专题01 一元二次方程的计算题（高效培优专项训练）数学苏科版九年级上册

专题01 一元二次方程的计算题 题型一：一元二次方程的解 题型二：直接开平方法解一元二次方程 题型三：配方法解一元二次方程 题型四：公式法解一元二次方程 题型五：因式分解法解一元二次方程 题型六：换元法解一元二次方程 题型七：一元二次方程根与系数关系计算 题型八：一元二次方程新定义计算 题型一：一元二次方程的解 1．若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴ ． 2．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 3．已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴将代入原方程， ∴， 解得， ∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴． 4．若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入， 得， ∴， ∵． 5．已知a是方程的解，求代数式的值． 【答案】； 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴ ． 6．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长，如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形．见解析 【详解】解：是等腰三角形， 理由如下：把代入得到， ， 则， ∴是等腰三角形． 7．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 【答案】， 【详解】解：， ， 解得：， 关于的方程的解是，， ，， 方程的解为， ， ，． 题型二：直接开平方法解一元二次方程 8．解一元二次方程：（直接开平方法） 【答案】， 【详解】解：， 两边都除以3得：， ∴， 解得：，； 9．用直接开平方法解方程：． 【答案】 【详解】解：根据平方根的意义，得， 解得． 10．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． （2）移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． 11．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)， 【详解】解：（1）移项，得． 两边直接开平方，得， 解得，． （2）两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 12．先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ， ， 是方程的解， 故， 原式． 题型三：配方法解一元二次方程 13．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 整理得：， ∴， ； （2）解：， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 整理得：， ∴， ． 14．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，； （2）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； ，； （3）解：整理得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，． 15．把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 【答案】①，；②，． 【详解】①解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得：，； ②， 配方得：， 开平方得：， 解得：，． 16．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容． 解方程：． 解：移项，得．① 两边同时除以2，得．② 配方，得，③ 即，．④ 故，．⑤ (1)上述过程中开始出错的步骤是________（填序号），原因是________． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)③，等式右边没有同时加4 (2)见解析 【详解】解：（1）③  等式右边没有同时加4 （2）正确的解答过程如下： 移项，得． 两边同时除以2，得． 配方，得， 即， ． 故，． 17．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程的一个根．请你用配方法解此方程，并计算出该三角形的面积． 【答案】；三角形面积为24或 【详解】解： ， 解得． ①当第三边长是10时，， 该三角形为直角三角形，如图①， ； ②当第三边长是6时，该三角形为等腰三角形，如图②，过点A作，交BC于点D， ， ． 综上所述，该三角形的面积为24或． 18．用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 题型四：公式法解一元二次方程 19．用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：； ，，， △． ， ，； （2）解：； 将原方程化为一般形式，得， △， ． ，； （3）解：． 将方程整理为一般形式，得， ，，， △． ． ，． 20．用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解：原方程可化为， ，，， ， ， ，； （2）， 移项，得； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 21．关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴． ∴． 解得． 即的取值范围是． （2）解：解方程，得． ∵， ∴正整数的值为1，2，3． 当时，，不合题意，所以舍去； 当时，，不合题意，所以舍去； 当时，，得到方程的根为，，都是整数． ∴正整数的值是3． 22．已知：关于的方程（）． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【详解】（1）证明：∵， ∴方程是关于的一元二次方程， ∵ ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵，且为正整数， ∴， ∴，， ∵方程的两个根均为整数，且为正整数， ∴或． 23．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程， ∴ ∵ ， ∴此方程总有两个实数根； （2）∵ ∵ ∴ 解得：， ∵方程只有一个根小于0， ∴， 解得：． 24．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 ∴或 乙同学： ，， ∵ ∴此方程无实数根 (1)你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确 (2) 【详解】（1）解：甲、乙两个同学的解法都不正确，理由如下： 甲同学的解题过程中，方程左边分解因式正确，但是方程右边的结果不为0，因此并不能得到或； 乙同学的解题过程中，而不是； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 题型五：因式分解法解一元二次方程 25．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原方程可化为． 因式分解，得， 即， 解得． （2）因式分解，得， 即， 解得． 26．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． （2）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． （3）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． 27．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 (1)； (2)； (3)已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【详解】（1）解： 或， ∴，； （2）解： 或， ∴，； （3）解：， ∴， ∴，， ∵方程有一个根大于， ∴， ∴． 28．试利用十字相乘法，求出关于的方程的解． 【答案】， 【详解】解：， 或， 所以，． 题型六：换元法解一元二次方程 29．已知，求的值． 【答案】3 【详解】解：设，则原方程等价于， ∴， 解得或（不符合题意，舍取）， ∴． 30．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 【答案】 【详解】解：设，则原方程可化为， ，解得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 31．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【详解】（1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 32．阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】；或； 【详解】解：设，原方程化为①， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ； 原方程的解为． 设，则原方程可化为， ∴， ∴或， 当时，，此时方程无解； 当时，， ∴， ． 题型七：一元二次方程根与系数关系计算 33．已知：关于x的方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的根，且，求p的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）解：． ∵， ∴方程必有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴． ∴． 解得． 34．关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由已知得：，，， ∴， 即， 解这个方程得：，． 当时，，与已知不符合，舍去， ∴，此时方程为， 解得：， 故的两直角边长是4和3． ∴． 35．设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)详见解析． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 36．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)13 (2)见解析 (3)， 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴； （2）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （3）解：由根与系数的关系，得，． ， ． ，即． 解得，． 37．已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或1 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程左边因式分解得： 解得： （2）解：关于的一元二次方程， ， ， ，即， 不论为何实数，方程总有实数根； （3）解：是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ，整理，得，解得， 的值为或1． 38．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，方程的两个根是，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，当时，， ∴． 39．已知关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根； (2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）证明：， 不论为何值，方程一定有实数根； （2），是该方程的两个不同的根， ，， ， 化简得：， 解得：，． 题型八：一元二次方程新定义计算 40．（1）已知a、b是有理数，定义一种新运算“”满足，求的值； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程． ①；            ②；            ③． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）解：． （2）解：选①      解得，． 选②， ， 或，   解得，． 选③， ， 或 ， 解得，． 41．对于任意实数规定一种新运算：．例如：13．请根据上述定义解决以下问题： (1)计算：． (2)若的值为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ， ∴， 即， ∴， 解得 42．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 【答案】(1)是“倍根方程”，理由见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：是“倍根方程”，理由如下： ，解得：， 所以，则是“倍根方程”； （2）证明：∵点在双曲线y上， ∴，且， ∴方程化为方程，解得：， ∴， ∴方程是“倍根方程”． 43．定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【答案】(1) (2)420 (3)1；3；6；10 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的值为． （2）解：设，k、m为正整数， ∴， ∴， ∵41只有因数1和41， ∴，解得：， ∵， ∴． （3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数， ∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数， ∴k为正奇数，且， 设（为正整数），则， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10． 44．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)2 【详解】（1）解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； （2）解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； （3）解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 45．已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3)或． 【详解】（1）解：① ∴； 解得 ∵； ∴是差根方程； ∴ 解得 ∵； 方程不是差根方程； 故答案为：① （2）， 因式分解得：， 解得：，， 关于的方程是“差根方程”， ，即； （3）当为斜边时，如图， 假设，可设, 由勾股定理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 解差根方程的两个根为1和2， ∴这个差根方程为，即， 当为直角边时，如图， 设，， 由勾股定理得， 解得， ∴， 解差根方程的两个根为3和2， ∴这个差根方程为，即， 差根方程为或． 46．定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程式“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为、，则，，，， 得， ， ， ． 47．阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，的值是一个完全平方数，但是该方程的根不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是_______； ②若该全整根方程的“关爱码”是，则的值为________； (2)若关于的全整根方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【详解】（1）①当时，， ∴ ∴或， 解得 ∴是“全整根方程”， ∵ 即当时，该全整根方程的“关爱码”是； ②∵该全整根方程的“关爱码”是， ∴，， 解得， 当时，， 当时，， 故答案为：或 （2）由题意可得， ∴ ∵均为正整数， ∴， ∴， 解得 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程的计算题 题型一：一元二次方程的解 题型二：直接开平方法解一元二次方程 题型三：配方法解一元二次方程 题型四：公式法解一元二次方程 题型五：因式分解法解一元二次方程 题型六：换元法解一元二次方程 题型七：一元二次方程根与系数关系计算 题型八：一元二次方程新定义计算 题型一：一元二次方程的解 1．若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 2．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 3．已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 4．若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 5．已知a是方程的解，求代数式的值． 6．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长，如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． 7．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 题型二：直接开平方法解一元二次方程 8．解一元二次方程：（直接开平方法） 9．用直接开平方法解方程：． 10．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 11．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 12．先化简，再求值：，其中是方程的解． 题型三：配方法解一元二次方程 13．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 14．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 15．把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 16．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容． 解方程：． 解：移项，得．① 两边同时除以2，得．② 配方，得，③ 即，．④ 故，．⑤ (1)上述过程中开始出错的步骤是________（填序号），原因是________． (2)请写出正确的解答过程． 17．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程的一个根．请你用配方法解此方程，并计算出该三角形的面积． 18．用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 题型四：公式法解一元二次方程 19．用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 20．用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 21．关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值． 22．已知：关于的方程（）． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 23．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围． 24．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 ∴或 乙同学： ，， ∵ ∴此方程无实数根 (1)你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 题型五：因式分解法解一元二次方程 25．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 26．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 27．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 (1)； (2)； (3)已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围． 28．试利用十字相乘法，求出关于的方程的解． 题型六：换元法解一元二次方程 29．已知，求的值． 30．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 31．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 32．阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 题型七：一元二次方程根与系数关系计算 33．已知：关于x的方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的根，且，求p的值． 34．关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 35．设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 36．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 37．已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 38．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，方程的两个根是，，求的值． 39．已知关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根； (2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 题型八：一元二次方程新定义计算 40．（1）已知a、b是有理数，定义一种新运算“”满足，求的值； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程． ①；            ②；            ③． 41．对于任意实数规定一种新运算：．例如：13．请根据上述定义解决以下问题： (1)计算：． (2)若的值为1，求的值． 42．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 43．定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 44．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 45．已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 46．定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 47．阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，的值是一个完全平方数，但是该方程的根不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是_______； ②若该全整根方程的“关爱码”是，则的值为________； (2)若关于的全整根方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$