第五讲 除得尽吗（循环小数）暑期预习衔接（讲义）-2025-2026学年五年级数学上册北师大版

编写说明 随着2025-2026学年的缓缓拉开序幕，我们即将踏入小学学习的关键阶段——五年级。四年级到五年级的跨越，不仅是知识层面的深化，更是思维能力、学习方法乃至学习态度的一次全面升级。数学，这门充满逻辑魅力与应用价值的学科，将在这一年中引领我们探索更为广阔的知识天地。为了帮助大家充分利用暑假时间，巩固旧知，预习新知，我们精心编纂了这本《北师大版五年级上册数学暑假衔接培优讲义》。 目标定位 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为核心目标，旨在通过系统化的知识梳理与预习检测，帮助同学们顺利过渡到六年级的学习状态，为新学期的学习打下坚实的基础。 内容概览 第一部分：知识梳理 系统梳理每一课时核心知识点，帮助学生熟悉每一节课的知识点，掌握解题方法。 第二部分：习题特色 基础性与挑战性并存：习题设计既覆盖了课本的基础知识，也融入了拓展性的思考题，旨在满足不同层次学生的学习需求。 贴近生活，注重应用：通过解决实际问题，培养学生的数学建模能力和创新思维，让数学学习更加生动有趣。 学习建议 制定计划，持之以恒：每天安排固定时间学习，保持学习的连续性和稳定性。 独立思考，勇于探索：遇到难题时，先尝试独立解决，培养解决问题的能力。 对照解析，反思总结：完成练习后，及时对照答案解析，反思错误，总结经验。 结语 教育不仅是知识的传递，更是思维的启迪和心灵的滋养。希望这本《北师大版五年级上册数学暑假预习衔接讲义》能够成为你探索数学世界的钥匙，让你在暑假的学习之旅中收获满满，信心满满地迎接六年级的挑战。记住，每一次努力都是通往成功的阶梯，让我们携手并进，共赴数学的奇妙之旅！ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版五年级数学上册 第五讲 除得尽吗（循环小数） 知识点01：循环小数的概念 (1)一个小数,从小数部分的某位起,一个或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫作循环小数。 (2)一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字,叫作这个循环小数的循环节。 知识点02：用“四舍五入”法求循环小数的近似值 取近似值时,要看保留的小数位数的下一位,如果下一位上的数字是4或者比4小就“四舍”;如果是5或者比5大,就“五入”。 知识点03：求商的近似值技巧 求商的近似值时,也可以除到要保留的小数数位后,不再继续除了,只要把余数同除数作比较即可,方法如下: (1)若余数比除数的一半小,就说明求出下一位的商要直接舍去; (2)若余数大于或等于除数的一半,就说明要在已除得的商的末位加上1。 一、填空题 1．3.971971971…这个循环小数还可以记作( )，保留两位小数，近似值是( )。 2．计算2÷1.1的商用循环小数表示为( )，精确到千分位是( )。 3．在3.1，3.1414…，3.14，3.1444…，3.14111…这5个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 4．用简便形式表示下面循环小数。 2.888…＝( )                4.25353…＝( )                0.926926…＝( ) 5．如果一个三位小数取近似值是5.30，那么这个三位小数最大是( )，最小是( )。 6．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.8                    ( ) ( )                    ( ) 二、选择题 7．循环小数2.316316…用简便形式写作（    ）。 A． B． C． D． 8．算式99.4÷11的商用循环小数可表示为（    ）。 A． B．9.03636 C． D． 9．1÷3的商是（    ）。 A．有限小数 B．循环小数 C．无限不循环小数 D．整数 10．已知1÷x＝0.0909…，2÷x＝0.1818…，3÷x＝0.2727…，4÷x＝0.3636…，…那么8÷x＝（    ）。 A．0.4545… B．0.5454… C．0.6363… D．0.7272… 11．李爷爷要将140千克苹果装箱，如果每个箱子最多可以装9.6千克，那么装完这些苹果至少需要（    ）个这种箱子。 A．14 B．15 C．16 D．17 三、判断题 12．8.20与8.2的精确度完全相同。( ) 13．要使□6.□3这个数最接近67，这个数是66.73。( ) 14．一个三位小数，精确到百分位约是6.50，则这个数最小是6.455。( ) 15．0.737373是循环小数，循环节是73。( ) 16．0.3373737是循环小数。( ) 四、计算题 17．直接写得数。 3.6÷1.2＝        0.72÷0.9＝ 2.6÷13＝           4.8÷0.4＝      0.36×10＝ 4.4÷4＝         0.78÷6＝ 7.2÷0.4＝          1÷0.25＝ 2÷6＝ 18．用竖式计算。 22.5÷0.25＝                0.608÷1.6＝                48÷5.4≈（得数保留两位小数） 五、解答题 19．王爷爷种了36棵向日葵，一共收葵花子6.4千克。平均每棵向日葵收葵花子多少千克？（结果保留两位小数） 20．一堆砂石有28.8吨，一辆货车每次最多可以运2.5吨。这堆砂石运完需要多少次？ 21．每个油桶最多可以装4.5千克油，23千克油最少要几个油桶可以装完？ 22．做一个泡芙要用7.5克的奶油，小明家里还有40克的奶油，妈妈想用这些奶油做泡芙，她最多可以做多少个泡芙？ 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明 随着2025-2026学年的缓缓拉开序幕，我们即将踏入小学学习的关键阶段——五年级。四年级到五年级的跨越，不仅是知识层面的深化，更是思维能力、学习方法乃至学习态度的一次全面升级。数学，这门充满逻辑魅力与应用价值的学科，将在这一年中引领我们探索更为广阔的知识天地。为了帮助大家充分利用暑假时间，巩固旧知，预习新知，我们精心编纂了这本《北师大版五年级上册数学暑假衔接培优讲义》。 目标定位 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为核心目标，旨在通过系统化的知识梳理与预习检测，帮助同学们顺利过渡到六年级的学习状态，为新学期的学习打下坚实的基础。 内容概览 第一部分：知识梳理 系统梳理每一课时核心知识点，帮助学生熟悉每一节课的知识点，掌握解题方法。 第二部分：习题特色 基础性与挑战性并存：习题设计既覆盖了课本的基础知识，也融入了拓展性的思考题，旨在满足不同层次学生的学习需求。 贴近生活，注重应用：通过解决实际问题，培养学生的数学建模能力和创新思维，让数学学习更加生动有趣。 学习建议 制定计划，持之以恒：每天安排固定时间学习，保持学习的连续性和稳定性。 独立思考，勇于探索：遇到难题时，先尝试独立解决，培养解决问题的能力。 对照解析，反思总结：完成练习后，及时对照答案解析，反思错误，总结经验。 结语 教育不仅是知识的传递，更是思维的启迪和心灵的滋养。希望这本《北师大版五年级上册数学暑假预习衔接讲义》能够成为你探索数学世界的钥匙，让你在暑假的学习之旅中收获满满，信心满满地迎接六年级的挑战。记住，每一次努力都是通往成功的阶梯，让我们携手并进，共赴数学的奇妙之旅！ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版五年级数学上册 第五讲 除得尽吗（循环小数） 知识点01：循环小数的概念 (1)一个小数,从小数部分的某位起,一个或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫作循环小数。 (2)一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字,叫作这个循环小数的循环节。 知识点02：用“四舍五入”法求循环小数的近似值 取近似值时,要看保留的小数位数的下一位,如果下一位上的数字是4或者比4小就“四舍”;如果是5或者比5大,就“五入”。 知识点03：求商的近似值技巧 求商的近似值时,也可以除到要保留的小数数位后,不再继续除了,只要把余数同除数作比较即可,方法如下: (1)若余数比除数的一半小,就说明求出下一位的商要直接舍去; (2)若余数大于或等于除数的一半,就说明要在已除得的商的末位加上1。 一、填空题 1．3.971971971…这个循环小数还可以记作( )，保留两位小数，近似值是( )。 【答案】 3.97 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】3.971971971…＝≈3.97 3.971971971…这个循环小数还可以记作，保留两位小数，近似值是3.97。 2．计算2÷1.1的商用循环小数表示为( )，精确到千分位是( )。 【答案】 1.818 【分析】根据小数除法的计算规则，2÷1.1＝1.818181…，在这个商中，小数部分“81”是不断重复出现的，这就是循环节，循环小数的表示方法是在循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点，表示循环节“81”无限循环下去；将商精确到千分位，即保留小数点后三位数字，需要看小数点后第四位数字，再根据“四舍五入”法进行取舍。 【详解】2÷1.1＝1.818181…循环节是81，在上面点上小圆点，即2÷1.1＝； 由2÷1.1＝1.818181…，其小数点后第四位数字是1，因为1＜5，则把千分位后面的数都舍去，所以1.818181…精确到千分位是1.818。 3．在3.1，3.1414…，3.14，3.1444…，3.14111…这5个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 3.1444… 3.1 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现，这样的数叫作循环小数；小数的大小比较必须先比较整数部分，若整数部分不同，整数部分按照整数比较大小的方法来比较，若整数部分相同，先比较小数部分的十分位，若十分位上的数字相同，再比较百分位，依此类推。 【详解】3.1444…＞3.1414…＞3.14111…＞3.14＞3.1 在3.1，3.1414…，3.14，3.1444…，3.14111…这5个数中，最大的数是3.1444…，最小的数是3.1。 4．用简便形式表示下面循环小数。 2.888…＝( )                4.25353…＝( )                0.926926…＝( ) 【答案】 【分析】找到小数部分的循环节，如果它是一个数字循环，就在这个数字的上面点一个点；如果2个数字循环，就在这两个数字上面分别点一个点；如果出现2个以上数字的，就在第一个数字和最后一个数字的上面点一个点。 【详解】2.888…＝ 4.25353…＝ 0.926926…＝ 【点睛】本题主要考查了循环小数的写法，找到循环节是本题解题的关键。 5．如果一个三位小数取近似值是5.30，那么这个三位小数最大是( )，最小是( )。 【答案】 5.304 5.295 【分析】“四舍”得到的5.30最大是5.304，“五入”得到的5.30最小是5.295，由此解答。 【详解】如果一个三位小数取近似值是5.30，那么它最大是 5.304，最小是 5.295。 【点睛】此题考查了小数“四舍五入”求近似数等知识。 6．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.8                    ( ) ( )                    ( ) 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＝ 【分析】一个数（0除外）除以大于1的数，结果比原来的数小；根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；小数的大小比较，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大，依次类推，直到比出为止；根据小数乘除法的计算方法，分别求出和的结果，再进行对比即可。 【详解】因为1.1＞1，则＜0.8 8.4乘10变为84，0.3乘10变为3，符合商不变的规律，则＝ 因为＝2.1388⋯，＝2.13838⋯，2.1388⋯＞2.13838⋯，即＞ 因为＝770，＝770，所以＝ 二、选择题 7．循环小数2.316316…用简便形式写作（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数是循环小数；依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节；循环小数的简便写法：是将第一个循环节以后的数字全部去掉，再在第一个循环节的第一个数字和最后一个数字上面分别点上一个点，据此解答。 【详解】循环小数2.316316…的循环节是316，用简便形式写作。 故答案为：A 8．算式99.4÷11的商用循环小数可表示为（    ）。 A． B．9.03636 C． D． 【答案】C 【分析】99.4÷11＝9.0363636… 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫循环小数； 一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。9.0363636…可以用表示。 【详解】99.4÷11＝9.0363636… 算式99.4÷11的商用循环小数可表示为。 故答案为：C 9．1÷3的商是（    ）。 A．有限小数 B．循环小数 C．无限不循环小数 D．整数 【答案】B 【分析】根据小数除法的计算方法，求出1÷3的商，再根据循环小数的定义，从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数；一个小数的小数部分是有限的，这样的小数就是有限小数；一个小数的小数部分是无限的，这样的小数就是无限小数。据此选择即可。 【详解】1÷3＝，商是循环小数。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查小数除法的计算以及循环小数的表示方法，掌握小数的分类也是解题的关键。 10．已知1÷x＝0.0909…，2÷x＝0.1818…，3÷x＝0.2727…，4÷x＝0.3636…，…那么8÷x＝（    ）。 A．0.4545… B．0.5454… C．0.6363… D．0.7272… 【答案】D 【分析】根据给出的式子知道，除数都是x，被除数是自然数，商的整数部分是0，小数部分的循环节为被除数与9的积，由此得出答案。 【详解】8×9＝72、8÷x＝0.7272… 故答案为：D 11．李爷爷要将140千克苹果装箱，如果每个箱子最多可以装9.6千克，那么装完这些苹果至少需要（    ）个这种箱子。 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据除法的意义，用140除以9.6进行计算，其结果根据实际情况运用“进一法”保留整数即可。 【详解】140÷9.6≈14.6≈15（个） 则装完这些苹果至少需要15个这种箱子。 故答案为：B 三、判断题 12．8.20与8.2的精确度完全相同。( ) 【答案】 × 【分析】根据题意，小数的精确度由它的小数位数决定。8.20是两位小数，表示精确到百分位；8.2是一位小数，表示精确到十分位。虽然它们的数值大小相等，但精确度不同。以此答题即可。 【详解】根据分析可知：两者的精确程度不同，原题说法错误。 故答案为：× 13．要使□6.□3这个数最接近67，这个数是66.73。( ) 【答案】× 【分析】要使□6.□3最接近67，□6.□3的个位上是数字6，66接近67，所以十位上的数字是6，那么十分位上的数字应为最大的一位数9，所以这个数是66.93。据此解答。 【详解】由分析可知，要使□6.□3这个数最接近67，这个数是66.93。题干说法错误。 故答案为：× 14．一个三位小数，精确到百分位约是6.50，则这个数最小是6.455。( ) 【答案】× 【分析】精确到百分位，即保留小数点后两位，根据“四舍五入”方法，要看千分位上的数字，若千分位数字小于5则舍去，若千分位数字大于等于5，则向百分位进1。 【详解】一个三位小数精确到百分位约是6.50，“五入”得到6.50时，这个三位小数可以是6.495、6.496、6.497、6.498、6.499 ；“四舍”得到6.50时，这个三位小数可以是6.501、6.502、6.503、6.504 。在这些数中最小的就是6.495，所以原题说法错误。 故答案为：× 15．0.737373是循环小数，循环节是73。( ) 【答案】× 【分析】循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。重复出现的部分是循环节。据此解题。 【详解】0.737373是有限小数，不是循环小数，没有循环节。 故答案为：× 16．0.3373737是循环小数。( ) 【答案】× 【分析】有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 小数按小数部分的位数分为有限小数和无限小数，无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出，这样的小数叫做循环小数。据此判断即可。 【详解】0.3373737小数部分的位数是有限的，因此它不是循环小数。原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 17．直接写得数。 3.6÷1.2＝        0.72÷0.9＝ 2.6÷13＝           4.8÷0.4＝      0.36×10＝ 4.4÷4＝         0.78÷6＝ 7.2÷0.4＝          1÷0.25＝ 2÷6＝ 【答案】3；0.8；0.2；12；3.6； 1.1；0.13；18；4； 【详解】略 18．用竖式计算。 22.5÷0.25＝                0.608÷1.6＝                48÷5.4≈（得数保留两位小数） 【答案】90；0.38；8.89 【分析】除数是小数的小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位，然后按照除数是整数的小数除法计算。要求得数保留两位小数，除到商的第三位小数，然后按照“四舍五入”法求出近似数。 【详解】22.5÷0.25＝90          0.608÷1.6＝0.38            48÷5.4≈8.89      五、解答题 19．王爷爷种了36棵向日葵，一共收葵花子6.4千克。平均每棵向日葵收葵花子多少千克？（结果保留两位小数） 【答案】0.18千克 【分析】平均每颗向日葵花子的千克数＝总共的千克数÷棵树。商如果除不尽按照题目的要求取商的近似值，本题保留是两位小数，则商要除到第三位，再根据“四舍五入”的方法取近似值。 【详解】6.4÷36≈0.18（千克） 答：平均每棵向日葵收葵花子0.18千克。 20．一堆砂石有28.8吨，一辆货车每次最多可以运2.5吨。这堆砂石运完需要多少次？ 【答案】12次 【分析】将砂石总量除以每次最多能运的，利用进一法将商保留到整数部分，求出运完需要多少次。 【详解】28.8÷2.5≈12（次）                                    答：这堆砂石运完需要12次。 21．每个油桶最多可以装4.5千克油，23千克油最少要几个油桶可以装完？ 【答案】6个 【分析】油的总质量÷每桶可装质量＝油桶个数，如果除得的结果是小数，根据实际情况，应该用“进一法”取得整数。 【详解】23÷4.5≈6（个） 答：最少要6个油桶可以装完。 22．做一个泡芙要用7.5克的奶油，小明家里还有40克的奶油，妈妈想用这些奶油做泡芙，她最多可以做多少个泡芙？ 【答案】5个 【分析】用奶油的总质量除以做一个泡芙要用奶油的质量，利用“去尾法”即可求出她最多可以做多少个泡芙。 【详解】40÷7.5≈5.3≈5（个） 答：她最多可以做5个泡芙。 23．妙想用榨汁机榨了1.5千克橙汁，准备分装在一些杯子中，每个杯子最多可以装0.4千克。至少需要准备多少个杯子？ 【答案】4个 【分析】根据题意，用橙汁的质量除以每个杯子最多可以装橙汁的质量即可；注意，最后剩下的装不满1杯的橙汁也需要1个杯子。 【详解】1.5÷0.4≈4（个） 答：至少需要准备4个杯子。 【点睛】本题考查了商的近似数，能根据生活实际利用进一法求近似数是解题的关键。 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$