专题02 圆的几何问题全攻略：轨迹、最值、切线及弦长应用（压轴题专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题02 圆的几何问题全攻略： 轨迹、最值、切线及弦长应用 目录 典例详解 类型一、与圆有关的轨迹和隐圆问题 类型二、与圆有关的最值问题 类型三、圆的切线问题 类型四、圆的弦长问题 压轴专练 类型一、与圆有关的轨迹和隐圆问题 1.求与圆有关的轨迹问题的常用解法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法：利用圆的几何性质列方程. (4)代入法：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 2.常见的隐圆情形有： （1）到定点的距离为定值（直接满足圆的定义）； （2）满足勾股定理或直径所对圆周角为直角（隐含直径对应的圆）； （3）线段长度的平方和为定值（通过代数变形可化为圆的方程）； （4）利用三角形外接圆的性质（如正弦定理中边与角的关系）； （5）阿波罗尼斯圆：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆. 例1．已知的斜边为，且.求： (1)直角顶点的轨迹方程； (2)直角边的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据，得到，结合斜率公式，即可求得顶点的轨迹方程； （2）设，根据是线段的中点，得到，代入的轨迹方程，即可求得动点的轨迹方程. 【详解】（1）解：设，因为三点不共线，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 整理得，即， 所以直角顶点的轨迹方程为. （2）解：设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得，所以， 由（1）知，点的轨迹方程为， 将代入得，即 所以动点的轨迹方程为. 变式1-1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在△ABC中，，且，当△ABC面积取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据得到轨迹方程，并得到，表达出，当时，△ABC面积最大，求出，，由余弦定理得到答案. 【详解】由题意设，，， 由得：， 化简得，故， ∵，∴当时，△ABC面积最大， 此时不妨设，则，. ∴. 故选：D. 变式1-2．点是圆上的动点，以点为直角顶点的另外两顶在圆上，且的中点为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由的性质得，由圆的性质得，即可结合两点距离公式建立方程，可得的轨迹方程为圆，故取最大值时为两圆圆心连线上最远的两个点，即可求的最大值 【详解】 如图，设，由于是弦的中点，则，于是. 又因为中，， 得， 即的轨迹方程为. 又是圆上的动点，则取最大值时为两圆圆心连线上最远的两个点， ∴的最大值为， 故答案为：. 类型二、与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的常见题型 1. 斜率型 形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． 2. 截距型 形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题． 3.距离型 （1）形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． （2）形如形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定直线的距离的最值问题． 4. 圆上动点与定点的最值问题 圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决 5. 直线上动点与圆心的最值问题 直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离 例2．已知实数，满足方程． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，最小值为． (3)最大值是，的最小值是． 【分析】（1）方程表示圆心为，半径长为的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，由此可解； （2）可看作直线在y轴上的截距，当直线和圆相切时，取得最大值和最小值. （3）根据的几何意义求解即可. 【详解】（1）原方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆． 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设，即． 当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值， 此时，解得（如图1）． 所以的最大值为，最小值为． （2）可看作是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值， 此时，解得（如图2）． 所以的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图3）． 又圆心到原点的距离为， 所以的最大值是，的最小值是． 变式2-1．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 变式2-2．（多选）如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（    ）．    A． B．点M的轨迹方程为 C．的最小值为 D．圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值 【答案】ABC 【分析】对于A，根据直线与圆的位置关系可得；对于B，易得，即可得到点M的轨迹方程；对于C，设，则，在中，根据余弦定理得，再由即可得到；对于D，设，得到点，利用几何意义可判断； 【详解】对于A，因为圆心到直线的距离， 又圆上恰有3个点到直线的距离为， 所以，即，故A正确 ； 对于B，由题知，所以在以为直径的圆上， 所以点M的轨迹方程为，故B正确； 对于C，设，则， 在中，， 即， 又 ， 当，即时取等，故C正确； 对于D，设在轴上一点C，使， 所以，整理得， 又点在圆上， 所以，解得， 则，当三点共线时取等， 又，原点到直线的距离， 所以，如图符合题意的点有两个，故D错误；    故选：ABC. 变式2-3．已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)（i）最大值为，最小值为； （ii）最大值为，最小值为； （iii）最大值为9，最小值为1． 【分析】（1）由题意确定半径，由中点坐标公式求出圆心，进而可得圆的标准方程； （2）（i）把所求转化为圆上的点M与已知的点之间的距离，再数形结合求最大距离和最小距离即可； （ii）把所求转化为，再数形结合和利用点到直线的距离公式求出切线斜率的最值即可； （iii）将所求转化为过点M的直线的截距，再结合点到直线间距离求出截距即可； 【详解】（1）设圆心到直线的距离，半径，， 则圆的几何性质可得，， 当且仅当，即圆心是线段的中点时，半径的取得最小值，此时圆C的面积最小. 所以，，即圆C的标准方程为． （2）（i）因为表示圆上的点M与已知的点之间的距离． 圆C：， 如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值， 即，    与B重合时取得最大值即， 故最大值为，最小值为； （ii）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值， 如图所示．    可设，则C到其距离为，解得， 故最大值为，最小值为 （iii）设，如图所示，即过点M的直线的截距， 如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值． 圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1．    类型三、圆的切线问题 1. 圆的切线方程 已知圆的切线过某已知点，若点在圆上，则仅有一条切线，且此点即为切点，利用此点与圆心的连线与切线垂直的关系求切线的方程即可. 若点在圆外，则有两条切线. 设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径的关系列方程求切线的斜率或联立直线和圆的方程，利用相切时方程组只有一组解的关系求切线的斜率. 注意验证是否有切线斜率不存在的情况. 2. 圆的切线常用结论： （1）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 3. 两圆的公切线 在求两圆的公切线时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法. 两圆外公切线外分圆心距之比等于两圆半径之比，内公切线内分圆心距之比等于两圆半径之比，故两圆公切线与圆心连线的交点可求，从而公切线方程可求. 注意求解完成后要检验求出来的切线条数是否正确. 4. 切线长度最值问题 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值. （2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 例3．已知圆，直线． (1)若直线l与圆O相切，求m的值； (2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】根据直线和圆相切求出圆心到直线的距离 ，即可求出 的值； 根据题意可知 四点共圆，且 为直径，要使切线长最短，即 时最短，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，两圆方程相减即可求得直线 的方程. 【详解】（1）（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切， 所以，解得； （2）当时，直线，连接，则， 所以O，A，P，B四点共圆，切线长， 故最短当且仅当最短，即时最短， 因为，所以，此时， 所以， 联立得， 故以为直径的圆的方程为， 因为弦即圆O与上述圆的公共弦， 所以弦所在直线方程为． 变式3-1．圆C：，点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于两点，则直线的斜率之积为 . 【答案】1 【分析】设直线PM的方程为，由直线与圆相切得，同理设直线PN的斜率为，则，由韦达定理可得直线的斜率之积. 【详解】设直线的方程为：，即， 由圆：可知，圆心，半径为， 由直线与圆相切知， 化简得，①， 同理，设直线 的斜率为， 则，②， 由①②得，是方程的两根， 所以，即直线的斜率之积为 故答案为：1 变式3-2．（多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（    ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．当四边形PACB面积最小时，直线方程为 D．直线恒过定点 【答案】AC 【分析】根据圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，可判断A选项，根据切线长的几何意义可判断B选项，再根据两圆公共弦方程求法可判断CD选项. 【详解】 由圆，得圆心，圆半径， A选项：点到直线的距离为，又，即， 所以圆上恰有两个点到直线的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，，所以，B选项错误； D选项：由切线的性质可知，在以为直径的圆上，设， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 圆的方程为，即， 又，在圆上，则， 得，则，解得， 所以恒过定点，D选项错误； C选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线方程为，即， 联立，解得，故，则， 所以，即，C选项正确； 故选：AC. 变式3-3．已知圆和点． (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线l交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程． 【答案】(1)和； (2)证明见解析，. 【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况求切线方程即可； （2）设，，，根据，得到，再结合，得到，同理得到，即可得到直线的方程为，再根据在上，即可得到点的轨迹方程； 【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得 综上，切线方程为和． （2）设，，，，， ∴由，则，即，又，故, 同理，∴直线为，又在上， ∴，故恒在直线上． 【点睛】（1）过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况； （2）求动点轨迹时，主要是要利用题目中的条件取列等式，然后利用等式去导出动点横纵坐标的关系； （3）存在，使为定值，关键在于对任意点都要满足，也就是等式的成立跟，的值无关，将等式整理成关于，的等式，让，的系数等于零，同时保证等式成立，解方程，有解则存在，无解则不存在． 例4．已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直. (1)求的值； (2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为3 【分析】（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解； （2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解的最大值. 【详解】（1）如图，由题意可知与圆相切，与圆相切，且， 故，即. （2）作于点H，连接PQ， 在中，， 其中， 故， 又，当且仅当时取等号， 故， 即的最大值为3. 变式4-1．（多选）已知与，以下结论正确的有（    ） A．与有且仅有2条公切线 B．若直线与分别切于相异的两点，则 C．若分别是与上的动点，则的最大值为10 D．与的一条公切线斜率为 【答案】BCD 【分析】分别求两圆的圆心和半径，对于C：根据圆的性质分析求解；对于A：根据两圆位置关系分析求解；对于BD：根据公切线的性质结合图形分析求解. 【详解】由题意可知：的圆心，半径，的圆心，半径， 对于选项C：因为， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以的最大值为10，故C正确； 对于选项A：因为，则与外切， 所以与有且仅有3条公切线，故A错误； 对于选项B、D：若直线与分别切于相异的两点，显然直线的斜率存在且不为0， 根据对称性，不妨设直线的与x轴交点为，斜率为，如图所示， 连接，过作，垂足为，    可知四边形为矩形，且， 在中，可得， 所以，直线的斜率，故B、D正确； 故选：BCD. 变式4-2．（多选）已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点 【答案】ACD 【分析】A选项，根据面积公式得到当时四边形的面积最小，然后求面积；B选项，利用等面积的思路求；C选项，根据，得到为以为直径的圆上的点，然后根据圆的方程求弦所在直线的方程；D选项，设，借助圆的方程得到直线的方程为，然后求定点. 【详解】 由题意得四边形PAMB的面积，， 因为，，所以当长度最小时，四边形的面积最小， 最小为点到直线的距离，所以， 所以四边形的面积最小值为，故A正确； 由圆的性质得， 由A选项可得，最短时，四边形的面积最小，， 所以，故B错； 由题意得，，所以为以为直径的圆上的点， 所以直线为两圆公共弦所在的直线， ，直线：，即， 联立得，所以最短时，，中点坐标为， 此时以为直径的圆的方程为， 联立得，所以弦所在直线的方程为，故C正确； 设，则，即， 以为直径的圆的方程为， 联立得， 所以直线的方程为， 将代入得， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：ACD. 类型四、圆的弦长问题 1. 直线与圆相交的弦长的两种求法 （1）代数法：将直线和圆的方程联立，整理得到一个一元二次方程，根据弦长公式求弦长. 弦长公式： （2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长 . 2. 圆与圆相交的弦长问题 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，进而转化为直线与圆相交的弦长问题． 3. 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 4. 中点弦问题的三种常见处理方法 （1） 利用根与系数的关系,求出中点坐标； （2） 点差法：设出弦的两个端点坐标,代入圆的方程，利用作差法求出其中点坐标和斜率表示的方程； （3） 利用圆本身的几何性质，即圆心与弦中点的连线与弦垂直，可直接求斜率 例5．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，和圆， 圆心和半径分别是，则两圆心中点为， 若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线， 但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C错误； 对于D，如图，设关于直线对称点为， 则解得即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D正确. 故选：D. 变式5-1．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为 ， 设圆心到直线l的距离为d，由弦长公式可得，， 所以圆心到直线的距离， 解得或，又，所以， 故选：C 变式5-2．已知直线截圆所得的弦长为，点，在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弦长可求得圆的半径，利用直线系方程求得定点坐标，设的中点为，求得的轨迹方程，进而求得的范围，从而可求得的取值范围. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 依题意，解得， 因为直线，即， 由，解得，所以定点， 设的中点为，则， 即，化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又到圆心的距离为，所以的取值范围为， 而，所以的取值范围是. 故选：D. 变式5-3．已知圆被轴截得的弦长为，圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线被圆截得的弦长，借助勾股定理即可求得圆的方程，两圆作差即可求得公共弦的直线方程. 【详解】根据题意，可知圆， 即圆，圆心为，半径， 令，则有：，根据韦达定理及弦长公式可求：，所以，故圆的半径， 故圆，又因为圆， 设AB为两圆的公共弦所在的直线，则有 作差变形可得：；即直线AB的方程为. 故选：C 变式5-4．（多选）已知圆，点，则（   ） A．若圆过点的切线只有一条，则实数 B．若圆上总存在两个点到点的距离为，则 C．若过点且在两坐标轴上截距相等（不为0）的直线被圆截得的弦长为，则 D．若圆心在上且半径为1的圆与圆交于两点，则当最大时， 【答案】CD 【分析】对于A，根据切线条数，确定点在圆上，即可判断A；对于B，问题等价于圆与圆相交，利用圆与圆的位置关系，即可判断B；对于C，根据直线与圆的位置关系，利用弦长公式，即可判断C；对于D，问题转化为最大，根据几何关系，即可判断D. 【详解】对于A，因为圆过点的切线只有一条，所以点一定在圆上， 所以有，解得，A错误； 对于B，原问题等价于圆与圆相交， 又两圆的圆心距为， 所以，整理得， 解得，B错误； 对于C，由于直线在两坐标轴上截距相等且不为0，故设直线方程为，故， 因为直线过点，所以，即． 又直线被圆截得的弦长为， 根据位置关系易得圆心到直线的距离、圆的半径和弦长的一半构成直角三角形， 可求得圆心到直线的距离， 所以，解得，所以，C正确． 对于D，如图，在中，圆直径为2，故， 易得当最大时，最大，此时为圆的直径， 在中，，，所以．D正确． 故选：CD 一、单选题 1．已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，根据两圆恰有一条公切线得出两圆的位置关系，进而得到满足的关系式，最后利用三角换元求出的最大值. 【详解】圆，即，圆心，半径 圆，即，圆心，半径 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： 令，则最大值为 故选：B. 2．在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点．若，则所有满足条件的直线的斜率之积为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】D 【分析】由题结合，可得，圆心到直线的距离为，设直线的方程为，由点到直线离公式并化简后可得，然后由韦达定理可得答案. 【详解】如图，由题意得，圆心，半径． 因为，且， 所以，解得，所以． 设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得 ，即，所以． 由题意知直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 即，两边平方，得， 化简得． 设方程的两根分别为， 由根与系数关系，得. 故选：D． 3．如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出切线的方程，然后分别令求出两点坐标，利用点斜式求出直线和直线的方程，联立解出点坐标即可求出点的轨迹方程，要注意挖掉两个不能取到的点. 【详解】设点，当圆心与切点所成直线的斜率不存在时，即当点时， 易知以，所以此时点为矩形的对角线的交点，即； 当圆心与切点所成直线的斜率存在时，则，因为， 所以切线的斜率为，又切线过点， 所以切线的方程为，整理得， 又点在圆上，所以，故切线的方程为. 易知，在切线的方程中，令，则， 令，则，所以， 所以直线的斜率，直线的方程为， 直线的斜率，直线的方程为， 联立直线和直线的方程，解得， 所以点，又，所以点所满足的方程为， 因为切线分别交、于点、两点，所以切线不能为，即， 且前述直线的斜率不存在时即也满足上述方程， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 4．已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆可化为， 所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 【点睛】本题的关键是时，取得最小值. 二、多选题 5．已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】A选项表示圆上一点到点的距离，即最小值为；圆上一点到直线的距离为，，即为到直线的距离减半径，求出，即可得判断B；表示圆上一点到点距离之和，由此求解可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，由此求解可判断D. 【详解】方程的圆心为， 对于A，表示圆上一点到点的距离， ， 所以的最小值是，故A正确； 对于B，圆上一点到直线的距离为， ，所以求的最小值，即求， 所以即为到直线的距离减半径， 所以到直线的距离为， 所以，所以的最小值为，故B错误； 对于C，因为，所以 表示圆上一点到点距离之和， 所以，当三点在一条直线上时取等， 故的最小值是，故C正确； 对于D，因为，所以 ， 表示圆上一点到点距离之差的2倍， 所以，当三点在一条直线上时取等， 的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 6．已知点，分别在圆，上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．的最大值为 C．点到直线距离大于 D．当最大时， 【答案】BCD 【分析】选项A直接由两圆位置关系可判断；选项B可以把 的最大值转化为两圆心距离加上两半径即可得出；选项C，D过点直接作圆的切线，数形结合可得到最值. 【详解】对于选项 A：圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ； 两圆心间距离：， ， 因为 ，所以两圆外离，不相交；故A 错误； 对于选项 B：点 在 上，点 在 上，两圆外离， ，故B 正确； 对于选项 C：过点A作圆的切线（取靠近圆的一条）， 过点作切线的垂线垂足为，过点作垂线，垂足为， 此时的长即为点到直线距离的最小值. 易知，在中，，； 因为为圆的切线，所以易得； ， ， ，故C正确； 对于选项D：过点A分别作两圆的切线，切点分别为，，如下图所示： 由图易得，此时.故D正确. 故选：BCD 7．如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（   ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 【答案】ABC 【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆的方程判断B；求出圆的圆心到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断C；求出点的纵坐标判断D. 【详解】圆的圆心，直线的方程为，即， 由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，故A正确； 显然，设点，则，而， 解得，，因此圆的圆心，半径为， 圆的方程为， 则圆的方程为，故B正确； 圆的圆心为，半径， 圆心到轴的距离为， 由两边平方得， ，，而 所以当时，圆与轴有交点，C选项正确. 在中，令，得点的纵坐标为，因此，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题 8．已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用数量积的运算律，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离，又， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 9．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直线与曲线有两个公共点，作出图形，求出当直线与曲线相切时实数的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】若关于的方程有且只有两个不同的实数根， 则函数的图象与的图象有且只有两个交点， 由得， 所以是以为圆心，2为半径的圆在轴及轴上方的部分， 又因为的图象恒过定点， 故在同一坐标系中作出函数的图象与的图象，    当直线与半圆相切时，可得，解得， 当过点时，可得，解得， 又函数的图象与的图象有且只有两个交点， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 10．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 11．已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【详解】（1）设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； （2）设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； （3）不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 12．已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线恰与圆相切，求直线的方程； (3)圆关于直线对称圆是圆，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是，定值为 【分析】（1）结合题目条件，得圆心C的坐标和半径，从而得结论； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程，利用直线与圆的位置关系，建立方程，即可求解； （3）利用关于直线对称的圆的方程得圆Q的方程，再利用题目条件得、，且得到，，再利用直线的点斜式方程得直线和的方程，令得m与n，最后利用圆的方程，计算得结论． 【详解】（1）因为圆经过点和，又易知中点，， 所以的中垂线方程为，即， 又圆心在直线上，由，解得，所以圆心， 又圆的半径，所以圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设直线， 由（1）知圆为， 因为直线与圆相切，则，整理得到，此时直线， 当直线斜率不存在时，直线，满足题意， 综上，直线的方程为或. （3）设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以关于直线的对称点为，而圆关于直线的对称圆是圆， 所以圆的方程为， 因为点关于原点和x轴的对称点分别为、，所以、， 又因为， 当时，点的坐标为，则直线与轴垂直，不满足题意，所以． 当时，点的坐标为，则直线与轴垂直，不满足题意，所以， 因此直线的方程为，直线的方程为， 在方程中，令得，即， 在方程中，令得，即， 又因为、是圆Q上的两个动点，所以，， 因此， 因此为定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆的几何问题全攻略： 轨迹、最值、切线及弦长应用 目录 典例详解 类型一、与圆有关的轨迹和隐圆问题 类型二、与圆有关的最值问题 类型三、圆的切线问题 类型四、圆的弦长问题 压轴专练 类型一、与圆有关的轨迹和隐圆问题 1.求与圆有关的轨迹问题的常用解法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法：利用圆的几何性质列方程. (4)代入法：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 2.常见的隐圆情形有： （1）到定点的距离为定值（直接满足圆的定义）； （2）满足勾股定理或直径所对圆周角为直角（隐含直径对应的圆）； （3）线段长度的平方和为定值（通过代数变形可化为圆的方程）； （4）利用三角形外接圆的性质（如正弦定理中边与角的关系）； （5）阿波罗尼斯圆：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆. 例1．已知的斜边为，且.求： (1)直角顶点的轨迹方程； (2)直角边的中点的轨迹方程. 变式1-1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在△ABC中，，且，当△ABC面积取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 变式1-2．点是圆上的动点，以点为直角顶点的另外两顶在圆上，且的中点为，则的最大值为 ． 类型二、与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的常见题型 1. 斜率型 形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． 2. 截距型 形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题． 3.距离型 （1）形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． （2）形如形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定直线的距离的最值问题． 4. 圆上动点与定点的最值问题 圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决 5. 直线上动点与圆心的最值问题 直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离 例2．已知实数，满足方程． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 变式2-1．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（    ）．    A． B．点M的轨迹方程为 C．的最小值为 D．圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值 变式2-3．已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 类型三、圆的切线问题 1. 圆的切线方程 已知圆的切线过某已知点，若点在圆上，则仅有一条切线，且此点即为切点，利用此点与圆心的连线与切线垂直的关系求切线的方程即可. 若点在圆外，则有两条切线. 设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径的关系列方程求切线的斜率或联立直线和圆的方程，利用相切时方程组只有一组解的关系求切线的斜率. 注意验证是否有切线斜率不存在的情况. 2. 圆的切线常用结论： （1）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 3. 两圆的公切线 在求两圆的公切线时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法. 两圆外公切线外分圆心距之比等于两圆半径之比，内公切线内分圆心距之比等于两圆半径之比，故两圆公切线与圆心连线的交点可求，从而公切线方程可求. 注意求解完成后要检验求出来的切线条数是否正确. 4. 切线长度最值问题 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值. （2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 例3．已知圆，直线． (1)若直线l与圆O相切，求m的值； (2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程． 变式3-1．圆C：，点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于两点，则直线的斜率之积为 . 变式3-2．（多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（    ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．当四边形PACB面积最小时，直线方程为 D．直线恒过定点 变式3-3．已知圆和点． (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线l交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程． 例4．已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直. (1)求的值； (2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值. 变式4-1．（多选）已知与，以下结论正确的有（    ） A．与有且仅有2条公切线 B．若直线与分别切于相异的两点，则 C．若分别是与上的动点，则的最大值为10 D．与的一条公切线斜率为 变式4-2．（多选）已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点 类型四、圆的弦长问题 1. 直线与圆相交的弦长的两种求法 （1）代数法：将直线和圆的方程联立，整理得到一个一元二次方程，根据弦长公式求弦长. 弦长公式： （2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长 . 2. 圆与圆相交的弦长问题 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，进而转化为直线与圆相交的弦长问题． 3. 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 4. 中点弦问题的三种常见处理方法 （1） 利用根与系数的关系,求出中点坐标； （2） 点差法：设出弦的两个端点坐标,代入圆的方程，利用作差法求出其中点坐标和斜率表示的方程； （3） 利用圆本身的几何性质，即圆心与弦中点的连线与弦垂直，可直接求斜率 例5．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 变式5-1．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 变式5-2．已知直线截圆所得的弦长为，点，在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知圆被轴截得的弦长为，圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式5-4．（多选）已知圆，点，则（   ） A．若圆过点的切线只有一条，则实数 B．若圆上总存在两个点到点的距离为，则 C．若过点且在两坐标轴上截距相等（不为0）的直线被圆截得的弦长为，则 D．若圆心在上且半径为1的圆与圆交于两点，则当最大时， 一、单选题 1．已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 2．在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点．若，则所有满足条件的直线的斜率之积为（    ） A． B．6 C．3 D． 3．如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 6．已知点，分别在圆，上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．的最大值为 C．点到直线距离大于 D．当最大时， 7．如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（   ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 三、填空题 8．已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 9．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 10．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 11．已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 12．已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线恰与圆相切，求直线的方程； (3)圆关于直线对称圆是圆，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$