专题强化4 平衡中的临界与极值问题 讲义 -2025届高考物理一轮复习备考

专题强化4　平衡中的临界与极值问题 学习目标　 会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。 【专题解读】 1.临界、极值问题特征 (1)临界问题:当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 常见的临界状态有: ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 (2)极值问题:平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 2.解决临界和极值问题的三种方法 极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析 法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 物理 分析 法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 【典例剖析】 例1 (2025·山东临沂模拟)如图所示，半径均为R的光滑球和不光滑的半球由同种材料制成的，球和半球放置在竖直墙壁的左侧。当半球的球心到竖直墙壁的距离大于2.2R时，半球将向左滑动。当半球球心到墙壁的距离为L时，即使给球体向下沿通过球心的竖直方向施加的力再大，半球和球始终保持静止，则L的最大值为(　　) A.R B.R C.R D.R 例2 如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　) A. B. C. D. 【强化训练】 1.(2024·浙江金华模拟)如图所示，甲、乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧靠着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为(　　) A. B. C. D. 2 .(2025·重庆高三期末)如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点可施加外力F，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.AC绳的拉力为mg B.CD绳的拉力为mg C.外力F的最小值为mg D.外力F的最小值为mg 3 .如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　) A. B. C. D. 答案　D 4 .如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是(　　) A.轻绳的合拉力大小为 B.轻绳的合拉力大小为 C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小 D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 5. （河北省“五个一”名校联盟高三年级第二次联考）如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距为2L。现在C点上悬挂一重物，为使CD绳保持水平，在D点上施加的最小力的方向（　　） A. 水平向右 B. 与水平方向的夹角为60° C. 与水平方向的夹角为30° D. 竖直向下 6. （河北名校联考普通高中2025届高三年级适应性演练）如图所示，力拉着质量为的物体沿倾角为的斜面向上匀速运动。物体与斜面之间的动摩擦因数，重力加速度为。下列说法中正确的是（　　） A 若水平向右，则 B. 若沿斜面向上，则 C. 的最小值为 D. 力与斜面成角斜向上时，最小 7. ( 2025年5月山西青桐鸣大联考) 如图所示，截面为半圆的柱体放在粗糙水平面上，一根轻绳一端固定在柱体上的A点，给绳另一端施加一个斜向左上的拉力，拉力与竖直方向的夹角为，使柱体刚好要滑动，已知柱体的质量为m，柱体与水平面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，，则作用在绳上端的拉力大小为（ ） A. B. C. D. 8. （山东省临沂2025年普通高中学业水平等级测评试题三模）如图所示，甲、乙两圆柱体的横截面分别为半径相等的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直挡板，乙的平面部分与水平面接触。若乙的质量是甲的2倍，两柱体的曲面部分和挡板均光滑，开始时两圆柱体截面的圆心连线沿竖直方向。现将挡板缓慢向右移动，直到圆柱体甲刚要落至水平面为止，整个过程中半圆柱体乙始终保持静止，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则乙与水平面间的动摩擦因数不能小于（　　） A. B. C. D. 9. （2024福建漳州第二次质检） 如图，斜面体M放置在水平地面上，一物块m恰好静止在斜面体上。现对物块施加一水平向右的恒力F，物块与斜面体相对地面仍处于静止状态，则（ ） A. 斜面体对物块摩擦力一定增大 B. 斜面体对物块的支持力可能不变 C. 地面对斜面体的支持力保持不变 D. 地面对斜面体的摩擦力可能减小 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化4　平衡中的临界与极值问题 学习目标　 会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。 【专题解读】 1.临界、极值问题特征 (1)临界问题:当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 常见的临界状态有: ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 (2)极值问题:平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 2.解决临界和极值问题的三种方法 极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析 法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 物理 分析 法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 【典例剖析】 例1 (2025·山东临沂模拟)如图所示，半径均为R的光滑球和不光滑的半球由同种材料制成的，球和半球放置在竖直墙壁的左侧。当半球的球心到竖直墙壁的距离大于2.2R时，半球将向左滑动。当半球球心到墙壁的距离为L时，即使给球体向下沿通过球心的竖直方向施加的力再大，半球和球始终保持静止，则L的最大值为(　　) A.R B.R C.R D.R 答案　D 解析　设半球质量为m，则光滑球质量为2m，对光滑球和不光滑的半球受力分析，如图所示，当半球的球心到竖直墙壁的距离为2.2R时，由几何关系，有sin θ＝＝0.6，对整体，根据平衡条件可得Ff＝FN2＝2mgtan θ，FN3＝mg＋2mg，又Ff＝μFN3，联立解得μ＝0.5。给球体向下沿通过球心的竖直方向施加力，半球和球始终保持静止，需要满足(F＋2mg)tan α≤μ(mg＋F＋2mg)，即tan α≤μ，当半球球心到墙壁的距离为最大值L时，有tan α＝μ，由几何关系，有L＝2Rsin α＋R，联立解得L＝R，故D正确。 例2 如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题述，物块A、B刚要滑动，可知A、B之间的摩擦力和B与木板间的摩擦力均达到最大静摩擦力，隔离A分析受力，由平衡条件可得F＝FfAB＋mgsin 45°，FNA＝mgcos 45°，FfAB＝μFNA，对A、B整体，由平衡条件可得2F＝3mgsin 45°－Ff，FN＝3mgcos 45°，Ff＝μFN，联立解得μ＝，选项C正确。 【强化训练】 1.(2024·浙江金华模拟)如图所示，甲、乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧靠着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　只要摩擦力最大时刚好不滑动，此时对应的动摩擦因数最小。对整体分析有FN＝2mg，Ff＝F板，设O1O2与水平面的夹角为θ，对甲受力分析，由平衡条件得F板＝，联立解得Ff＝，可知θ越小，Ff越大，由几何关系得，θ最小为30°，则Ff＝＝μFN＝μ·2mg，解得μ＝，故A正确。 2 .(2025·重庆高三期末)如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点可施加外力F，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.AC绳的拉力为mg B.CD绳的拉力为mg C.外力F的最小值为mg D.外力F的最小值为mg 答案　D 解析　令AC绳与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系有sin θ＝，解得θ＝30°，对C点与重物进行受力分析，如图甲所示，根据平衡条件有TACcos θ＝mg，TACsin θ＝TCD，解得TAC＝mg，TCD＝mg，故A、B错误;对D点进行受力分析，作出矢量动态三角形如图乙所示，可知，当外力F方向与绳BD垂直时，外力F最小，则有Fmin＝TCDcos θ＝mg，故C错误，D正确。 3 .如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　对光滑球体受力分析如图甲所示，根据平衡条件可得FN2cos θ＝mg，对支架受力分析如图乙所示，根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，Ff＝FN3sin θ，又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4，联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故D正确。 4 .如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是(　　) A.轻绳的合拉力大小为 B.轻绳的合拉力大小为 C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小 D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 答案　B 解析　设轻绳的合拉力为FT，地面对石墩的支持力为FN，对石墩受力分析，由平衡条件可知FTcos θ＝Ff，Ff＝μFN，FTsin θ＋FN＝mg，联立解得FT＝，A错误，B正确;轻绳的合拉力大小为FT＝，可知当θ＋φ＝90°时，轻绳的合拉力有最小值，则减小夹角θ，轻绳的合拉力不一定减小，C错误;摩擦力大小为Ff＝FTcos θ＝，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D错误。 5. （河北省“五个一”名校联盟高三年级第二次联考）如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距为2L。现在C点上悬挂一重物，为使CD绳保持水平，在D点上施加的最小力的方向（　　） A. 水平向右 B. 与水平方向的夹角为60° C. 与水平方向的夹角为30° D. 竖直向下 【答案】C 【解析】要使CD水平，各轻绳均应绷紧，则AC与水平方向的夹角锐角为。设结点C受力平衡，受力分析如图所示， D点受轻绳的拉力大小等于，方向向左。要使CD水平，D点两轻绳的拉力与外界的力的合力应为零，则轻绳对D点的拉力可分解为沿BD绳的及另一分力，由几何关系可知，当力与BD垂直时，最小，施加的外力与反向，此时与水平方向的夹角为。故选D。 6. （河北名校联考普通高中2025届高三年级适应性演练）如图所示，力拉着质量为的物体沿倾角为的斜面向上匀速运动。物体与斜面之间的动摩擦因数，重力加速度为。下列说法中正确的是（　　） A 若水平向右，则 B. 若沿斜面向上，则 C. 的最小值为 D. 力与斜面成角斜向上时，最小 【答案】D 【解析】．若水平向右，对物体，由平衡条件有 代入题中数据，解得，故A错误； B．若沿斜面向上，对物体，由平衡条件有 故B错误； 力与斜面成角斜向上时，F有最小值，由平衡条件有 整理得 可知时，F有最小值，且最小值 故C错误，D正确。 7. ( 2025年5月山西青桐鸣大联考) 如图所示，截面为半圆的柱体放在粗糙水平面上，一根轻绳一端固定在柱体上的A点，给绳另一端施加一个斜向左上的拉力，拉力与竖直方向的夹角为，使柱体刚好要滑动，已知柱体的质量为m，柱体与水平面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，，则作用在绳上端的拉力大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设绳的拉力大小为F，根据受力平衡，有 解得。故选B。 8. （山东省临沂2025年普通高中学业水平等级测评试题三模）如图所示，甲、乙两圆柱体的横截面分别为半径相等的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直挡板，乙的平面部分与水平面接触。若乙的质量是甲的2倍，两柱体的曲面部分和挡板均光滑，开始时两圆柱体截面的圆心连线沿竖直方向。现将挡板缓慢向右移动，直到圆柱体甲刚要落至水平面为止，整个过程中半圆柱体乙始终保持静止，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则乙与水平面间的动摩擦因数不能小于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】．分析可知，当摩擦力最大时半圆柱乙刚好不动，此时对应的动摩擦因数最小，且刚好达到最大静摩擦力，设甲质量为m，地面对乙的支持力、摩擦力分别为、f，挡板给甲的力为，整体分析可知有， 设连线与水平方向夹角为，对甲，由平衡条件得 故可得 可知越小，f越大，几何关系可知，最小为，又因为 联立解得动摩擦因数的最小值，故选B。 9. （2024福建漳州第二次质检） 如图，斜面体M放置在水平地面上，一物块m恰好静止在斜面体上。现对物块施加一水平向右的恒力F，物块与斜面体相对地面仍处于静止状态，则（ ） A. 斜面体对物块摩擦力一定增大 B. 斜面体对物块的支持力可能不变 C. 地面对斜面体的支持力保持不变 D. 地面对斜面体的摩擦力可能减小 【参考答案】C 【名师解析】施加恒力前，物块恰好静止，则摩擦力沿斜面向上 施加恒力F后系统依然静止，物块所受合力为零，若F较小，物体相对斜面仍有下滑趋势，则静摩擦力仍向上，根据 此时斜面体对物块的静摩擦力小于施加F作用前的摩擦力，故A错误； B．对物块受力分析，将恒力F沿斜面及垂直于斜面方向分解，可知 根据牛顿第三定律可知，斜面体对物块的支持力变大，故B错误； C．对斜面体和物块整体分析可知，地面对斜面体的支持力始终为，故C正确； D．斜面体最初静止，地面对斜面体的摩擦力为零，施加一个水平向右的恒力F后，地面对斜面体的摩擦力与F等大反向，则地面对斜面体的摩擦力增大，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$