山东省青岛市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024一2025学年度第二学期期末考试 高二数学试题 2025.07 本试题卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准制 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题容案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,0,l,3},B={x|x2I},则A∩B= A.0 B.{3) C.L,33 D.{0,1,3} 2.函数f(x)=V血x的定义域为 A.(0,+o) B.[0,+o) C.(1,+o) D.[l,+o) 3.二项式(1+x)'展开式的第3项的系数为 A.21 B.35 C.42 D.70 4,为调查某医院一段时间内屡儿出生的时间和性别的关联性，得到如下2×2列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 男 30 总计 40 90 则X2的值最接近（附：X2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)" n=a+b+c+d) A.18 B.11 C.8 D.6 5.设a=月，b=,c=月，则ab,c的大小关系正确的是 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 6.已知随机变量X~B(6P),随机变量Y=2X+1,且E()=5,则p= 1 B. c.3 3 D. 4 高二数学试题第1页（共4页） 7,已知a>b>l,若o8,b+8,a=月，则产 的最小值为 b A,1 B.2 C,3 D,4 .已知变量xy线性相关，我-组样木数报(，yX1=1,2)满足2x=30,用最小二系法得 到的经验回归方程为y=x-1,若增加一个数据(-2,4)后，得到新的经验回归方程y=2x+ā， 则此时数据(3,4)的残差为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量X~N(2,σ)，若P(X≤0)=0.I,则 A,P(X≤2)=0.5 B.P(X≤4)=0.9 C.P(2≤X≤4)=0.3 D.D(2X+2)=4o2 10.某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅， 3 那么第2天去A餐厅的概率为兮；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为了，则 A、他第2天去A餐厅的概率为 10 3,他连续两天都去A餐厅的概率为 。他连续两天都不去4餐厅的概率为】 第2天去A餐厅，则他第1天去A餐厅的 1.已知函数f)的定义域为R,若fx+)+f)0)=4河，f兮≠0，则 A.f2=0 B.fx-月)为偶函数 c.f9=-2 D.f心+宁为减函数 高二数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.已知关于x的不等式x2-x+3>0的解集为(》，则a= log(x-1),x>1, 13,若函数f(x)=0, x=1则（宁= f2…x),x<l 14.函数了是定义在R上的奇通数，设函数g的=K-+②的最大值为M,敬小值为 x2+1 m,则M+m= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=x(x-a)}. (1)若a=1,求曲线y=∫(x)在点(0，∫(O)处的切线方程； (2)若x=2是∫(x)的极值点但不是零点，求∫(x)的单调区闻. 16.(15分) 某企业调研后，得到研发投入x(万元)与产品收益y(万元)的数据如下： 12 3 4 y 912 17 2126 (1)若y与x线性相关，请根据样本相关系数？推断它们的相关程度； (若0.3rk0.75,则相关程度-一般；若1r20.75,则相关程度很强) (2)求出y关于x的经验回归方程y=bx+Q,并预测当研发投入6万元时的产品收益. 参考数据：V1860≈43.1 2x-x0-列 2x-0-刃 参考公式： a=-标 (-∑y-列 17.(15分) 已知函数f(x)=hx+x2-l,g(x)=e-ar-a3. (1)求(x)的零点； (2)若g(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 高二数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 系统中每个元件正常工作的概率均为(0<p<),各个元件正常工作的事件相互独立，如 果系统中多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作，记P表示“系统中共有k(k∈N”)个元 件时，系统正常工作的概率”， (D若p=2求B; 2 (2②）若户=了，系统中共有3个元件，记系统中正常工作的元件数与非正常工作的元作数之差 为X,求X的均值； 《O)若p>7meN,证明：B>R 19.(7分) 已知函数y=f(x)的图象在定义域R上连续不断，(-x)=∫(x,(x)+(2-x)=0, f(x)在区间0,2]上单调递诚，(x)是(x)的导数. (1)证明：∫(x)是周期函数； (2)给定1∈(0,2)，设a∈R,证明：存在k∈[a-(,a+t),使得f(k)≤f(); 8)若/网-u+0<5/ 2 设函数F(x)=3f(x)-f3x)· (i)求F(x)的最大值； (ⅱ)若存在0eR,使得3∫(x)-(3x+)≤b对女∈R恒成立，求实数b的最小值. 高二数学试题第4页（共4页）2024-2025学年度第二学期期末学业水平检测高二数学评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1-8:CDAB CADD 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.ABD 10.AD 11.ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.-2; 13.-1; 14.2. 四、解容题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)因为f(x)=x(x-1)2,所以f'(x)=(x-I)2+2x(x-1)=(x-1)3x-)…2分 所以(0)=1，又因为f(0)=0,…4分 故所求切线方程为y=x… …6分 (2)因为f'(x)=(x-a）}2+2x(x-a）)=(x-a)3x-a）…8分 若a=2,则x=2是f(x)的零点，不合题意…9分 若号=2，则a=6, 此时，f(x)=x(x-6)2,f(2)=32≠0，f'(x)=3(x-6)(x-2)… 10分 令f'(x)=0,解得x=2或x=6…11分 当x变化时，f"'(x)和f(x)的变化情况如表所示： x (-0,2) 2 (2,6) 6 (6,+0) f'(x) × 0 0 + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 所以，∫(x)的单调递增区间为(-0,2)，(6，+0)，单调减区间为(2,6)…13分 16.(15分) 解：(1)由题意，根据表格中的数据， 可得：元=亏1+2+3+4+5)=3，了=写9+12+17+21+26)=17，…2分 则∑（6-不0y,-习=0-39-17)++(5-3(26-17)=43，…4分 --=0x16481 ……6分 ∑：-x0y-列 43 所以r ≈0.998>0.75… ·7分 43.1 -0-列 可以推断变量y与x的相关程度很强…… …8分 (2)由(1)可得x=3=17,∑（化-x0y-)=43, 高二数学答案第1页（共4页） 又由2年-=0-3+2-+6-3+4-3+6-3=10,0分 2x-0y-列 所以6= 48=43,则a=可-版=17-43x3=4.113分 ∑s- 1 可得y关于x的经验回归方程为少=4.3x+4.1……14分 令x=6,可得少=4.3×6+4.1=29.9， 即预测研发投入6万元时，产品收益是29.9万元… 15分 17.(15分) 解：（(1)f(x)的定义域为(0，+0)，… …1分 因为f(x)=二+2x>0,所以f()在区间(0，+D)上单调递增，…3分 又因为f(）=0,…5分 所以求f(x)的零点为X=1… …6分 (2)因为g(x)=-a…7分 当a≤0时，则g'(x)之0，g(x)无极小值…9分 当a>0时，则g'(x)=0,解得x=lna…10分 所以g(x)在区间(-o,lna)上有单调递减，在区间(lna,+o)上单调递增， 所以g(x)的极小值点为x=lha… …12分 所以g(na）=a-alna-a3<0…13分 即lna+a2-1>0… 14分 由(1)知：f(a)=lna+a2-1,且f(a)在区间(0，+oo)上单调递增，f)=0 所以☑>1……15分 18.(17分) 解：()因为k=4,P=2 所以B=Cp0-p+cp-p=C+c(分- …4分 (2)(解法)记正常工作的元件个数为Y,则Y~B(3,)； …6分 所以E=切=3×名=2， 3 ………7分 又因为X=Y-(3-Y)=2Y-3,… …9分 所以X的均值E(X)=E(2Y-3)=2E(Y)-3=1……11分 (解法2)X可能的取值为3,1，-1，-3， …5分 6分 14 PX=)=Cp0-p)=3×(×3= …7分 39 高二数学答案第2页（共4页） Px=-)=C0-p)}=3x2x白 …8分 3 Px=-3)=C1-p)3=(3= 444“44445544“4+*+4…44“44…4小中：9分 27 所以X的分布列为： X 3 1 -1 -3 P P 4 2 9 9 27 所以X的均值E(X)=3x8 9 927 ……11分 3)令g=1-p<2' 1 所以Pm4=Cpg"·p2+Cpgm-0-q2)+(亿m1-Cpg)…14分 所以Pw1=B4-C-p"qm+C2pm+q”, 所以Bm1-Bm4=C2-pq"(p-q)>0 所以m1>m-,…17分 注解： P=Capgp+Cp-)CpCpC) =Cmpm-q…p2+C2ap"qm-I-q2)+(伦m1-Cq-) 19.(17分) 解：(1)由题知：f(-x)=f(x),f(x)+f(2-x)=0, 所以f(x)=-f(2-x）=-f(x-2)…2分 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)…4分 所以f(x)是以4为周期的周期函数…… …5分 (2)因为f(x)是周期为4的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,0)中心对称， 先看f(x)在一个周期[-2,2]上的情况： 水 [-2,0] [0,2] f(x) 单调递增 单调递减 所以f(2)为f(x)的最小值 根据周期性，不妨设a∈[-2,2]，显然区间[a-t,a+小长度为21<4，…7分 若a=0,则f(x)在区间[-t,0]上单调递增，在区间0，小上单调递减， 所以取k=士1，有f(k)≤()…8分 若ae(0,2],则0<1<a+1<4, 当a-1<2<a+1时，f(x)在区间[t,2]上单调递减，所以取k=2,有f(k)≤f(t) 当a-t<a+1≤2时，f(x)在区间[L,a+]上单调递减，所以取k=a+t,有f(k)≤f(t) 同理可证，a∈[-2,0)时，存在k∈[a-t,a+],使得f(k)≤f), 综上，对a∈R,存在k∈[a-1,a+小，使得f(k)≤f)…10分 (3)（i)因为F(x+4)=3f(x+4)-f(3x+12)=3f(x)-f(3x)=F(x), 且F(-x)=3f(-x)-f(-3x)=3f(x)-f(3x)=F(x), 所以F(x)是周期为4的偶函数，不妨设x∈[0,2]，…11分 高二数学答案第3页（共4页） 因为Fe=3f)-/Bxr=/x+-f6x+1, 令F'(x)=0,则f(x+I)=f(3x+1),又因为x+1∈[l,3,3x+1∈[l,7刀， 所以3x+1=x+1+4k,k∈Z或3x+1=(x+I)+4k,k∈Z; 即x=2k,keZ或x=k-2keZ, 解得：=0或x=或x=号或x=2 …12分 因为f0)+f(2-1)=0,得f=0,f0)>0,f2)<0, 又因为F(2)=2f(2)-f(6)=3f(2)-f(2)=2f(2)<0, F(0)=3f(0)-f(0)=2f(0)>0, F孕=3f3-f3=4f3<0, F=3/-f3=4/=25>2f0=F0, 所以F(x)的最大值为22…13分 (i）当0=0时，由(i)知：F(x)mx=2W2,所以b=22… 15分 当0≠0时，下面证明总存在x,使得3f(x)-f3x+)≥2V2成立， 不妨设x∈[-p,p](3p∈(0,2)，则3x+0∈[0-30,8+3p], 因为f(x)在区间[一p,0]上单调递增，在[0，p]上单调递减，所以f(x)≥f(p)恒成立 由(2)知：存在3x+0∈[0-30,0+3p使得f(3x+0)≤f(3p), 所以3x∈[-p,p],有3f(x)-f(3x+)≥3f(p)-f(3p)成立 由(i)知：当p=2时，3f(o)-3p)=25, 所以总存在x,使得3f(x)-f(3x+)≥2N2,所以b22W2 ……16分 综上，b的最小值为2√2…17分 高二数学答案第4页（共4页）