综合与实践 最短路径问题（2）造桥选址问题（教学课件）数学人教版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦“最短路径问题（造桥选址）”，通过复习“牧民饮马问题”的轴对称解法，引导学生用平移转化AM+BN为A'N+BN，构建从轴对称到平移的知识支架，衔接旧知与新知。 亮点在于以转化思想贯穿，通过平移将问题转化为两点之间线段最短（数学思维），结合小组合作、信息技术验证（如不同路径长度对比）培养几何直观与创新意识（数学眼光），建立“平移-共线”模型（数学语言），助力学生形成模型意识，教师可直接用于教学与拓展。

nullnull 综合与实践 最短路径问题 （造桥选址问题） 人教版八年级上册 学习目标 通过现实背景，探究解决造桥选址问题的方法. 一 二 能利用平移变换解决造桥选址问题.理解方法的合理性. 三 通过解决造桥选址问题建立数学模型，体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想. 复习回顾 问题 上一节课，我们是如何解决牧民饮马问题的？ 抽象成数学问题 建立数学模型 轴对称 解决 两点之间，线段最短 点A、B位于直线l 同侧 点A、B位于直线l 异侧 造桥选址问题 任务1 如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 造桥选址问题 问题1 由于河宽固定(MN为定值)，问题转化为：怎样保证 AM+BN 最小？ 追问 怎样将AM和BN“连接”起来？ 答 将点A沿MN方向平移，平移的距离为MN的长，得到点A'，连接A'N，则A'N=AM. 问题2 由于A'N=AM，问题转化为：怎样保证 A'N+BN 最小？ 答 当A'、N、B三点共线时，A'N+BN 最小.（两点之间，线段最短.） 作法： 1.过点A作直线b的垂线，垂足为F， AF交直线a于点E. 2.将点A沿AF方向平移到点A',使AA'=EF； 3.连接A'B交直线b于点N，点N即为所求点； 4.过点N作NM⊥直线a于点M,线段MN 即为 桥的位置，此时从A到B的路径AMNB最短. 造桥选址问题 问题3 通过以上分析，如何平移点A解决任务1？请总结这道题完整的做法. (小组合作交流) 造桥选址问题 信息技术验证 证明 另任意造桥M′N′，连接AM′、BN′、 A′N′.由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′ N′. ∴AM+MN+BN＝A′N+MN+BN＝MN+A′B， AM′+M′N′+BN′＝MN+A′N′+BN′. 在△A′N′B中，A′N′+BN′ ＞A′B， ∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN， 即AM+MN+BN最短. 造桥选址问题 任务2 证明AM+MN+BN最短. 巩固练习 直线l1，l2，表示一条河的两岸，且l1∥l2，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸.现要在这条河上建一座桥EF(桥EF与河的两岸l1，l2垂直)，使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即PE+EF+FQ最小，则下列图中满足条件的是（　　） A B C D A 问题拓展1 1. 如图所示，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村往Q村，要经过两座桥EF，MN.现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥EF，MN的位置，使由P村到Q村的路程最短?(要求在图上标出道路和大桥的位置) 问题拓展1 解 如图所示，分别过点P和点Q作l1，l3的垂线，垂足分别为A、B，在PA上截取PC等于河宽，在BQ上截取QD等于河宽，连接CD交l2，l4于E、M，分别过点E、M作l1，l3的垂线，垂足分别为F、N，则EF，MN，即为所求，此时CD+PC+QD的长即为最短路径长． 问题拓展2 2. 如图，已知A，B两点在水平线l的异侧，试在直线l上找两点C和D(CD的长度为定值a，点C在点D的左侧)，使得AC+CD+DB最短． 作法：如图， 1.将点A水平向右平移到点A′ ，使AA′ =a. 2.连接A′B交直线l于点D. 3.将点D水平向左平移到点C，使CD =a， 4.连接AC、BD. 此时，AC+CD+DB最短. 问题拓展 信息技术验证 证明 在直线l上任意作C′D′=a，连接AC′、BD′，A′D′. 由平移性质可知，AC＝A′D，AC′＝A′D′. ∴AC+CD+DB＝A′D+CD+DB＝CD+A′B， AC′+C′D′+BD′＝CD+A′D′+BD′. 在△A′D′B中，A′D′+BD′ ＞A′B， ∴ AC′+C′D′+BD′ ＞AC+CD+DB， 即AC+CD+DB最短. 问题拓展 任务2 证明AC+CD+DB最短. 归纳小结 造桥选址问题 问题 如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 思路 实际问题 线段和最小问题 两点之间，线段最短 抽象 平移 解决 感受中考 (2022·四川自贡）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则GE+CF的最小值为 ． （作出点E、F的位置即可，无需求值） 感受中考 解 如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小. 布置作业 举出类似本节课数学模型的其他现实问题并加以解决. 人教版八年级上册 谢谢观看！ $$