精品解析：甘肃省定西市渭源县第三高级中学2024-2025学年高二下学期期末质量检测卷数学试题

2024-2025学年甘肃省定西市渭源县第三高级中学期末质量检测卷 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项. 1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的乘法及除法化简，再结合纯虚数定义列式求出复数，最后应用复数的模长公式计算求解. 【详解】依题意，， 由是纯虚数，得所以， 所以，所以. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数单调性解不等式求集合，再由集合的交运算求解. 【详解】由题设，又， 所以. 故选：A 3. 等差数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为，则，，解得， 所以. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第5项 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法判断A、B、C，根据二项式系数的性质判断D. 【详解】因为， 对于A：令，可得，故A正确； 对于B：令，可得①，故B错误； 对于C：令，可得②， 联立①②可得，故C错误； 对于D：由题意可知展开式共有项，则第项的二项式系数最大，故D错误． 故选：A． 5. 若随机变量X服从正态分布，，则（ ） A. 0.45 B. 0.55 C. 0.1 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性可求答案. 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以； 所以. 故选：B. 6. 已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】记“其中一人是男生”，“另一人也是男生”， 则， 故选：C 7. 若函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为，即在上恒成立，再根据右边构造函数，利用导数求出最大值可得结果. 【详解】， 因为在上为单调递增函数， 所以在上恒成立， 则，即在上恒成立， 设，则，在上为减函数， ，所以. 故选：D 8. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果． 【详解】，， 在点处的切线方程为：， 令得：， ． 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ） A. 线段是异面直线与的公垂线段 B. 异面直线与的距离为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，，，，，， ，. 对于A，，，， ，，即，， 所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； 对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为.故B错误； 对于C，，， 所以在方向的投影向量的模为， 所以点到直线的距离为.故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为.故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向量的坐标运算求解. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为 B. 函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数 C. 曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是 D. 直线上的点到曲线距离的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，结合三角形的面积公式，可得判定A错误；求得，，得到，求得的值，可判定B正确；设切点 ，求得，得出方程，求得，进而得到点的坐标，可判定C正确；求得，求得切线方程为，结和平行线间的距离，可判定D错误. 【详解】对于A，由可得，所以， 所以曲线在点 处的切线方程为，即. 令 解得 ，令 解得 ，， 所以切线与直线和围成的三角形的面积为 ，所以A错误； 对于B，由，，可得，， 因为函数与函数 的图象在点的切线相同， 所以，可得，所以，所以B正确； 对于C，设切点 ，由，可得， 则切线的斜率为， 因为切线方程为，即，即切线的斜率为， 所以，解得，所以，解得， 所以点的坐标是，所以C正确； 对于D，由函数 得， 令，解得，则，， 所以函数在处的切线方程为，即， 又由直线与之间的距离为， 即直线上的点到曲线距离的最小值为，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 增加两个样本点后的平均数为1.2 C. D. 在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用经验回归方程，结合样本中心点求出参数，进而进行数据估计. 【详解】对于A，由过点，得，解得，A正确； 对于B，增加两个样本点后的平均数为，B正确； 对于C，增加两个样本点后的平均数为，则，解得，C错误； 对于D，新的经验回归方程为，当时，，D正确. 故选：ABD 三．填空题（本大题共3个小题，每题5分共15分） 12. 已知直线与曲线相切，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义得到，再利用切点既在直线上，又在曲线上得到，联立方程即可得到结果. 【详解】由，得， 设切点坐标为，由导数的几何意义得， 又易知，点既在直线上又在曲线上，所以， 联立和，消得到， 令，则恒成立， 即函数在区间上单调递增，又，所以，得到， 故答案为：. 13. 若为自然对数的底数，是定义在上的函数，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，则问题转化为，结合单调性解得即可. 【详解】令， 则， ∵， ∴， ∴，则在上单调递减， ∵， ∴，等价于， 根据的单调性解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：． 14. 如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 四、简答题：本大题共5小题，共77分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形． （ⅰ）求角A的取值范围； （ⅱ）设，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合正弦和角公式即可求解； （2）（ⅰ）由锐角三角形的定义列不等式组即可求解； （ⅱ）由三角形面积公式、正弦定理得到，结合角A的取值范围，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 而，从而，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）显然是锐角， 需满足，解得， 故角A的取值范围为； （ⅱ）因为，，所以， 由正弦定理有，所以， 所以， 因为角A的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 的取值范围为，的取值范围为， 故. 16. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （1）证明：平面； （2）若，证明：平面； （3）若二面角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明：如图，取的中点F，连接,因为E为中点，所以且, 又因为，且，所以且, 故四边形为平行四边形，故,平面,平面, 所以平面. （2）证明：如图，找的中点G，连接, 则, 因为,所以，又因为，， 所以四边形为正方形，所以,且, 在三角形中，,在三角形中， 因为,故, 又因为底面，底面,所以, 又因为且平面,所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点F，连接，利用线面平行的判定定理即可证明结论. （2）找的中点G，连接，证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （3）首先做辅助线，找出二面角的平面角，利用正弦函数定理即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，作交于M,作交于点N，连接, 由，，所以,所以, 又因为底面，且底面,所以, 又,且平面，所以平面, 因为平面,所以，又，且,平面，所以平面, 因为平面，所以,又，平面，所以平面, 所以二面角的平面角为,所以, 设，在三角形中，利用等面积法得， 在三角形中，，利用等面积法得，所以， 整理得：，即， 故或（舍），所以 17. 抛物线C：与直线：相切． （1）求抛物线C的方程． （2）设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线的方程与抛物线C的方程，利用判别式为0，求出p的值，从而可得答案； （2）设， 联立可得，利用韦达定理建立方程以及平面向量的数量积列式求解m的值即可. 【小问1详解】 联立，可得， 因为直线与相切， 所以， 抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 设， 联立可得， 设，可得 ∵，∴ 因为,，所以， 则， 所以 即 所以，即， 解得， ， 即. 18. 继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表： 训练营 A B C D E F G H 参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48 （1）若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值； （2）在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立． （i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率； （ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 【答案】（1）的分布列如下所示： 0 1 2 3 （2）（i）；（ii）6轮 【解析】 【分析】（1）由题意得到随机变量的可能取值，利用古典概率和组合数求出相应的概率，列出分布列，由公式可得期望； （2）（i）由二项分布的概率公式可得； （ii）由二项分布的期望公式计算可得. 【小问1详解】 由题意得，参与人数超过30人的共有5个，未超过30人的共有3个，则随机变量的可能取值为 ， . 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 则随机变量的均值为 【小问2详解】 （i）设甲学员单轮测试“优秀”的事件为， 则 （ii）设理论上至少需测试轮， 记甲学员在测试中获得“优秀”的次数为，则 则 又因为，所以的最小值是6. 所以理论上至少需要测试6轮. 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 当时，在R单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可对讨论，结合导函数的正负即可求解， （2）构造函数，求导，根据导函数的正负，求解函数的最值即可求解. 【小问1详解】 对函数求导：， ①当时，，所以在R单调递增； ②当时， 由可得：，由可得：， 所以在单调递减，在单调递增， 综上所述，当时，在R单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增； 【小问2详解】 令， 求导得：，， 令， 因，由， 可得（即）在上单调递增， 当时，在上恒成立， 故得在上单调递增，则， 即有，符合题意； 当时，， 令，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，又在上单调递增，且， 故，使得， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故，不符合题意； 综上所述，实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省定西市渭源县第三高级中学期末质量检测卷 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项. 1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第5项 5. 若随机变量X服从正态分布，，则（ ） A. 0.45 B. 0.55 C. 0.1 D. 0.9 6. 已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ） A. 线段是异面直线与的公垂线段 B. 异面直线与的距离为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为 B. 函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数 C. 曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是 D. 直线上的点到曲线距离的最小值为 11. 已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 增加两个样本点后的平均数为1.2 C. D. 在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2 三．填空题（本大题共3个小题，每题5分共15分） 12. 已知直线与曲线相切，则________. 13. 若为自然对数的底数，是定义在上的函数，且，则不等式的解集为__________. 14. 如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是________. 四、简答题：本大题共5小题，共77分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形． （ⅰ）求角A的取值范围； （ⅱ）设，求面积的取值范围． 16. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （1）证明：平面； （2）若，证明：平面； （3）若二面角的正弦值为，求的长. 17. 抛物线C：与直线：相切． （1）求抛物线C的方程． （2）设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 18. 继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表： 训练营 A B C D E F G H 参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48 （1）若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值； （2）在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立． （i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率； （ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $