【计算天天练】第5讲 有理数的概念 2025—2026学年苏科版数学七年级上册（江苏省适用）

第5讲 有理数的概念 ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第一课时：正数与负数 一、填空题 1.某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际 每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数 记为负数）： 则生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产 辆． 2.某种零件，标明要求是φ：20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直 径是19.99mm，该零件 （填“合格”或“不合格”）． 3.某食品包装盒上标有“净含量（365±5）g”，则这种食品的合格净含量x的范围是 ． 4.一批大米，每个包装袋上标有：（20±0.1）kg，则任意两袋大米最多相差 kg． 二、解答题 5.某公交车每月的支出费用为5000元，每月的乘车人数x与每月的利润（利润=收入费用-支出 费用）y（元）的变化关系如表所示（票价是固定不变的）： （1）请直接写出上表中m的值； （2）观察表中数据可知，每月的乘车人数达到 人时，该公交车才不会亏损； （3）当每月乘车人数为4000时，请你估计每月的利润为多少元． 6.如图，某快递员要从公司点A出发，前往B、C、D等地派发包裹，规定：向上向右走为正，向下 向左走为负，并且行走方向顺序为先左右再上下．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到 A记为：B→A（-1，-4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向， 请根据如图完成如下问题： （1）A→C（ ， ），B→D（ ， ），C→D（ ， ）； （2）若快递员的行走路线为A→B→C→D，请计算该快递员走过的路程； （3）若快递员从A处去某P处的行走路线依次为（+2，+2），（+1，-1），（-2，+3），（-1，-2）， 请在图中标出P的位置． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第二课时：有理数的分类 1.把下列各数填入相应的集合里： +5，−，4.2，0，-5.37，，-3． （1）自然数集合：{ …}； （2）整数集合：{ …}； （3）分数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}； 2.把下列各数填在相应的大括号里： 0，，3.14，，-5，28 （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）负数集合：{ …}； （4）正数集合：{ …}． 3.把下列各数填入相应的大括号里： -3，3.14，-0.1，80，-25%，0， （1）正数集合：{ …}； （2）整数集合：{ …}； （3）负数集合：{ …}； （4）正分数集合：{ …}． 4.将下列各数分别填在相应的集合里． -4，5，-0.7，，0，−，−，100，21，3． （1）正数集合{ …}； （2）负数集合{ …}； （3）整数集合{ …}； （4）分数集合{ …}． 5.把下列各数填入它所属于的集合的圈内： 15，，-5，，，0.1，-5.32，-80，123，2.333； ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第三课时：数轴 一、填空题 1.数轴上，距离点−0.5的距离等于2的点所对应的数是 2.如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示-1的点重合，将该圆沿数轴滚 动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是 3.如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的1个单位长度为2cm），若刻度尺上1cm和3cm分别对 应数轴上的1和0，则刻度尺上4.2cm对应数轴上的数为 4.一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位， 第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第100次落下时，落 点在数轴上表示的数是 5.如图，有一个高为5的圆柱体，现在它的底面圆周在数轴上滚动，在滚动前圆柱体底面圆周 上有一点A和数轴上表示-1的点重合，当圆柱体滚动一周时A点恰好落在了表示2的点的位置． 则这个圆柱体的侧面积是 6.如图1，在一条可以折叠的数轴．上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为-16和9， 现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点A1落在B的右边；如图2，再以点B为折点， 将数轴向左折叠，点A1对应的点A2落在B的左边．若A2、B之间的距离为3，则点C表示的 数为 7.已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上-1表示的点与7表示的点重合．若数轴上A、B两点 之间的距离为1016（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 二、解答题 8.邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续向西骑行2km到达B村，然后向东 骑行7km到达C村，再继续向东骑行3km到达D村，最后骑回邮局． （1）C村离A村有多远？ （2）邮递员一共骑行了多少千米？ 9.出租车司机小张某天下午的营运全在南北走向的大街上行驶．如果规定向北为正，向南为负， 这天下午行车里程如下（单位：km）： +5，+7，-15，+20，-16，+15，-8，-12． （1）将最后一名乘客送到目的地时，在出发点的哪个方向？距起始点的距离为多少千米？ （2）在行驶过程中，最远处距出发点有多远？ （3）若每千米的油费为2元，这天下午的总油费为多少元？ 10.数轴上的点A，B，C分别表示数-3，-1，2． （1）A、B两点间的距离AB= ；A、C两点间的距离AC= ． （2）若点E表示的数为x，且AE的长为5，则x表示的数是 ． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )11.已知：数轴上的点A、B分别表示-1和3.5． （1）在数轴上画出A、B两点； （2）若点C与点A距离4个单位长度，则点C表示的数是 ． （3）若折叠纸面，使数轴上-1表示的点与3表示的点重合，则10表示的点与数 表示的点重合． 12.如图，一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可 以看出，终点表示数-2．参照图，完成填空： 已知A，B是数轴上的点， （1）如果点A表示数-3，将A向右移动7个单位长度，那么终点表示数 ； （2）如果点A表示数3，将A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表 示数 ； （3）如果将点B向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0，那么点 B所表示的数是 ． 13.如图，在数轴上的点A、B、O、C、D分别表示-5、-1.5、0、2.5、5，回答下列问题： （1）B、C两点间的距离是多少？A、B两点间的距离是多少？ （2）若点M、N也在这条数轴上，且点M、N分别表示的数为m，n，则点M、N两点间的距 离是多少？ 14.在数轴上有两点A，B，并且A，B表示的数a，b分别是-6，18．现在P，Q都从A点出发 往B点停止，已知P点速度是4个单位长度/秒，Q点速度6个单位长度/秒，已知P出发1秒后， Q才出发． （1）若M点与Q点同时从A点出发，且M点速度是8个单位长度/秒，M出发追上P后再返 回与Q相遇就停止，它一共走了多远？ （2）在整个过程中，P，Q两点在Q点出发后多久相距一个单位长度？ ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第四课时：相反数与绝对值 一、填空题 1.若a，b互为相反数，则（a+b-1）2016= 2.在①+（+3）与-（-3）；②-（+3）与+（-3）；③+（+3）与-（+3）； ④+（-3）与-（-3）中，互为相反数的是 ．（填序号） 3.一个数的相反数是8，另一个数的相反数是-3，则这两个数的和为 4.已知-3＜y＜2，化简|y-2|+|y+3|= 5.x= ，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2013|有最小值，最小值是 ． 6.若|x-2|=2，则x-1= 二、解答题 7.若a+12与-8+b互为相反数，求a与b的和． 8.已知|x|+4=12，|y|+3=5： （1）求x，y的取值； （2）当x-y＜0，求2x+y的值． 9.有理数a、b、c的位置如图所示，化简式子：|b|+|a-c|+|b-c|-|a-b|． 10.已知|a|=4，|b|=5，b＜a，试求a，b的值． 11.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示-3和2两点之间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ． （2）如果|x+1|=3，那么x= ； （3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的 最大距离是 ，最小距离是 ． （4）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|= ． 第一课时：正数与负数 参考答案 1.解：根据题意得： 周一生产了99辆； 周二生产了103辆； 周三生产了98辆； 周四生产了104辆； 周五生产了107辆； 周六生产了95辆； 周日生产了90辆； 则生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产107-90=17（辆）． 故答案为：17． 2.解：由题意得，合格直径范围为：19.98mm～20.02mm， 若一个零件的直径是19.99mm，则该零件合格． 故答案为：合格． 3.解：根据题意净含量为（365±5）g， 即净含量的范围是（365-5）=360g到（365+5）g=370g． 故答案为：360g～370g 4.解：两袋大米的质量最多相差0.1-（-0.1）=0.1+0.1=0.2（kg）， 故答案为：0.2． 5.解：（1）在这个变化过程中，由表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元；∴m=-1000+1000=0； （2）根据表格可得：当每月乘客量达到2500人以上时，该公交车才不会亏损， 故答案为：2500； （3）由表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元， 当每月的乘车人数为2500人时，利润为0元， 故每月乘车人数为4000人时，每月的利润是×1000=3000（元）． 6.解：（1）A→C（+3，+4），B→D（+3，-2）；C→D（+1，-2） 故答案为：+3，+4；+3，-2；+1，-2； （2） 快递员按路线A→B→C→D行走的路程为：|+1|+|+4|+|+2|+0+|+1|+|-2|=1+4+2+0+1+2=10=10； （3）P的位置如图所示． 第二课时：有理数的分类 参考答案 1.解：自然数集合：{+5，0 …}； 整数集合：{+5，0，-3 …}． 分数集合：{−，4.2，-5.37，…}； 负有理数集合：{−，-5.37，-3 …}． 2.解：整数集合：{0，-5，28…}； 分数集合：{，3.14，…}； 负数集合：{，-5…}； 正数集合：{3.14，，28…}． 3.解：正数有：3.14，80，， 整数有：-3，80，0， 负数有：-3，-0.1，-25%， 正分数有：3.14，， 4.解：正数集合{ 5，，100，21，3……}； 负数集合{-4，-0.7，−，−……}； 整数集合{-4，5，0，100，21，3 ……}； 分数集合{-0.7，，−，−……}． 5.解：正整数集合{15，123}； 负整数集合{-5，-80}； 正分数集合，0.1，2.333}； 负分数集合{，，-5.32}． 第三课时：数轴 参考答案 1.解：①如果这个点在-0.5的右边，则-0.5+2=1.5； ②如果这个点在-0.5的左边，则-0.5-2=-2.5． 综上，这个数是1.5或-2.5． 故答案为：1.5或-2.5． 2.解：C圆=πd=π， 向右滚动：设B点坐标为x，x-（-1）=π， x=π-1， ∴B点表示的数为：π-1． 向左运动：-1-x=π， x=-π-1， ∴B点表示的数为：-π-1． ∴B点表示数为π-1或-π-1． 故答案为：π-1或-π-1． 3.解：刻度尺上1cm和3cm分别对应数轴上的1和0， （3-1）÷（1-0）=2， 则刻度尺上4.2cm对应数轴上的数为0-（4.2-3）÷2=-0.6． 故答案为：-0.6． 4.解：由题意可得， 第一次落点可以用1表示， 第二次落点可以用-1表示， 第三次落点可以用2表示， 第四次落点可以用-2表示， …则第100次落点可以用-50表示， 故答案为：-50． 5.解：依题意，圆柱体的周长为2-（-1）=3，高=5， ∴圆柱体的侧面积=底面周长×高=3×5=15． 故答案为：15． 6.解：设点C所表示的数为x， 则AC=x+16，BC=9-x， ∵A1B=3，B点表示的数为9， ∴点A1表示的数为9+3=12， 根据折叠得，AC=A1C， ∴x+16=12-x， 解得，x=-2， 故答案为：-2． 7.解：依题意得：两数是关于-1和7的中点对称， 即关于（-1+7）÷2=3对称， ∵A、B两点之间的距离为1016（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合， 则A、B关于3对称，1016÷2=508． ∴点A在表示3的点的左边508的单位长度， ∴点A表示的数为：3-508=-505． 故答案为：-505． 8.解：（1）如图所示，C村离A村有5km； （2）3+2+7+3+5=20km， 答：邮递员一共骑行了20千米． 9.解：（1）+5+（+7）+（-15）+（+20）+（-16）+（+15）+（-8）+（-12）=5+7-15+20-16+15-8-12=-4， ∴将最后一名乘客送到目的地时，在出发点的南边，距起始点的距离为4千米； （2）送第一名乘客后距出发点距离：|+5|=5， 送第二名乘客后距出发点：|+5+7|=12， 送第三名乘客后距出发点：|+5+7-15|=3， 送第四名乘客后距出发点：|+5+7-15+20|=17， 送第五名乘客后距出发点：|+5+7-15+20-16|=1， 送第六名乘客后距出发点：|+5+7-15+20-16+15|=16， 送第七名乘客后距出发点：|+5+7-15+20-16+15-8|=8， 送第八名乘客后距出发点：|+5+7-15+20-16+15-8-12|=4， ∴在行驶过程中，最远处距出发点有17千米； （3）（|+5|+|+7|+|-15|+|+20|+|-16|+|+15|+|-8|+|-12|）×2=98×2=196， ∴这天下午的总油费为196元． 答：（1）将最后一名乘客送到目的地时，在出发点的南边，距起始点的距离为4千米；（2）在行驶过程中，最远处距出发点有17千米；（3）这天下午的总油费为196元． 10.解：数轴上的点A，B，C分别表示数-3，-1，2，如图所示， （1）由数轴可知，AB=-1-（-3）=-1+3=2，AC=2-（-3）=2+3=5； 故答案为：2；5； （2）当点E在A点的右侧时，-3+5=2； 当点E在A点的左侧时，-3-5=-8； 故答案为：2或-8． 11.（1）如图： （2）点C在点A右侧时，点C表示的数为：-1+4=3， 当点C在点A左侧时，点C所表示的数为：-1-4=-5． （3）＝1，故纸面是沿着数字1进行折叠的，及数字1为中点， ∴=1， 解得x=-8． ∴10表示的点与数-8表示的点重合． 12.解：（1）-3+7=4； （2）3-7+5=1； （3）设点B表示的数是x， 由题意得，x+3-5=0， 解得x=2． 故答案为：4；1；2． 13.解：（1）∵在数轴上的点A、B、O、C、D分别表示-5、-1.5、0、2.5、5， ∴B、C两点间距离是：2.5-（-1.5）=4，A、B两点间的距离是：-1.5-（-5）=3.5． （2）两点的距离与这两点所对应的数的差的关系是：两点间的距离等于这两个数差的绝对值． 所以点M、N两点间的距离是：|n-m|． 14.（1）4÷（8-4）=1，（8-6）÷（8+6）= 8×(1+)＝； （2）设Q点出发t秒后，与P点相距1个单位，则P点运动的时间为t+1秒， ①P在Q点的右边时，AP-AQ=1， 4×（t+1）-6t=1， 解得t=， ②P在Q点的左边时，AQ-AP=1， 6t-4（t+1）=1， 解得t=． ∴当Q点出发秒或秒时，PQ相距1个单位． 第四课时：相反数与绝对值 参考答案 1.解：∵a，b互为相反数， ∴a+b=0， 则（a+b-1）2016=（-1）2016=1． 故答案为：1． 2.解：①+（+3）=3，-（-3）=3；：故+（+3）与-（-3）不是相反数； ②-（+3）=-3，+（-3）=-3，故-（+3）与+（-3）不是相反数； ③+（+3）=3，-（+3）=-3，故+（+3）与-（+3）是相反数； ④+（-3）=-3，-（-3）=3，故+（-3）与-（-3）是相反数，互为相反数的是③④， 故答案为：③④． 3.解：∵一个数的相反数是8， ∴这个数是-8， ∵另一个数的相反数是-3， ∴另一个数是3， ∴这两个数的和为：-8+3=-5． 故答案为：-5． 4.解：∵-3＜y＜2， ∴|y-2|+|y+3|=2-y+y+3=5． 故答案为：5． 5.解：由绝对值的几何意义可知，就是要在数轴上求一点x，使它到1、2、3…2013这2013个点的距离和最小，所以当x==1007时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2013|| =1006+1005+1004+…+1+0+1+2+…+1006 =1006×1007 =1013042， 故此时有最小值，最小值是1013042． 故答案为：1007，1013042． 6.解：∵|x-2|=2， ∴x-2=+2，或x-2=-2， ∴x=4或x=0， 当x=4时，x-1=4-1=3， 当x=0时，x-1=0-1=-1． 故答案为：3或-1． 7.解：∵a+12与-8+b互为相反数， ∴a+12-8+b=0， 则a+b=-4． 8.解：（1）∵|x|+4=12，|y|+3=5， ∴|x|=8，|y|=2， ∴x=±8；y=±2； （2）∵x-y＜0， ∴x=-8，y=2或x=-8，y=-2， 当x=-8，y=2时，2x+y=2×（-8）+2=-14； 当x=-8，y=-2时，2x+y=2×（-8）+（-2）=-18； 即2x+y的值为-14或-18． 9.解：由数轴可得：b＞0，a-c＜0，b-c＞0，a-b＜0， 故：|b|+|a-c|+|b-c|-|a-b|=b+c-a+b-c-（b-a）=b． 10.解：∵|a|=4， ∴a=±4， ∵|b|=5， ∴b=±5， ∵b＜a， ∴a=±4，b=-5． 11.解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4-1=3； 表示-3和2两点之间的距离是：2-（-3）=5， 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|， 故答案为：3，5，|m-n|； （2）|x+1|=3， x+1=3或x+1=-3， x=2或x=-4． 故答案为：2或-4； （3）∵|a-3|=2，|b+2|=1， ∴a=5或1，b=-1或b=-3， 当a=5，b=-3时，则A、B两点间的最大距离是8， 当a=1，b=-1时，则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2； 故答案为：8，2； （4）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，|a+4|+|a-2|=（a+4）+（2-a）=6． 故答案为：6． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$