点,满足AD=2DB,E在线段CD上(不含端点),且=x+y(x,y∈R),则的最小值为(　　) A.3+2 B.4+2 C.8+4 D.8 5.(2025·南昌测试)如图,已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部,含边界),则·的取值范围为(　　) A.(0,16) B.[0,16] C.(0,4) D.[0,4] 6.(2025·南京模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,若向量c满足|a+b-2c|=1,则|c|的取值范围是(　　) A.[1,2] B. C. D. 7.(2025·沧州调研)如图,△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域ABDC内任意一点(含边界),且=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是(　　) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4] 8.平面直角坐标系中,O为坐标原点.已知点A(-2,0),点P(cosθ,sinθ)(θ∈R),则向量与的夹角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.(2025·长沙模拟)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD=2,∠ABC=60°,AC与BD交于点M,点N在线段CD上,则(　　) A.=+ B.2S△ACD=3S△BCM C.·为定值8 D.若=λ+μ,则+的最小值为 10.(2025·苏锡常镇调研)在长方形ABCD中,AB=8,AD=6,点E,F分别为边BC和CD上两个动点(含端点),且EF=5,设=λ,=μ,则(　　) A.≤λ≤1,≤μ≤1 B.λ+μ为定值 C.·的最小值为50 D.|+|的最大值为 11.(2025·长春模拟)已知平面向量a,b,c,|a|=2,|b|=6,a·b=18,且<a-c,b-c>=60°,则(　　) A.a与b的夹角为30° B.(a-c)·(b-c)的最大值为5 C.|c|的最小值为2 D.若c=xa+yb(x,y∈R),则x+y的取值范围是 三、填空题 12.(2025·石家庄模拟)已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则+的最小值为　　　　.  13.(2025·济南模拟)在△ABC中,D为AC上一点且满足=,若P为BD上一点,且满足=λ+μ,λ,μ为正实数,则λμ的最大值为　　　　.  14.(2025·成都诊断)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|2+3|的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章平面向量、复数 第4节　向量中的最值(范围)问题 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 题型一　与系数有关的最值(范围)★★★☆☆ 题型二　与数量积有关的最值(范围)★★★☆☆ 题型三　与模有关的最值(范围)★★★☆☆ 题型四　与夹角有关的最值(范围)★★★☆☆ 【知识拓展】极化恒等式★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【题型分析】平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合. 题型一　与系数有关的最值(范围)★★★☆☆ 【典例】1(2025·安徽六校测试)已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图),若P在上,且=λ+μ,则λ+μ的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】如图,以线段BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系, 则A(-1,2),B(-1,0),C(1,0),D(1,2), 则=(2,0),=(0,-2), 设P(cosθ,sinθ),θ∈[π,2π], 则=(cosθ+1,sinθ-2), ∵=λ+μ, ∴(cosθ+1,sinθ-2)=λ(0,-2)+μ(2,0), ∴解得 则λ+μ=+ =(cosθ-sinθ+3)=, 由θ∈[π,2π],得θ+∈, 所以当θ+=2π时, cos取得最大值1, 则λ+μ的最大值为. 【思维建模】此类问题的一般解题步骤是 第一步:利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系; 第二步:运用基本不等式或函数的性质求其最值. 【变式训练】1(2025·深圳调研)设点A(-2,0),B,C(0,1),若动点P满足|PA|=2|PB|,且=λ+μ,则λ+2μ的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】设P(x,y),则=(-2-x,-y),=, 由||=2||, 得 =2, 整理,得x2+y2=1, 将=(x+2,y),=,=(2,1) 代入=λ+μ得 则x+y+2=λ+3μ=(λ+2μ), 所以λ+2μ=(x+y+2), 由1=x2+y2≥2xy,得xy≤, 当且仅当x=y时等号成立, 所以(x+y)2=x2+2xy+y2≤1+1=2, 得x+y≤,当且仅当x=y时等号成立, 所以λ+2μ=(x+y+2)≤×(+2)=,即λ+2μ的最大值为. 题型二　与数量积有关的最值(范围)★★★☆☆ 【典例】2(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　;F为线段BE上的动点,G为AF的中点,则·的最小值为　　　　.  【答案】　- 【解析】以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E, 所以=,=(-1,0),=(0,1), 因为=λ+μ, 所以=λ(-1,0)+μ(0,1), 所以λ=,μ=1,所以λ+μ=. 由B(1,0),E可得直线BE的方程为 y=-3(x-1), 设F(a,3-3a),则G, 所以=(a,3-3a),=, 所以·=a·+(3-3a)· =5a2-6a+=5-, 所以当a=时,·取得最小值,为-. 【思维建模】数量积最值(范围)的解法: (1)坐标法,通过建立直角坐标系,运用向量的坐标运算转化为代数问题处理. (2)向量法,运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决. 【变式训练】2(2025·杭州调研)如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,·=3,D是BC的中点,点E在边AC上,3=,BE交AD于点F.设=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　;若G是线段BC上的一个动点,则·的最大值为　　　　.  【答案】-　 【解析】取EC的中点M,连接DM. 因为=3, 所以AE=EM=MC, 又因为BD=CD, 则DM为△BCE的中位线,所以DM∥BE. 因为AE=EM,所以EF为△ADM的中位线, 所以DF=AD, 所以=+=-=(-)-(+)=-+. 因为=λ+μ(λ,μ∈R), 所以λ=-,μ=, 所以λ+μ=-. 因为G是线段BC上的一个动点, 所以设=t(0≤t≤1), 所以=-=t- =t(-)- =+, 所以·=·[+] =+·+· =3t-+-3t+t-=t-, 当t=1时,·有最大值,且最大值为. 题型三　与模有关的最值(范围)★★★☆☆ 【典例】3(2025·北京部分区模拟)已知平行四边形ABCD的面积为6,∠BAD=,且=2.若F为线段DE上的动点,且=λ+,则实数λ的值为　　　　;||的最小值为　　　　.  【答案】　 【解析】=λ+ =λ(+)+ =λ+, 由D,F,E三点共线,得λ+-λ=1, 解得λ=. 过点A作AG⊥BC于点G,以G为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 设B(-a,0),a>0,则A(0,a), 已知▱ABCD的面积为6, 则|BC|=,故C,D, 则=(-a,-a),=, 所以=+=, 则||2=+a2 =+a2-5≥2-5=5, 当且仅当=a2,即a=时取“=”, 所以||的最小值为. 【思维建模】求向量模的最值(范围)的方法,通常有: (1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,或通过建立平面直角坐标系,借助向量的坐标表示;需要构造不等式,利用基本不等式,三角函数,再用求最值的方法求解; (2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,注意题目中所给的垂直、平行,以及其他数量关系,合理的转化,使得过程更加简单;结合动点表示的图形求解. 【变式训练】3(2025·中山调研)已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=,a·b=-,<a-c,b-c>=30°,则|c|的最大值为(　　) A.2 B. C.2 D. 【答案】A 【解析】设=a,=b,=c, 则a-c=,b-c=, 由题意cos<a,b>==-, 而0°≤<a,b>≤180°,则<a,b>=150°. 又因为<a-c,b-c>=30°, 所以O,A,B,C四点共圆, 如图所示. 要使|c|取得最大值, 则OC必过圆心G, 此时在△OAB中, AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB =1+3-2cos150°=7, 即AB=,由正弦定理可得 OC=2R==2. 题型四　与夹角有关的最值(范围)★★★☆☆ 【典例】4(2025·济南调研)平面向量a,b满足|a|=3|b|,且|a-b|=4,则a与a-b夹角的正弦值的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图所示,设a=,b=, 则a-b=, 设|b|=m,|a|=3m,1≤m≤2, cos∠OAB= ==+≥2=,当且仅当=,即m=时等号成立, 故∠OAB∈, 当cos∠OAB最小时,sin∠OAB最大, 故a与a-b夹角的正弦值的最大值为=. 【思维建模】求夹角的最值(范围)问题要根据夹角余弦值的表达式,采用基本不等式或函数的性质进行. 【变式训练】4已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,AD上(包含端点),若·=2,则与夹角的余弦值的最大值是　　　　.  【答案】 【解析】如图建立直角坐标系,则可设=(t,1),=(2,s),-2≤t≤2,-1≤s≤1, 所以·=2t+s=2, cos<,>= == == =, 当st≤0时,(st-2)2≥4, 当st>0时,由2t+s=2,故s>0,t>0, ∴2=2t+s≥2, ∴st≤,当且仅当s=1,t=时取等号, ∴st最大值为, ∴(st-2)2的最小值为=, 此时取得最大值为, 即与夹角的余弦值的最大值为. 【知识拓展】极化恒等式★★★☆☆ 极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)证明过程:如图, 设=a,=b,则=a+b,=a-b. ||2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2, ||2=(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2, 两式相减得a·b=[(a+b)2-(a-b)2],此即极化恒等式. (2)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的. 【典例】(1)如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·值为　　　　.  【答案】 【解析】设=a,=b, ·=||2-||2=9b2-a2=4, ·=||2-||2=b2-a2=-1, 解得b2=,a2=, ∴·=||2-||2=4b2-a2=. (2)(2025·郑州模拟)已知MN是正四面体A-BCD的外接球的一条直径,点P在正四面体表面上运动,正四面体的棱长是2,则·的取值范围为　　　　.  【答案】 【解析】如图,设A点在平面BCD内的射影为E,F为DC的中点, 易知E在BF上,且AE⊥平面BCD, 又正四面体的棱长是2,所以BF=, 在正三角形BCD中,BE=. 由勾股定理可得,AE==. 设外接球半径为R,则(AE-R)2+BE2=R2, 即+=R2, 解得R=. 法一　易知·=(+)·(+)=+·(+)+·, 又因为MN是外接球的一条直径, 所以+=0, 且||=||=, 因此·=||2-||·|| =||2-, 易知||max=|AO|=, ||min=||=||-R=. 所以(·)min=(||min)2- =-=-, (·)max=(||max)2-=-=0, 因此可知·的取值范围为. 法二　由极化恒等式得·=- =PO2-R2=PO2-, 而PO∈, 故·的取值范围为. 【变式训练】(2022·北京卷)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则·的取值范围是(　　) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 【答案】D 【解析】法一　以C为坐标原点,,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略), 则A(3,0),B(0,4). 设P(x,y),则x2+y2=1,=(3-x,-y), =(-x,4-y), 所以·=x2-3x+y2-4y =+(y-2)2-. 又+(y-2)2表示圆x2+y2=1上一点到点距离的平方,圆心(0,0)到点的距离为, 所以·∈, 即·∈[-4,6]. 法二　(极化恒等式)设AB的中点为M,与的夹角为θ, 由极化恒等式得·=- =(-)2- =+-2·- =+1-5cosθ-=1-5cosθ, 因为cosθ∈[-1,1],所以·∈[-4,6]. 【限时【变式训练】】（限时：60分钟） 一、单选题 1.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=,且a·b=1.若|c|=2,则(a+b)·c的最大值为(　　) A.2 B.10 C.2 D.5 【答案】A 【解析】设a+b,c的夹角为θ, 则(a+b)·c=|a+b|·|c|cosθ≤|a+b|·|c|=·|c|=2, 当a+b,c同向,即θ=0时取等号. 2.已知△ABC中,AB=4,AC=3,cosA=,若D为边BC上的动点,则·的取值范围是(　　) A.[4,12] B.[8,16] C.[4,16] D.[2,4] 【答案】C 【解析】由题意得: =λ+(1-λ),0≤λ≤1, ·=·[λ+(1-λ)] =λ+(1-λ)||·||cosA =16λ+4-4λ=12λ+4∈[4,16]. 3.(2025·内江模拟)已知向量a=(m,n),b=(cosθ,sinθ),其中m,n,θ∈R.若|a|=4|b|,则当a·b<λ2恒成立时,实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-,2) D.(-2,2) 【答案】B 【解析】法一　∵b=(cosθ,sinθ),|a|=4|b|, ∴设a=4(sinα,cosα), 则a·b=4sinα·cosθ+4cosα·sinθ =4sin(α+θ)∈[-4,4], 若a·b<λ2恒成立, 则λ2>4,解得λ>2或λ<-2. 法二　∵b=(cosθ,sinθ), ∴|b|==1, 又|a|=4|b|,∴|a|=4,∴a·b的最大值为4, 则λ2>4,解得λ>2或λ<-2. 4.(2025·铜川模拟)在△ABC中,D是AB边上的点,满足AD=2DB,E在线段CD上(不含端点),且=x+y(x,y∈R),则的最小值为(　　) A.3+2 B.4+2 C.8+4 D.8 【答案】B 【解析】∵=x+y(x,y∈R), AD=2DB, ∴=+y, 又E在线段CD上(不含端点), ∴+y=1,且x>0,y>0, ∴=+= =4++≥4+2, 当且仅当=, 即x=1-,y=时,等号成立, ∴的最小值为4+2. 5.(2025·南昌测试)如图,已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部,含边界),则·的取值范围为(　　) A.(0,16) B.[0,16] C.(0,4) D.[0,4] 【答案】B 【解析】法一　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,正方形ABCD的边长为4, 则C(4,4),D(0,4),=(-4,0), 取CD的中点E,连接PE, 所以PE的取值范围为,即[2,2], 由于·=(+)·(+) =-, 所以·∈[0,16]. 法二　·=-=PE2-4, 而PE∈[2,2],故·∈[0,16]. 6.(2025·南京模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,若向量c满足|a+b-2c|=1,则|c|的取值范围是(　　) A.[1,2] B. C. D. 【答案】D 【解析】法一　由题意可设 a=(0,1),b=(2,0),c=(x,y), 则a+b-2c=(2-2x,1-2y), 由|a+b-2c|=1, 可得(2-2x)2+(1-2y)2=1, 化简可得(x-1)2+=, 该方程表示以为圆心,以为半径的圆, 则|c|表示圆上的点到原点的距离, 而圆心到原点的距离d==, 所以|c|=的取值范围是[d-r,d+r],即. 法二　由|a|=1,|b|=2,a·b=0, 得|a+b|=, 又||a+b|-|2c||≤|a+b-2c|=1, 即-1≤|2c|≤+1, 即|c|∈. 7.(2025·沧州调研)如图,△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域ABDC内任意一点(含边界),且=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是(　　) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4] 【答案】C 【解析】法一　过点P作GH∥BC,交AC,AB的延长线于点G,H, 则=x+y,且x+y=1. 当点P位于D点时,G,H分别位于C′,B′, ∵△BCD与△ABC的面积之比为2, ∴AC′=3AC,AB′=3AB, 故此时有=x+y=x+y =x·3·+y·3·=μ+λ, ∴μ=3x,λ=3y,则λ+μ=3x+3y=3. 当点P位于A点时,显然有λ+μ=0. 法二　根据题意,将图形特殊化,设AD垂直平分BC于点O. ∵△BCD与△ABC的面积之比为2,∴DO=2AO. 当点P与点A重合时,可得=0, 此时λ=μ=0,即λ+μ的最小值为0; 当点P与点D重合时,可得=3=3×=+, 此时λ=μ=,即λ+μ的最大值为3. ∴λ+μ的取值范围为[0,3]. 8.平面直角坐标系中,O为坐标原点.已知点A(-2,0),点P(cosθ,sinθ)(θ∈R),则向量与的夹角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意,设向量与的夹角为α,点A(-2,0),点P(cosθ,sinθ), 则=(2,0),=(cosθ+2,sinθ), 则||=2,||=, ·=2(cosθ+2)=2cosθ+4, 则cosα== = =, 又由≥1, 则+≥2, 当且仅当cosθ=-时等号成立, 则cosα≥,又由0≤α≤π,故0≤α≤, 即向量与的夹角的取值范围是. 二、多选题 9.(2025·长沙模拟)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD=2,∠ABC=60°,AC与BD交于点M,点N在线段CD上,则(　　) A.=+ B.2S△ACD=3S△BCM C.·为定值8 D.若=λ+μ,则+的最小值为 【答案】AC 【解析】由题意可得BC=4,BD=AC=2, ∠BDC=∠CAB=90°, 因为AD∥BC,所以△AMD∽△CMB. 因为BC=2AD,所以CM=2MA,BM=2MD, 所以==(+)=(+2)=+,故A正确; 因为BC=2AD,所以S△BMC=4S△DMA, 因为AC=3AM,所以S△ACD=3S△AMD, 所以4S△ADC=3S△BCM,故B错误; 因为∠BDC=90°, 所以·=||||cos∠DBN =||·||=||2=×(2)2=8, 为定值,故C正确; 因为=λ+μ=λ+μ,且D,N,C三点共线, 所以λ+μ=1,且λ>0,μ>0, 所以+= =++≥+2=+2. 当且仅当=, 即λ=6-3,μ=2-3时,等号成立,故D错误. 10.(2025·苏锡常镇调研)在长方形ABCD中,AB=8,AD=6,点E,F分别为边BC和CD上两个动点(含端点),且EF=5,设=λ,=μ,则(　　) A.≤λ≤1,≤μ≤1 B.λ+μ为定值 C.·的最小值为50 D.|+|的最大值为 【答案】AC 【解析】对于A,当F和C重合时,BE=1, 此时λ取最小值,μ取到最大值1; 当E和C重合时,DF=3, 此时μ取最小值,λ取到最大值1,A正确; 对于B,当F和C重合时, λ=,μ=1,λ+μ=; 当E和C重合时,λ=1,μ=,λ+μ=,B错误; 对于C,·=(+)·(+) =(+λ)·(+μ)=·+λ·+μ·+λμ· =λ·+μ· =λ+μ=36λ+64μ, 由EF=5,得=25,即(+)2=25, 即[(1-λ)+(μ-1)]2=25, 即36(1-λ)2+64(μ-1)2=25, 设6(λ-1)=5cosθ, 8(μ-1)=5sinθ,θ∈, 则36λ+64μ=36×+64× =100+30cosθ+40sinθ=100+50sin(θ+φ) , 当sin(θ+φ)=-1时, 36λ+64μ取到最小值50, 即·的最小值为50,C正确; 对于D,当μ=1,λ=时, +=++=2+, 则|+|= == =>,故D错误. 11.(2025·长春模拟)已知平面向量a,b,c,|a|=2,|b|=6,a·b=18,且<a-c,b-c>=60°,则(　　) A.a与b的夹角为30° B.(a-c)·(b-c)的最大值为5 C.|c|的最小值为2 D.若c=xa+yb(x,y∈R),则x+y的取值范围是 【答案】ACD 【解析】对于A,由于|a|=2,|b|=6,a·b=18, 所以2×6×cos<a,b>=18, 则cos<a,b>=,由于0°≤<a,b>≤180°, 故a与b的夹角为30°,故A正确; 对于B,设=a,=b,=c, 则=a-c,=b-c, 以O为原点,建立如图所示的直角坐标系,有=(2,0),∠AOB=30°, 由于|a-b|===2,即AB=2, 故△OAB为等腰三角形,则∠BAx=60°, 故B(3,3). 因为<a-c,b-c>=60°, 所以<,>=60°, 则点C在以AB为弦,且使得∠ACB=60°的两个优弧上,如图所示. 故C点所在优弧所在圆的直径为2r==4,则其半径r=2, 设该圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=4, 将A,B坐标代入, 得 解得或 则两优弧所在圆的圆心分别为O1(2,2),O2(3,1), 且两个圆心关于直线AB对称, 设AB的中点为M, 则(a-c)·(b-c) =·= ==||2-3, 而O2到弦AB的距离 d===1, 故||的最大值为r+1=3, 则-3的最大值为6, 即(a-c)·(b-c)的最大值为6,故B错误; 对于C,|c|即为||,结合C点轨迹可知当C在圆O1上的那段优弧上运动时, ||会取到最小值,由于O1O==4, 故||的最小值为4-r=4-2=2, 即|c|的最小值为2,故C正确; 对于D,结合B项分析可知 a=(2,0),b=(3,3), 当C在圆O1上的那段优弧上运动时,圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4, 设C(2+2cosθ,2+2sinθ), 其中θ∈, 则由c=xa+yb(x,y∈R)可得(2+2cosθ,2+2sinθ)=x(2,0)+y(3,3), 所以 解得 即x+y=sin+, 所以≤x+y≤1; 当C在圆O2上的那段优弧上运动时, 圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=4, 设C(3+2cosα,1+2sinα), 其中α∈, 则由c=xa+yb(x,y∈R)可得(3+2cosα,1+2sinα)=x(2,0)+y(3,3), 所以 解得 即x+y=sin+, 所以≤x+y≤. 综上所述,x+y的取值范围为,故D正确. 三、填空题 12.(2025·石家庄模拟)已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则+的最小值为　　　　.  【答案】+ 【解析】∵a∥b,∴2m=4-n, ∴(2m+n)=1, ∴+=·(2m+n) = ≥=+, 当且仅当=,且2m+n=4, 即m=2-2,n=8-4时,等号成立. 13.(2025·济南模拟)在△ABC中,D为AC上一点且满足=,若P为BD上一点,且满足=λ+μ,λ,μ为正实数,则λμ的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】∵λ,μ为正实数,=,故=4, ∴=λ+4μ, 又P,B,D三点共线, ∴λ+4μ=1, ∴λμ=·λ·4μ≤=,当且仅当λ=,μ=时取等号, 故λμ的最大值为. 14.(2025·成都诊断)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|2+3|的最小值为　　　　.  【答案】7 【解析】以D为坐标原点,,分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示, 设C(0,a),P(0,b),B(1,a),A(2,0),0≤b≤a, 则2+3=2(2,-b)+3(1,a-b) =(7,3a-5b), |2+3|=≥7, 当且仅当b=时取得最小值7. 学科网（北京）股份有限公司 $$