第五章 第1节 平面向量的概念及线性运算（知识点梳理+限时挑战）-2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第五章 平面向量、复数 第1节 平面向量的慨念及线性运算 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 向量的有关概念 ★★☆☆☆ 考点2 向量的线性运算 ★★★☆☆ 考点3 共线向量定理 ★★★☆☆ 【知识拓展】等和线 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.向量的有关概念★★☆☆☆ (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模),记作||. (2)零向量:长度为0的向量,记作0. (3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.向量a,b平行,记作a∥b. 规定:0与任一向量平行. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算★★★☆☆ 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律:a+b=b+a (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 3.共线向量定理★★★☆☆ 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. 【名师点拨】 1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+). 2.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1. 3.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更要考虑向量的方向;二是要特别注意零向量的特殊性,考虑零向量是否也满足条件. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.(　　) (2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(　　) (3)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(　　) (4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.(　　) 【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(2)若b=0,则a与c不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上. 2.(人教A必修二P5T3改编)(多选)下列说法错误的是(　　) A.非零向量与是两平行向量 B.若a=b,b=c,则a=c C.若a与b都是单位向量,则a=b D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 【答案】CD 【解析】易知A,B正确; 单位向量a与b的方向均不确定,故C错误; 两个单位向量平行,它们的方向可能相反,两个向量不相等,故D错误. 3.(苏教必修二P47T17改编)已知a,b是两个不共线向量,向量b-ta与a-b共线,则实数t=　　　　.  【答案】 【解析】由题意知,存在实数λ,使得b-ta=λ, 则解得t=. 4.(北师大必修二P89【典例】6改编)如图,点O是▱ABCD外一点,用,,表示=　　　　.  【答案】-+ 【解析】由于=+, 因此只需将用,表示, 而==-, 故=+=+(-)=-+. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　平面向量的概念 【典例】1 (1)(多选)下列命题正确的有(　　) A.方向相反的两个非零向量一定共线 B.零向量是唯一没有方向的向量 C.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同 D.“若A,B,C,D是不共线的四点,且=”⇔“四边形ABCD是平行四边形” 【答案】AD 【解析】方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故A正确; 零向量是有方向的,其方向是任意的,故B错误; 两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,故C错误; A,B,C,D是不共线的四点,=,即模相等且方向相同,即平行四边形ABCD对边平行且相等,反之也成立,故D正确. (2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是(　　) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b| 【答案】C 【解析】因为向量的方向与向量a方向相同,向量的方向与向量b方向相同,且=, 所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D. 当a=2b时,==, 故a=2b是=成立的充分条件. 【思维建模】平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混淆. (4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量. 【变式训练】1 (1)下列命题中正确的是(　　) A.向量的长度与向量的长度相等 B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反 C.a与b同向,且|a|>|b|,则a>b D.两个终点相同的向量,一定是共线向量 【答案】A 【解析】对于A,向量与向量的长度相等,方向相反,故A正确; 对于B,向量a与b平行,且a或b为零向量时,不满足条件,故B错误; 对于C,因为向量是既有大小又有方向的量, 所以任意两个向量都不能比较大小,故C错误; 对于D,两个终点相同的向量,不一定是共线向量,故D错误. (2)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,则与相等的向量为(　　) A. 　　　B. C. 　　　D. 【答案】D 【解析】A,B选项均与方向不同,C选项与长度不相等,D选项与方向相同,长度相等. 考点二　平面向量的线性运算 【典例】2 (1)(2025·深圳模拟)在△ABC中,D是线段AB上靠近B的四等分点,E是线段CD上靠近D的三等分点,则=(　　) A.-+ B.- C.-+ D.-+ 【答案】C 【解析】如图,由题意得=,=, 故=+ =+ =+(-) =+=+ =-+(-) =-+. (2)(2025·大连双基测试)在△ABC中,若=m,=+λ,则λ=(　　) A. B. C.- D.- 【答案】A 【解析】法一　若=m, 则=+= , 可得=, ∴=+=+ =+(-)=+, 结合题意,得=,=λ, 解得m=2,λ=. 法二　过点D作DM∥BC,DN∥AC,分别交AC,BC于点M,N, ∵=m, ∴点D在AB上,又=+λ, ∴M为线段AC上靠近C的三等分点,如图, CD为平行四边形CMDN的对角线, ∴D为线段AB上靠近B的三等分点, ∴N为线段BC上靠近B的三等分点, ∴λ=. 【思维建模】平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则;求差用向量减法的几何意义. (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值. 【变式训练】2 (1)(2025·长沙调研)已知D是△ABC所在平面内一点,=+,则(　　) A.= B.= C.= D.= 【答案】A 【解析】由=+, 得+=+, 得=-+, 得=(-+)=. (2)(2025·西安模拟)在△ABC中,D在BC上,且=2,E在AD上,且=4.若=x+y,则x+y=(　　) A. B. C.- D.- 【答案】C 【解析】因为=2,所以=, 则=+=+=+(-)=+. 又=4,所以= =+, 则=-=-+, 又=x+y, 所以x=-,y=, 则x+y=-+=-. 考点三　共线向量定理的应用 【典例】3 (1)(2025·泰州调研)设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=ke1-4e2(k∈R)共线,则(　　) A.k=0 B.k=±2 C.k=2 D.k=-2 【答案】B 【解析】因为e1,e2是两个不共线的向量, 且m=-e1+ke2,n=ke1-4e2(k∈R)共线, 所以存在实数λ∈R, 使得m=λn, 则解得或 则k=±2. (2)(2025·衡水调研)已知点O是△ABC的重心,过点O的直线与边AB,AC分别交于M,N两点,D为边BC的中点.若=x+y(x,y∈R),则x+y=(　　) A. B. C.2 D. 【答案】A 【解析】如图所示,由三角形重心的性质, 可得=, 所以=, 所以=x+y, 即=x+y. 易知M,O,N三点共线, 可得x+y=1,所以x+y=. 【思维建模】利用共线向量定理解题的策略 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔,共线. (3)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0. (4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1. 【变式训练】3 (1)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,=3e1+2e2,=4e1+ke2,=5e1-4e2,若A,B,C三点共线,则实数k的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【解析】法一　因为=3e1+2e2, =4e1+ke2,=5e1-4e2, 所以=-=(4e1+ke2)-(3e1+2e2)=e1+(k-2)e2, =-=(5e1-4e2)-(3e1+2e2)=2e1-6e2, 又A,B,C三点共线,所以存在唯一的实数λ, 使得=λ, 即e1+(k-2)e2=λ(2e1-6e2), 所以解得故选A. 法二　根据题意,设=x+(1-x), 则3e1+2e2=[4x+5(1-x)]e1+[kx-4(1-x)]e2, 因为e1,e2是平面内两个不共线的向量, 所以得 (2)(2025·青岛调研)在△ABC中,=3,=2,E是AB的中点,EF与AD交于点P.若=m+n(m,n∈R),则m+n=(　　) A. B. C. D.1 【答案】A 【解析】如图所示,因为=3, 所以=, 则=+(-)=+. 因为A,P,D三点共线, 所以=λ=λ+λ(λ∈R). 因为=2,所以=. 因为E是边AB的中点,所以=. 因为E,P,F三点共线, 所以=k+(1-k) =k+(k∈R), 则 解得k=,从而m=,n=, 故m+n=. 【知识拓展】等和线★★★☆☆ 等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理:如图,由三点共线结论可知,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=1,由△OAB与△OA′B′相似,必存在一个常数k,使得=k,则=k=kλ+kμ,又=x+y(x,y∈R),∴x+y=k(λ+μ)=k;反之也成立. (2)平面内一组基底,及任一向量,=λ+μ(λ,μ∈R),若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值);反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. 【典例】 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°,如图,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是　　　　.  【答案】2 【解析】法一　由已知以OA为x轴的正半轴,O为坐标原点,建立直角坐标系(图略). 其中A(1,0),B,C(cos θ,sin θ), . 则有=(cos θ,sin θ)=x(1,0)+y, 即 得x=sin θ+cos θ,y=sin θ, x+y=sin θ+cos θ+sin θ =sin θ+cos θ=2sin, 其中0≤θ≤, 所以(x+y)max=2, 当且仅当θ=时取得. 法二　如图, 连接AB交OC于点D, 设=t, 由于=x+y, 所以=t(x+y). 因为D,A,B三点在同一直线上, 所以tx+ty=1,x+y=, 由于||=t||=t, 当OD⊥AB时t取到最小值, 当点D与点A或点B重合时t取到最大值1, 故1≤x+y≤2.故x+y的最大值为2. 法三　(等和线法)连接AB,过C作直线l∥AB,则直线l为以,为基底的平面向量基本定理系数的等和线,显然当l与圆弧相切于C1时,定值最大, 因为∠AOB=120°, 所以=+, 所以x+y的最大值为2. 【变式训练】 如图,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　.  【答案】 【解析】由等和线定理可知λ+μ==. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.化简2(a-3b)-3(a+b)的结果为(　　) A.a+4b B.-a-9b C.2a+b D.a-3b 【答案】B 【解析】2(a-3b)-3(a+b)=2a-6b-3a-3b=-a-9b. 2.下列命题中正确的是(　　) A.|a|+|b|=|a-b|⇔a与b方向相反 B.在△ABC中,++=0 C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相反 D.如果非零向量a,b的方向相同或相反,那么a+b的方向与a,b之一的方向一定相同 【答案】B 【解析】对于A,当a,b之一为零向量时,不成立,故A错误; 对于B,首尾顺次相接,B正确; 对于C,两个单位向量互相平行,这两个单位向量相等或相反(大小相等,方向相反),故C错误; 对于D,当a+b=0时,零向量的方向是任意的,故D错误. 3.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为(　　) A.2e1-3e2 B.3e1-2e2 C.2e1+3e2 D.3e1+2e2 【答案】D 【解析】由题意得a=e1+2e2, b=e1-2e2,c=e1+2e2, 所以a+b+c=e1+2e2+e1-2e2+e1+2e2 =3e1+2e2. 4.(2025·兰州诊断)已知向量a,b不共线,且c=xa+b,d=a+(2x-1)b,若c与d方向相反,则实数x的值为(　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或- 【答案】B 【解析】因为c与d方向相反, 所以存在k∈R,使得d=kc,且k<0, 即a+(2x-1)b=kxa+kb, 因为向量a,b不共线,则 整理可得x(2x-1)=1,即2x2-x-1=0, 解得x=-或x=1. 又k<0,所以x<0,故x=-. 5.在△ABC中,D为AB的中点,E为CD的中点,设=a,=b,则=(　　) A.a+b B.a-b C.a+b D.a-b 【答案】C 【解析】法一　因为D为AB的中点,E为CD的中点, 所以=+ =+=+ =+=a+b. 法二　因为D是AB的中点, 所以=, 又E为CD的中点, 所以=(+) ==a+b. 6.(2025·佛山质检)在△ABC中,=a,=b,若=2,=2,线段AD与BE交于点F,则=(　　) A.a+b B.a-b C.-a+b D.-a-b 【答案】B 【解析】如图所示, 由=2,=2可得D,E分别为BC,AC的中点, 由三角形中线的性质可得=, 又=(+)=(a+b), 所以=×(a+b)=(a+b), 因此=+=-b+(a+b) =a-b. 7.已知D为线段AB上的任意一点,O为直线AB外一点,A关于点O的对称点为C.若=x+y,则x-y的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】C 【解析】因为A关于点O的对称点为C, 所以=-, 又=x+y, 所以=x-y, 又因为A,B,D三点共线, 所以x-y=1. 8.(2025·郑州联考)在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,F是CD的中点,DE与BF相交于点G,则=(　　) A.+ B.+ C.+ D.+ 【答案】A 【解析】连接BD,GC,如图所示, 由题意可知,G为△BCD的重心, 设AC∩BD=O, 则O为AC的中点,A,O,G,C四点共线, 且AO=OC=3OG, 所以==(+) =+. 二、多选题 9.已知P是△ABC所在平面内一点,且满足|-|-|+-2|=0,则△ABC不可能是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】AD 【解析】设D为BC的中点,则+=2, 由已知得||=|2-2|=2||, ∴△ABC为直角三角形,且∠BAC为直角. 10.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,AC与BD相交于点O,则下列结论正确的是(　　) A.-= B.|+2|=0 C.=+ D.+++=0 【答案】ABD 【解析】对于A,-==,故A正确; 对于B,由题知==, 所以+2=0, 故|+2|=0,故B正确; 对于C,==(+2)=+,故C错误; 对于D,+++=0,故D正确. 11.下列命题正确的是(　　) A.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD,则= B.在△ABC中,若O点满足++=0,则O点是△ABC的重心 C.若a=(1,1),把a向右平移2个单位,得到的向量的坐标为(3,1) D.在△ABC中,若=λ,则P点的轨迹经过△ABC的内心 【答案】BD 【解析】对于A,如图,A,B,C,D四点满足条件,但≠,故A错误; 对于B,设BC的中点为D,当++=0时,能得到=-(+),所以=-2,所以O是 △ABC的重心,故B正确. 对于C,向量由向量的方向和模确定,平移不改变这两个量,故C错误. 对于D,根据向量加法的几何意义知,以,为邻边所得到的平行四边形是菱形,点P在该菱形的对角线上,由菱形的对角线平分一组对角,得P点在∠ACB的平分线所在直线上,故D正确. 三、填空题 12.在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|=　　　　.  【答案】2 【解析】法一　如图,连接AD,BE,CF, 因为正六边形ABCDEF由6个全等的等边三角形构成, 且AB=1,所以||=2, 所以|++|=|++|=||=2. 法二　连接AD,易知AD=2, 则|++|=|++| =|++|=|+|=||=2. 13.已知e1,e2为平面内两个不共线的向量,=2e1-3e2,=λe1+6e2,若M,N,P三点共线,则λ=　　　　.  【答案】-4 【解析】因为M,N,P三点共线,所以存在实数k使得=k, 即2e1-3e2=k(λe1+6e2), 又e1,e2为平面内两个不共线的向量, 可得解得λ=-4. 14.在△ABC中,P是BC上一点,若=2,=λ+μ,则2λ+μ=　　　　.  【答案】 【解析】在△ABC中,=2, 则=+=+ =+(-)=+, 又=λ+μ,且,不共线, 则λ=,μ=, 所以2λ+μ=. 四、解答题 15.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由. 【解析】由题设知,=d-c=2b-3a, =e-c=(t-3)a+tb, C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k, 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为a,b不共线, 所以有解得t=. 故存在实数t=使C,D,E三点在一条直线上. 16.如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b. (1)试用a,b表示,,; (2)证明:B,E,F三点共线. (1)【解析】在△ABC中,因为=a,=b, 所以=-=b-a, =+=+ =a+(b-a)=a+b, =+=-+=-a+b. (2)证明　因为=-a+b, =+=-+ =-a+=-a+ a a =, 所以=,即与共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 平面向量、复数 第1节 平面向量的慨念及线性运算 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 向量的有关概念 ★★☆☆☆ 考点2 向量的线性运算 ★★★☆☆ 考点3 共线向量定理 ★★★☆☆ 【知识拓展】等和线 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.向量的有关概念★★☆☆☆ (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模),记作||. (2)零向量:长度为0的向量,记作0. (3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.向量a,b平行,记作a∥b. 规定:0与任一向量平行. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算★★★☆☆ 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律:a+b=b+a (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 3.共线向量定理★★★☆☆ 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. 【名师点拨】 1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+). 2.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1. 3.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更要考虑向量的方向;二是要特别注意零向量的特殊性,考虑零向量是否也满足条件. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.(　　) (2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(　　) (3)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(　　) (4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.(　　) 2.(人教A必修二P5T3改编)(多选)下列说法错误的是(　　) A.非零向量与是两平行向量 B.若a=b,b=c,则a=c C.若a与b都是单位向量,则a=b D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 3.(苏教必修二P47T17改编)已知a,b是两个不共线向量,向量b-ta与a-b共线,则实数t=　　　　.  4.(北师大必修二P89【典例】6改编)如图,点O是▱ABCD外一点,用,,表示=　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　平面向量的概念 【典例】1 (1)(多选)下列命题正确的有(　　) A.方向相反的两个非零向量一定共线 B.零向量是唯一没有方向的向量 C.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同 D.“若A,B,C,D是不共线的四点,且=”⇔“四边形ABCD是平行四边形” (2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是(　　) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b| 【变式训练】1 (1)下列命题中正确的是(　　) A.向量的长度与向量的长度相等 B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反 C.a与b同向,且|a|>|b|,则a>b D.两个终点相同的向量,一定是共线向量 (2)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,则与相等的向量为(　　) A. 　　　B. C. 　　　D. 考点二　平面向量的线性运算 【典例】2 (1)(2025·深圳模拟)在△ABC中,D是线段AB上靠近B的四等分点,E是线段CD上靠近D的三等分点,则=(　　) A.-+ B.- C.-+ D.-+ (2)(2025·大连双基测试)在△ABC中,若=m,=+λ,则λ=(　　) A. B. C.- D.- 【变式训练】2 (1)(2025·长沙调研)已知D是△ABC所在平面内一点,=+,则(　　) A.= B.= C.= D.= (2)(2025·西安模拟)在△ABC中,D在BC上,且=2,E在AD上,且=4.若=x+y,则x+y=(　　) A. B. C.- D.- 考点三　共线向量定理的应用 【典例】3 (1)(2025·泰州调研)设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=ke1-4e2(k∈R)共线,则(　　) A.k=0 B.k=±2 C.k=2 D.k=-2 (2)(2025·衡水调研)已知点O是△ABC的重心,过点O的直线与边AB,AC分别交于M,N两点,D为边BC的中点.若=x+y(x,y∈R),则x+y=(　　) A. B. C.2 D. 【变式训练】3 (1)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,=3e1+2e2,=4e1+ke2,=5e1-4e2,若A,B,C三点共线,则实数k的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)(2025·青岛调研)在△ABC中,=3,=2,E是AB的中点,EF与AD交于点P.若=m+n(m,n∈R),则m+n=(　　) A. B. C. D.1 【知识拓展】等和线★★★☆☆ 等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理:如图,由三点共线结论可知,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=1,由△OAB与△OA′B′相似,必存在一个常数k,使得=k,则=k=kλ+kμ,又=x+y(x,y∈R),∴x+y=k(λ+μ)=k;反之也成立. (2)平面内一组基底,及任一向量,=λ+μ(λ,μ∈R),若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值);反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. 【典例】 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°,如图,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是　　　　.  【变式训练】 如图,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.化简2(a-3b)-3(a+b)的结果为(　　) A.a+4b B.-a-9b C.2a+b D.a-3b 2.下列命题中正确的是(　　) A.|a|+|b|=|a-b|⇔a与b方向相反 B.在△ABC中,++=0 C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相反 D.如果非零向量a,b的方向相同或相反,那么a+b的方向与a,b之一的方向一定相同 3.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为(　　) A.2e1-3e2 B.3e1-2e2 C.2e1+3e2 D.3e1+2e2 4.(2025·兰州诊断)已知向量a,b不共线,且c=xa+b,d=a+(2x-1)b,若c与d方向相反,则实数x的值为(　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或- 5.在△ABC中,D为AB的中点,E为CD的中点,设=a,=b,则=(　　) A.a+b B.a-b C.a+b D.a-b 6.(2025·佛山质检)在△ABC中,=a,=b,若=2,=2,线段AD与BE交于点F,则=(　　) A.a+b B.a-b C.-a+b D.-a-b 7.已知D为线段AB上的任意一点,O为直线AB外一点,A关于点O的对称点为C.若=x+y,则x-y的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 8.(2025·郑州联考)在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,F是CD的中点,DE与BF相交于点G,则=(　　) A.+ B.+ C.+ D.+ 二、多选题 9.已知P是△ABC所在平面内一点,且满足|-|-|+-2|=0,则△ABC不可能是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 10.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,AC与BD相交于点O,则下列结论正确的是(　　) A.-= B.|+2|=0 C.=+ D.+++=0 11.下列命题正确的是(　　) A.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD,则= B.在△ABC中,若O点满足++=0,则O点是△ABC的重心 C.若a=(1,1),把a向右平移2个单位,得到的向量的坐标为(3,1) D.在△ABC中,若=λ,则P点的轨迹经过△ABC的内心 三、填空题 12.在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|=　　　　.  13.已知e1,e2为平面内两个不共线的向量,=2e1-3e2,=λe1+6e2,若M,N,P三点共线,则λ=　　　　.  14.在△ABC中,P是BC上一点,若=2,=λ+μ,则2λ+μ=　　　　.  四、解答题 15.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由. 16.如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b. (1)试用a,b表示,,; (2)证明:B,E,F三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $$