微专题--著名的不等式应用问题归纳练-2026届高三数学一轮复习

微专题--著名的不等式应用问题 一、单选题 1．设是的一个排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 3．若，且，则的值是 A． B． C．1 D． 4．在中，的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 5．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 6．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 7．已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 8．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A． B． C．3 D．2 二、填空题 10．已知正实数，满足，则的最小值是 ． 11．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 12．已知正实数、且满足，求的最小值 . 13．已知，且，则的最小值为 . 14．设，，若，则的最大值为 . 三、解答题 15．若均为锐角，且满足.求证:. 16．已知函数，的最小值为，且正实数满足，证明：. 17．已知. (1)解不等式； (2)若为的最小值，设，求的最小值. 18．已知，，求的最值? 19．若，则有 (1)； (2)． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C A D D B B D B A 1．C 由排序不等式可得答案 因为是的一个排列， 由排序不等式得， ， ∴的取值范围是 故选：C. 2．A 根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 3．D 由柯西不等式， 由取等条件知. 4．D 运用琴生不等式计算即可. 因为在区间上是凸函数，根据琴生不等式可得， ， 得， 当且仅当时等号成立， 即的最大值是. 故选：D 5．B 直接利用柯西不等式得到答案. 根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立. 故选：B. 本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力. 6．B 将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 7．D 利用柯西不等式即可得解. ，， ， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为. 故选：D. 8．B 首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与的关系，然后对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可. 设直线与曲线相切的切点为， 由得，则，即， 则，得， 所以，代入得， 因为，所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立. 故选：B. 9．A 试题分析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设，椭圆和双曲线的离心率分别为 由余弦定理可得，① 在椭圆中，①化简为即即 在双曲线中，①化简为即即③ 联立②③得， 由柯西不等式得即 即，当且仅当时取等号，故选A 10． 根据给定条件，利用配凑法及基本不等式“1”的妙用求解即得. 正实数，满足， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 11．/ 利用不等式构造定值求解即可. 解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 故答案为： 12． 设，，，由权方和不等式计算可得. 设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 13． 由题意变形为，再变形为，展开后利用基本不等式求最值. 当时等号成立， 且 ，变形为 ， ， ，. 故答案为： 14． 根据数量积的坐标表示，利用柯西不等式，再分别研究等号成立的条件，可得答案. ，，， 由柯西不等式的向量形式可得， 即，解得，当且仅当， 即时，*式中右边等号成立， 或时，*式中左边等号成立， ∴当，时，的最大值为. 15．证明见解析 如图，设为长方体的3条棱长， 其对角线与面，面，面所成角分别为， 则，且 则 ，， 因，等号成立时， 则，等号成立时， 故 . 当且仅当，即 时取等号. 16．证明见解析 根据已知条件，先求出，再结合柯西不等式，即可求解. 当时，由， 当时，由， 当时，由. 则， 当时，；当时，； 当时，. 所以当时，，. 因为，所以. 由柯西不等式可得. 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 17．(1) (2) （1）因为，由，得到，即， 当时，原不等式等价于，得到， 当时，原不等式等价于，得到， 当时，原不等式等价于，得到， 综上，不等式的解集为. （2）因为， 所以，得到， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 18．最大值为，最小值为. 由柯西不等式求解即可. 解：由柯西不等式可得 . 所以. 于是的最大值为，最小值为. 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 用函数的凹凸性以及琴生不等式进行运算从而得证. （1）由是凹函数，应用琴生不等式可得： 即,得证. （2）应用琴生不等式可得： , 而， 则 . 即,得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$