第五章 第3节 平面向量的数量积及其应用（知识点梳理+限时挑战）-2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第五章平面向量、复数 第3节　平面向量的数量积及其应用 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1平面向量数量积的有关概念★★☆☆☆ 考点2平面向量数量积的性质及其坐标表示★★☆☆☆ 考点3平面向量数量积的运算律★★★☆☆ 考点4平面几何中的向量方法★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.平面向量数量积的有关概念★★☆☆☆ (1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.  (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系为=|a|cosθe. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示★★☆☆☆ 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2. (2)模:|a|==. (3)夹角:cosθ==. (4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤·. 3.平面向量数量积的运算律★★★☆☆ (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 4.平面几何中的向量方法★★★☆☆ 三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 【名师点拨】 1.有关向量夹角的两个结论 已知向量a,b (1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0; 若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0; 若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2; (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)向量a与b的夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cosθ).(　　) (3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　) (4)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(　　) (4)由a·b=a·c(a≠0)得|a||b|·cos<a,b>=|a||c|·cos<a,c>,所以向量b和c不一定相等. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(人教A必修二P35【典例】11改编)设a=(5,-7),b=(-6,-4),设a,b的夹角为θ,则cosθ=　　　　.  3.(苏教必修二P47T12改编)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,若(a+kb)⊥(a-kb),则实数k=　　　　.  4.(北师大必修二P113练习T2(2)改编)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则(2a-b)·(a+3b)=　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　数量积的计算 【典例】1(1)(2025·北京延庆区模拟)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则·=(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 (2)(2025·武汉质检)如图,B,D是以AC为直径的圆上的两点,其中AB=,AD=,则·=(　　) A.1 B.2 C.t D.2t 【变式训练】1(1)(2025·1月八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)=(　　) A.2 B.1 C.0 D.-1 (2)(2025·泉州调研)已知正方形ABCD的边长为2,若=,则·=(　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 (3)(2025·宁波调研)已知△ABC的外接圆圆心为O,=(+),||=||,则在上的投影向量为(　　) A.- B. C.- D. 考点二　数量积的应用 角度1　夹角与垂直 【典例】2(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (2)(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　　) A.- B.- C. D. 角度2　平面向量的模 【典例】3(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　) A. B. C. D.1 【变式训练】2(1)(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 (2)(2025·泰安一模)已知非零向量a,b满足|a|=|b|,若(a+b)⊥(3a-2b),则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D.π (3)(多选)(2025·长沙模拟)已知向量a,b满足|a+2b|=|a|,a·b+a2=0,且|a|=2,则(　　) A.|b|=2 B.a+b=0 C.|a-2b|=6 D.a·b=4 考点三　平面向量的新定义问题 【典例】4(2025·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算a☉b=|a+b|×|a-b|×sin<a,b>,其中<a,b>是a与b的夹角,给出下列命题:①若<a,b>=90°,则a☉b=a2+b2;②若|a|=|b|,则(a+b)☉(a-b)=4a·b;③若|a|=|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a=(1,2),b=(-2,2),则(a+b)☉b=.其中真命题的序号是　　　　.  【变式训练】3(2025·苏州调研)假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相似度为向量,夹角的余弦值,记作cos(A,B),余弦距离为1-cos(A,B).已知P(cosα,sinα),Q(cosβ, sinβ),R(cosα,-sinα),若P,Q的余弦距离为,tanα·tanβ=,则Q,R的余弦距离为(　　) A. B. C. D. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·重庆联考)已知向量a=(m,1),b=(0,3),且a⊥(a-b),则m=(　　) A. B.2 C.± D.±2 2.(2025·浙江Z20名校联盟第二次联考)已知向量a=(-1,1),b=(2,0),向量a在向量b上的投影向量c=(　　) A.(-2,0) B.(2,0) C.(-1,0) D.(1,0) 3.(2025·抚顺模拟)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若向量c满足a·c=8,且b∥c,则|c|=(　　) A.2 B.12 C.20 D.2 4.(2025·苏锡常镇调研)已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=,则a与b的夹角为(　　) A. B. C.π D.π 5.(2025·皖豫名校联考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB为其外接圆的直径,且AB=2AD=2,P为边BC的中点,则·=(　　) A.- B.-2 C.- D.- 6.在△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=,若点M满足=2,则·=(　　) A. B. C.1 D. 7.(2025·西安质检)在△ABC中,点D在边AB上,且BD=2DA,点E满足=2.若AB=AC=6,·=6,则||=(　　) A. B.2 C.12 D.11 8.在△ABC中,已知·=0,且·=,则△ABC为(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.三边均不相等的三角形 二、多选题 9.(2025·成都诊断)下列说法正确的是(　　) A.对任意向量a,b,都有a·b=b·a B.若a·b=a·c且a≠0,则b=c C.对任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c) D.对任意向量a,b,c,都有(a+b)·c=a·c+b·c 10.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,则下列说法正确的是(　　) A.a与b的夹角为钝角 B.向量a在b上的投影向量为b C.2m+n=4 D.mn的最大值为2 11.(2025·临汾适应性【变式训练】)设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若=xe1+ye2,则把有序实数对(x,y)叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标,记作=(x,y).则下列说法正确的是(　　) A.若=(2,1),则||= B.若=(2,1),=,则A,B,C三点共线 C.若=(3,2),=(2,-3),则⊥ D.若=(2,0),=(0,3),=(4,1),则四边形OACB的面积为 三、填空题 12.物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W=F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物体在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于　　　　.  13.(2025·保定联考)已知平面向量a,b是非零向量,(2a-b)⊥(2a+b),向量b在向量a上的投影向量为-a,则=　　　　,向量a,b的夹角为　　　　.  14.(2025·昆明模拟)已知在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3CD=3,AD=BC=,点E是CD的中点,则·=　　　　.  四、解答题 15.已知向量a,b满足|a|=,|b|=4,a·(b-a)=2. (1)求向量a与b的夹角; (2)若|ta-b|=2,求实数t的值. 16.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章平面向量、复数 第3节　平面向量的数量积及其应用 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1平面向量数量积的有关概念★★☆☆☆ 考点2平面向量数量积的性质及其坐标表示★★☆☆☆ 考点3平面向量数量积的运算律★★★☆☆ 考点4平面几何中的向量方法★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.平面向量数量积的有关概念★★☆☆☆ (1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.  (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系为=|a|cosθe. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示★★☆☆☆ 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2. (2)模:|a|==. (3)夹角:cosθ==. (4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤·. 3.平面向量数量积的运算律★★★☆☆ (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 4.平面几何中的向量方法★★★☆☆ 三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 【名师点拨】 1.有关向量夹角的两个结论 已知向量a,b (1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0; 若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0; 若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2; (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)向量a与b的夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cosθ).(　　) (3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　) (4)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(　　) 【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 【解析】(1)两个向量夹角的范围是[0,π]. (4)由a·b=a·c(a≠0)得|a||b|·cos<a,b>=|a||c|·cos<a,c>,所以向量b和c不一定相等. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(人教A必修二P35【典例】11改编)设a=(5,-7),b=(-6,-4),设a,b的夹角为θ,则cosθ=　　　　.  【答案】- 【解析】cosθ===-. 3.(苏教必修二P47T12改编)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,若(a+kb)⊥(a-kb),则实数k=　　　　.  【答案】± 【解析】由题意知(a+kb)·(a-kb)=a2-k2b2=9-16k2=0,解得k=±. 4.(北师大必修二P113练习T2(2)改编)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则(2a-b)·(a+3b)=　　　　.  【答案】84 【解析】(2a-b)·(a+3b) =2|a|2+5a·b-3|b|2 =2×36+5×6×4×-3×16=84. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　数量积的计算 【典例】1(1)(2025·北京延庆区模拟)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则·=(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】C 【解析】以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,正方形ABCD的边长为2, 则A(0,0),C(2,2),D(0,2), 可得=(2,2),=(0,2), 点P满足=(+)=(1,2), 所以·=1×2+2×2=6. (2)(2025·武汉质检)如图,B,D是以AC为直径的圆上的两点,其中AB=,AD=,则·=(　　) A.1 B.2 C.t D.2t 【答案】A 【解析】如图所示,连接BC,CD, 则AD⊥CD,AB⊥BC. 所以· =||·||·cos∠BAC =||·(||·cos∠BAC)=||2=t+1. ·=||·||cos∠CAD =||·(||·cos∠CAD)=||2=t+2. 因为=-, 所以·=·(-) =·-· =t+2-(t+1)=1. 【思维建模】计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义:a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (3)利用基底法求数量积. (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. 【变式训练】1(1)(2025·1月八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)=(　　) A.2 B.1 C.0 D.-1 【答案】B 【解析】由已知得,a·(a-b)=(0,1)·(-1,1)=1. (2)(2025·泉州调研)已知正方形ABCD的边长为2,若=,则·=(　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 【答案】B 【解析】以点A为坐标原点建立平面直角坐标系, 如图所示,则B(2,0),D(0,2),C(2,2), 由=可得P为BC的中点,所以P(2,1),则=(2,1), 又=(-2,2),所以·=2×(-2)+1×2=-2. (3)(2025·宁波调研)已知△ABC的外接圆圆心为O,=(+),||=||,则在上的投影向量为(　　) A.- B. C.- D. 【答案】D 【解析】因为=(+), 所以△ABC外接圆圆心O为BC的中点, 即BC为外接圆的直径,如图, 又||=||, 所以△ABO为等边三角形, 则∠ACB=30°, 故||=||cos30°, 所以向量在向量上的投影向量为 ||cos30°·=||·=. 考点二　数量积的应用 角度1　夹角与垂直 【典例】2(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【解析】法一　因为b⊥(b-4a), 所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b. 因为a=(0,1),b=(2,x), 所以b2=4+x2,a·b=x, 得4+x2=4x,所以(x-2)2=0, 解得x=2,故选D. 法二　因为a=(0,1),b=(2,x), 所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4). 因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0, 所以2×2+x(x-4)=0, 所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. (2)(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　　) A.- B.- C. D. 【答案】D 【解析】因为向量|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0, 所以c=-a-b,等式两边同时平方得c2=a2+b2+2a·b, 即2=1+1+2a·b,解得a·b=0. 法一　a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b, 所以(a-c)·(b-c) =(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4, 且|a-c|=|2a+b| ===, |b-c|=|a+2b| ===, 所以cos<a-c,b-c>==. 法二　如图,令向量a,b的起点均为O,终点分别为A,B,以,分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系, 则a=(1,0),b=(0,1), c=-a-b=(-1,-1), 所以a-c=(2,1),b-c=(1,2), 则cos<a-c,b-c>===. 角度2　平面向量的模 【典例】3(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　) A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】由(b-2a)⊥b, 得(b-2a)·b=b2-2a·b=0, 所以b2=2a·b. 将|a+2b|=2的两边同时平方, 得a2+4a·b+4b2=4, 即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4, 解得|b|2=,所以|b|=,故选B. 【思维建模】 1.求平面向量的模的方法 (1)公式法:利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2;(2)几何法:利用向量的几何意义. 2.求平面向量的夹角的方法 (1)定义法:cosθ=;(2)坐标法. 3.两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0). 【变式训练】2(1)(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 【答案】C 【解析】a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3, 所以x=-3是a⊥b的充分条件,x=0是a⊥b的充分条件,故A错误,C正确. a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1±,故B,D错误. (2)(2025·泰安一模)已知非零向量a,b满足|a|=|b|,若(a+b)⊥(3a-2b),则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D.π 【答案】C 【解析】因为(a+b)⊥(3a-2b),所以(a+b)·(3a-2b)=0, 则a·b=2|b|2-3|a|2, 又|a|=|b|, 则a·b=2|b|2-3=-|b|2, 所以cos<a,b>== =-, 又0≤<a,b>≤π,所以a与b的夹角为. (3)(多选)(2025·长沙模拟)已知向量a,b满足|a+2b|=|a|,a·b+a2=0,且|a|=2,则(　　) A.|b|=2 B.a+b=0 C.|a-2b|=6 D.a·b=4 【答案】ABC 【解析】因为|a+2b|=|a|, 所以|a+2b|2=|a|2, 即a2+4a·b+4b2=a2, 整理可得a·b+b2=0, 再由a·b+a2=0,且|a|=2,可得a2=b2=4, 所以|b|=2,a·b=-4,A正确,D错误; cos<a,b>==-1, 即向量a,b的夹角<a,b>=π,故向量a,b共线且方向相反, 所以a+b=0,B正确; |a-2b|====6,C正确. 考点三　平面向量的新定义问题 【典例】4(2025·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算a☉b=|a+b|×|a-b|×sin<a,b>,其中<a,b>是a与b的夹角,给出下列命题:①若<a,b>=90°,则a☉b=a2+b2;②若|a|=|b|,则(a+b)☉(a-b)=4a·b;③若|a|=|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a=(1,2),b=(-2,2),则(a+b)☉b=.其中真命题的序号是　　　　.  【答案】①③ 【解析】对于①,若<a,b>=90°, 则|a+b|=|a-b|,a·b=0, 则a☉b=|a+b|×|a-b|=|a+b|2=a2+b2+2a·b=a2+b2,故①正确; 对于②,若|a|=|b|, 则(a+b)⊥(a-b), 则(a+b)与(a-b)的夹角为90°, 则(a+b)☉(a-b)=|(a+b)+(a-b)|×|(a+b)-(a-b)|sin90°=4|a||b|,故②错误; 对于③,若|a|=|b|,则a☉b≤|a+b|×|a-b| =· =≤2|a|2,故③正确; 对于④,若a=(1,2),b=(-2,2), 则a+b=(-1,4),a+2b=(-3,6), 则cos<a+b,b>==, sin<a+b,b>=, 则(a+b)☉b=|a+2b|×|a|×sin<a+b,b> =3××=≠,故④错误. 【思维建模】平面向量背景下的新定义问题,通常基于平面向量的方向性和大小性,引入新的运算规则或概念.解题时,首先要准确理解新定义的本质,明确其涉及的向量运算和性质.接着,将新定义应用到具体的题目情境中,通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算,推导出所需的结论.最终,通过综合应用平面向量的基础知识和新定义,解决这类复杂而有趣的数学问题. 【变式训练】3(2025·苏州调研)假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相似度为向量,夹角的余弦值,记作cos(A,B),余弦距离为1-cos(A,B).已知P(cosα,sinα),Q(cosβ, sinβ),R(cosα,-sinα),若P,Q的余弦距离为,tanα·tanβ=,则Q,R的余弦距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),=(cosα,-sinα), 则cos(P,Q)= =cosαcosβ+sinαsinβ=, 又tanαtanβ==, ∴cosαcosβ=7sinαsinβ, ∴sinαsinβ=,cosαcosβ=, 则1-cos(Q,R)=1- =1-=. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·重庆联考)已知向量a=(m,1),b=(0,3),且a⊥(a-b),则m=(　　) A. B.2 C.± D.±2 【答案】C 【解析】因为a=(m,1),b=(0,3), 所以|a|=,a·b=m×0+1×3=3. 因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0, 即a2-a·b=m2+1-3=0,解得m=±. 2.(2025·浙江Z20名校联盟第二次联考)已知向量a=(-1,1),b=(2,0),向量a在向量b上的投影向量c=(　　) A.(-2,0) B.(2,0) C.(-1,0) D.(1,0) 【答案】C 【解析】因为向量a=(-1,1),b=(2,0), 所以向量a在向量b上的投影向量c=·b=(-1,0). 3.(2025·抚顺模拟)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若向量c满足a·c=8,且b∥c,则|c|=(　　) A.2 B.12 C.20 D.2 【答案】A 【解析】由b∥c可设c=λb=(λ,2λ),λ∈R, 由a·c=8可得2λ+1×2λ=8,解得λ=2, 所以c=(2,4),则|c|==2. 4.(2025·苏锡常镇调研)已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=,则a与b的夹角为(　　) A. B. C.π D.π 【答案】B 【解析】a+b=-c,所以(a+b)2=c2, 所以a2+2a·b+b2=3,所以a·b=, 则cos<a,b>==, 又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 5.(2025·皖豫名校联考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB为其外接圆的直径,且AB=2AD=2,P为边BC的中点,则·=(　　) A.- B.-2 C.- D.- 【答案】D 【解析】由题意,∠BAD=60°,建立平面直角坐标系如图, 则A(0,0),B(2,0),C,D, 所以P,所以=, 又=,所以·=-. 6.在△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=,若点M满足=2,则·=(　　) A. B. C.1 D. 【答案】C 【解析】在△ABC中,点M满足=2, 所以=-, =-, 又AB=2,BC=1,∠ABC=, 所以·=||·||cos∠ABC =2×1×=1, 所以·=-·(-) =-·+=-+=1. 7.(2025·西安质检)在△ABC中,点D在边AB上,且BD=2DA,点E满足=2.若AB=AC=6,·=6,则||=(　　) A. B.2 C.12 D.11 【答案】A 【解析】因为BD=2DA, 所以=. 因为=2, 所以E为CD的中点, 则=+=+ =+(-) =+ =+, 故||= = = ==. 8.在△ABC中,已知·=0,且·=,则△ABC为(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.三边均不相等的三角形 【答案】A 【解析】,分别表示,方向上的单位向量, +在∠A的角平分线上, ∵·=0,∴||=||, 又·=, ∴cos<,>=·=, 则与的夹角为60°,即∠BAC=60°, 可得△ABC是等边三角形. 二、多选题 9.(2025·成都诊断)下列说法正确的是(　　) A.对任意向量a,b,都有a·b=b·a B.若a·b=a·c且a≠0,则b=c C.对任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c) D.对任意向量a,b,c,都有(a+b)·c=a·c+b·c 【答案】AD 【解析】a·b=|a||b|cos<a,b>, b·a=|a||b|cos<a,b>, 可得a·b=b·a,故A正确; 由a·b=a·c可得a·(b-c)=0, 由a≠0可得b=c或a⊥(b-c),故B错误; (a·b)·c=|a||b|cos<a,b>c=λc(λ∈R), a·(b·c)=|c||b|cos<c,b>a=μa(μ∈R), 所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,故C错误; 由向量数量积运算的分配律可知D正确. 10.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,则下列说法正确的是(　　) A.a与b的夹角为钝角 B.向量a在b上的投影向量为b C.2m+n=4 D.mn的最大值为2 【答案】CD 【解析】对于A,向量a=(2,1),b=(1,-1), 则a·b=2-1=1>0, 又a,b不共线, 所以a,b的夹角为锐角,故A错误; 对于B,向量a在b上的投影向量为 ·=b,故B错误; 对于C,a-b=(1,2),若(a-b)∥c, 则-n=2(m-2),变形可得2m+n=4,故C正确; 对于D,由2m+n=4,且m,n均为正数, 得mn=(2m·n)≤=2, 当且仅当m=1,n=2时,等号成立, 即mn的最大值为2,故D正确. 11.(2025·临汾适应性【变式训练】)设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若=xe1+ye2,则把有序实数对(x,y)叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标,记作=(x,y).则下列说法正确的是(　　) A.若=(2,1),则||= B.若=(2,1),=,则A,B,C三点共线 C.若=(3,2),=(2,-3),则⊥ D.若=(2,0),=(0,3),=(4,1),则四边形OACB的面积为 【答案】ABD 【解析】对于A,由题意得=2e1+e2, 故=(2e1+e2)2=4-+4e1·e2+ =4|e1|2+4|e1|·|e2|cos60°+|e2|2 =4+4×1×1×+1=7, 故||=,A正确; 对于B,由题意得=2e1+e2, =-e1-e2, 所以=-2, 所以A,B,C三点共线,B正确; 对于C,由题意得=3e1+2e2, =2e1-3e2, 所以·=6-5e1·e2-6 =6-5×1×1×-6=-≠0, 故与不垂直,C错误; 对于D,因为=(2,0),=(0,3),=(4,1), 所以=(2,1),=(4,-2),=(-2,3), ||==2, ||==3, 所以||=|2e1+e2|=, ||= ===, ||= = ==2, 在△ABC中,由余弦定理的推论知 cos∠BAC= ==, 所以sin∠BAC==, 所以四边形OACB的面积为S△OAB+S△ABC=×2×3×+×××=,D正确. 三、填空题 12.物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W=F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物体在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于　　　　.  【答案】25 【解析】因为F1=(2,4),F2=(-5,3), 所以F1+F2=(-3,7), 又A(1,0),B(2,4),所以=(1,4), 故W=(F1+F2)·=-3+7×4=25. 13.(2025·保定联考)已知平面向量a,b是非零向量,(2a-b)⊥(2a+b),向量b在向量a上的投影向量为-a,则=　　　　,向量a,b的夹角为　　　　.  【答案】-1　 【解析】因为(2a-b)⊥(2a+b), 所以(2a-b)·(2a+b)=4a2-b2=0, 即|b|=2|a|, 又向量b在向量a上的投影向量为·=·=2cos<a,b>·a=-a,所以cos<a,b>=-, 又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=, 所以= =2×=-1. 14.(2025·昆明模拟)已知在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3CD=3,AD=BC=,点E是CD的中点,则·=　　　　.  【答案】-2 【解析】如图,分别过点C,D作CG⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为点G,F. 由题意得四边形ABCD为等腰梯形, AF=BG=1, ∴DF==1,∴∠DAF=45°, ·=(+)·(-) =·(-) =--· =()2-×32-×3×cos45°=-2. 四、解答题 15.已知向量a,b满足|a|=,|b|=4,a·(b-a)=2. (1)求向量a与b的夹角; (2)若|ta-b|=2,求实数t的值. 【解析】(1)设向量a与b的夹角为θ, ∵|a|=,|b|=4, ∴a·(b-a)=a·b-a2=|a||b|cosθ-a2 =4cosθ-2=2, ∴cosθ=, ∵0≤θ≤π,∴θ=. (2)∵|ta-b|=2,由(1)知a·b=4, ∴t2a2-2ta·b+b2=2t2-8t+16=8, 即t2-4t+4=0,解得t=2. 16.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值. 【解析】(1)由题设知=(3,5),=(-1,1), 则+=(2,6),-=(4,4). 所以|+|=2,|-|=4. 故所求的两条对角线的长分别为2,4. (2)法一　由题设知=(-2,-1),=(3,5),-t=(3+2t,5+t). 由(-t)·=0, 得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 从而5t=-11,所以t=-. 法二　由题意得·=t, =(-2,-1),=(3,5), t==-. 学科网（北京）股份有限公司 $$