第十五章 综合与实践 最短路径问题 暑期提前练 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十五章 综合与实践 最短路径问题 暑期提前练 2025-2026学年人教版数学八年级上册 一、单选题 1．如图，直角坐标系中，点A(6，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边ΔABC，连接OC，则OC的最小值是（　　） A． B．3 C． D． 2．如图，，点是内的定点且，若点，分别是射线OA，~OB上异于点的动点，则周长的最小值是（　　） A． B． C．6 D．3 3．如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点N，MN即桥的位置． 方案二 ①连接AB交于点；②过点作MN，交于点N.MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 二、填空题 5．如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为　 　． 6．如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是　 　 7．如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时，　 　． 8．如图，中，垂直于点B，且，在直线上方有一动点M满足，则点M到C、D两点距离之和最小时，　 　度． 三、解答题 9．如图，在直角坐标系中，已知点，直线l是第二、四象限的角平分线． （1）操作：连结线段，作出线段关于直线l的轴对称图形． （2）发现：请写出坐标平面内任一点关于直线l的对称点的坐标． （3）应用：请在直线l上找一点Q，使得最小，并写出点Q的坐标． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边，延长CN交轴于， ΔABC是等边三角形，ΔAMN是等边三角形， 点在EN上移动， 当时，有最小值， 此时， 故答案为：B 【分析】以OA为对称轴作等边，延长CN交轴于，根据等边三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，当时，有最小值，即，即可求出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图， 则， 此时周长最小， 作于，则， 故答案为：D 【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，则，再根据边之间的关系可得，作于，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，，则，即可求出答案. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）． 作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小． ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴﹒ 故答案为：A． 【分析】先根据题意，确定点E在射线CE上运动（瓜豆原理），再作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小（将军饮马模型），根据等边三角形的判定及性质即可得出答案. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可；AA'垂直于河岸l2，AA'=d，连接BA'，与另一条河岸相交于点M，作MNL直线l.由平移的性质，知MN//AA'，且MN=AA'=d，MA'=NA.根据“两点之间，线段最短”，知BA'最短，即AN+BM最短，方案一符合题意. 故答案为：A. 【分析】本题考查最短路径问题，方案一通过平移点A，利用平移性质将桥长转化，依据两点之间线段最短，能确定最短路程；方案二则未合理转化路径，直接连接AB后建桥，无法保证总路程最短；所以方案一可行，方案二不可行。 5．【答案】2 【解析】【解答】解：连接DE，交AC于点P，连接BD． ∵点B与点D关于AC对称， ∴DE的长即为PE+PB的最小值， ∵AB=4，E是BC的中点， ∴CE=2， 在Rt△CDE中， DE= = =2 ． 故答案为：2 ． 【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值． 6．【答案】6 【解析】【解答】解：当点P是EF与AC的交点时，连接BP，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短知，，其值最小， 所以的最小值即为的长， 所以的最小值为6． 故答案为：6． 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BP=CP，则PA+BP=AP+PC=AC，根据两点之间线段最短即可求解． 7．【答案】3 【解析】【解答】解：如图，过直线作对称点，连接，与的交点即为点E， 因为， 所以， 所以，三角形AED的周长=，此时三角形AED的周长最小 当的周长最小时，， 故答案为：3． 【分析】本题结合将军饮马的解法，先通过直线作对称点，连接，与的交点即为点E，如下图所示。由于 、的对称点，所以，。已知，，AD与EB平行，可得出，求出EB=2，然后再利用三角形的面积公式，代入数据即可求解 8．【答案】45 【解析】【解答】解：因为，， 所以，点M在直线的上方且与直线的距离为的直线上，如图， 所以可得，且直线过的中点， 作点D关于直线的对称点E，则：， 连接交直线于点，此时最小， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 连接，则，所以，， 则有：， 故答案为：45． 【分析】先求出，且直线过的中点，作点D关于直线的对称点E，连接交直线于点，此时最小，再求出，连接，则，最后利用角的运算求出即可. 9．【答案】（1）解：如图，线段即为所作； （2）解：由题意得关于直线l的对称点的坐标为； （3）解：点Q即为所作，， 【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得到点位置，进而连接即可求解； （2）根据轴对称的性质得出点关于直线l的对称点的坐标； （3）根据轴对称-最短距离问题连接交直线l于点Q，进而即可求解。 （1）如图，线段即为所作； （2）由题意得，关于直线l的对称点的坐标为； （3）如图，点Q即为所作，， 学科网（北京）股份有限公司 $$