精品解析： 陕西省榆林市绥德县绥德中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中学业水平测试 九年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 下面方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是，那么（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于x的方程的解，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 一个不透明的布袋中装有黄色和白色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其他都相同．小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右，由此估计布袋中黄色乒乓球有（　　） A. 4个 B. 8个 C. 10个 D. 14个 5. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 九（1）班有50名学生，其中有20人报了美术班，从该班随机选一名学生，这名学生报美术班的概率是______． 10. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则_______． 11. 如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则_______． 12. 为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为_______米． 13. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 16. 把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 17. 如图，在中，，点为边的中点，连接，点为的中点．若，，求边的长． 18. 仙毫茶为一芽一口叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 19. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． （1）若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 20. 如图，点，，分别是边，，上的点，已知，，，，求的长． 21. 如图，为正方形对角线的中点，延长至点，连接，，为等边三角形．若，求的长度． 22. 陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像（）的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的C处（）看雕像的顶端E的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点B，C，F在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 23. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 如图，在中，点，分别是边，上的中点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 26. 如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中学业水平测试 九年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 下面方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程．据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； B、是一元二次方程，本选项符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、是一元一次方程，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知是，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据可得，，代入求值即可． 【详解】解：， ，， ， 故选：D． 3. 若是关于x的方程的解，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．把代入方程，把问题转化为关于a的方程求解． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴． 故选：A． 4. 一个不透明的布袋中装有黄色和白色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其他都相同．小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右，由此估计布袋中黄色乒乓球有（　　） A. 4个 B. 8个 C. 10个 D. 14个 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用了利用频率估计概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可求解． 【详解】解：∵小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右， ∴黄色乒乓球的概率为0.4， ∴（个）， 答：估计盒子中黄色乒乓球的个数有8个， 故选：B． 5. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零且结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即且， 故选：D． 7. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．连接，，由正方形的性质得出是直角三角形，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵和都是正方形， ∴，，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 九（1）班有50名学生，其中有20人报了美术班，从该班随机选一名学生，这名学生报美术班的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等可能事件的概率．根据等可能事件求概率的公式计算：如果一个事件中有种等可能结果，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率是． 【详解】解：名学生中有人报了美术班， 从该班随机选一名学生，这名学生报美术班的概率是． 故答案为：． 10. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解答． 根据平行线分线段成比例定理得到，然后代入数据即可求出的值． 【详解】解：直线， ，即， ， 故答案为：． 11. 如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的额关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可推出，得到，再根据三角形的内角和定理可得，结合，推出，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 12. 为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为_______米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 整理，得． 解得（舍去），． 所以，该正方形空地的边长为15米， 故答案为：15． 13. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用配方法求解即可． 【详解】解： 移项，得：． 配方，得：， 即． 开方，得：， 即，或． 所以． 15. 如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，解题关键是将、、代入求解． 将、、代入，其中，解分式方程即可得到答案． 【详解】解：，，，， 又， ， 解得， 经检验是原方程的解． 的长为． 16. 把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 17. 如图，在中，，点为边的中点，连接，点为的中点．若，，求边的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质、中点的定义．首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据勾股定理可得，根据中点的定义可知． 【详解】解：在中，，点为的中点， ， ， 又， 在中，， 点为边的中点， ． 18. 仙毫茶为一芽一口叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 【答案】小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为，根据“第一天签了100单，第三天签了169单，连续三天签单数量的增长率相同，”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为， 由题意，得， 解得：，（不合题意，舍去） 故小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 19. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． （1）若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及被选到的2位老师是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种， ∴从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8种， ∴被选到的2位老师是一男一女的概率为． 20. 如图，点，，分别是边，，上的点，已知，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 答：的长为． 21. 如图，为正方形对角线的中点，延长至点，连接，，为等边三角形．若，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质．先由正方形的性质，得，，结合勾股定理得，运用等边三角形的性质得，，则根据勾股定理列式计算得即可． 【详解】解：四边形为正方形，， ，， 在中，， 为正方形对角线的中点，为等边三角形， ，，， ， 的长度为． 22. 陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像（）的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的C处（）看雕像的顶端E的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点B，C，F在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，由题意，得，，，所以四边形是矩形，四边形是矩形，根据矩形的性质得，，，证明得，即，解出的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，即， 解得， ， 答：雕像的高度为． 23. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为，宽为； （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【小问1详解】 解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． 【小问2详解】 略 24. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； （2）3 【解析】 【分析】（1）因为四边形是平行四边形，可知，，又因为，，可知，可求证； （2）因为，可知，因为是直角三角形，由勾股定理可知即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， 由（1），知； ， 即， ∵，， ． 在中，，，， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的相关性质以及直角三角形勾股定理应用是解题的关键． 25. 如图，在中，点，分别是边，上的中点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，，， 在中，点是的中点， 在中，点是的中点， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半结合平行四边形的性质即可证明； （2）如图，连接，交于点，利用勾股定理求出，由（1）知四边形是菱形，证明是的中位线，求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点， 在中，，，， 由（1）知四边形是菱形， ，，. 是的中点， 是的中位线， ， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的证明与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线，勾股定理，熟练菱形的判定定理是解题的关键． 26. 如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）连接，求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （2） （3） 证明：如图，连接，分别延长，交于点， ∵， ，． 在和中，， ， ， ，是的中点， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可证、，根据平行线的性质可证，根据垂直平的性质可证，根据有两个角对应相等的三角形的两相似，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； （2）设，则，，利用勾股定理可得，因为，所以可得，所以可得，根据，可得关于的方程，解方程求出的值，根据矩形的性质即可求出的长； （3）连接，分别延长，交于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，点为的中点， ． ， ， 设，则，， ， 由（1）知， ，即， ， ，且， ， 解得：， ， 的长是； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据矩形的性质找到相等的角和边，从而证明三角形相似或全等，利用相似三角形或全等三角形的性质证明结论成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $