1.1 认识三角形 第2课时 课件-2025-2026学年浙教版八年级数学上册

第1章 三角形的初步认识 第2课时 三角形中的重要线段 1.1 认识三角形 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 ┐ 知识回顾 2 学习目标 1.了解三角形的角平分线、 中线、高线的概念 2.会利用量角器、刻度尺画 三角形的角平分线、中线和 高线 3.会利用三角形的角平分线、 中线和高线的概念，解决有 关角度、面积计算等问题 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？它 有几条对称轴 ∠1=∠2，角平分线所在的直线即为对称轴 一、三角形的角平分线 获取新知 1 2 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 如图，∠BAC的平分线交BC于点D，线段AD就是ΔABC的一条角平分线。 三角形的角平分线定义 A D B C 三角形的角平分线是一条线段 几何语言 ∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC ∵AD是△BAC的角平分线 A B C D 角平分线是说明角相等的方法之一 三角形角平分线的性质 直角三角形 钝角三角形 锐角三角形 三角形的三条角平分线交于同一点. 交点必在三角形的内部 任意画一个三角形，用刻度尺 画BC的中点D，连接AD. A D C B 二、三角形的中线 一个端点是中点，另一个端点是三角形的顶点 三角形中线的定义 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 A D C B 如图，D为BC 的中点，线段AD就是△ABC 的BC上的中线。 三角形中线是线段 几何语言 A D C B ∵AD是△BAC的中线 ∴BD=DC= BC 三角形中线是说明线段相等的方法之一 三角形中线的性质 直角三角形 钝角三角形 锐角三角形 三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 三、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 三角形高的定义 因为 AD ⊥ BC 所以 AD是△ ABC的BC边上的高 A B C D 因为AD是△ ABC的BC边上的高 所以AD ⊥ BC A B C E F O A B C D                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     A B C D E F O 三角形高的性质 三角形的三条高所在直线交于一点， 这个交点叫做三角形的垂心. 交点在三角形内部 交点是三角形顶点 交点在三角形外部 例1 如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数. 解：因为ＡE是△ABC的角平分线， 因为∠BAC+∠B+∠C=180°, 所以∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°， 所以∠BAE=37.5°. 所以∠AEB=37.5°+60°=97.5°. 所以∠CAE=∠BAE= ∠BAC. 因为∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°， A B C E 例题讲解 例2 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=80°，∠C=40°，求∠DAE的大小. ∵ AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°. ∵ 根据“三角形内角和等于180°”， ∴∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°－∠ADC－∠C =180°－90°－40°=50°. 解：∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=80°， ∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－40°= 10°. B A C D E ∴∠CAE= ∠BAC=40°， 平分线的意义 高线的意义 例3 在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD△ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC的各边长． 解：设AB＝x cm，则AD＝CD＝ x cm. (1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，则x＋ x＝12.解得x＝8， 即AB＝AC＝8 cm，则CD＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)． 此时AB＋AC＞BC，三角形存在， 所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm. (2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，则x＋ x＝15. 解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，则CD＝5 cm. 故BC＝12－5＝7(cm)． 显然此时三角形存在，所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm. 综上所述，△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm. 分两种情况讨论 运用了方程思想 知识点1 三角形的角平分线 图1-1-9 1.如图1-1-9，是 的角平分线，那 么_______ _______. 随堂演练 17 图1-1-10 2.如图1-1-10，是 的角平分线， 若 ，则____ . 40 18 图1-1-11 3.如图1-1-11所示，是 的角平分 线，是 的角平分线.若 ， ，求 的度数. 19 解： 因为 ， ， 所以 . 因为是 的角平分线， 所以 . 因为是 的角平分线, 所以 . 20 知识点2 三角形的中线 图1-1-12 4.如图1-1-12，是 的中线，那么 ______ . 21 5.（2024台州期末）已知是的中线， ，则 的长为( ) C A. B. C. D. 22 图1-1-13 6.（1）（教材作业题T3变式）如图1-1-13， 在中，是 边上的中线， ，，则与 的周 长之差为___； 2 23 （2）（2024绍兴柯桥区期中改编）如图1-1-13，在 中， ，，是边上的中线.若 的周长为20， 则 的周长为____. 22 24 图1-1-14 7.（教材作业题T5变式）如图1-1-14， 是 的中线，，， 于 点，且，求点到 的距离. 25 解： 如图，过点作于点.因为是 的中线， x 26 所以 ， 所以 ， 即 ， 所以，即点到 的距离为4. 27 知识点3 三角形的高线 图1-1-15 8.如图1-1-15，于点，已知 是 钝角，则( ) B A.线段是的 边上的高线 B.线段是的 边上的高线 C.线段是的 边上的高线 D.线段是的 边上的高线 28 9.在中，是边上的高线.若 的面积为4， ，则 ___. 2 29 图1-1-16 10.如图1-1-16，已知 ，求作： （1）角平分线 ； （2）边上的中线 ； （3）边上的高线 . 解：略. 30 图1-1-17 11.如图1-1-17为一张锐角三角形纸片 ， 小明想要通过折纸的方式折出如下线段： 边上的中线 ；的角平分线； 边上的高线 . 根据所学知识与相关活动经验可知，上述三 条线中，能够通过折纸的方式折出的有( ) A A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 31 图1-1-18 12.如图1-1-18，是的 边上的中 线，是的边上的中线.若 的面积为，则 的面积为____. 32 13.数学思想分类讨论，为的高线，为， 所 在直线的交点.若 ，则 的度数是____________. 或 33 14.（2024台州期末）如图1-1-19，在锐角三角形中， 是 它的角平分线，点在边上（不与点，重合），与 交于点 . 图1-1-19 34 （1）若是的边上的中线，， ，则 与 的周长之差为___； 1 （2）若是的边上的高线， ，求 的度数； 35 解：因为是的角平分线， ，所以 .因为是的 边上的 高线，所以 ，所以 ， 所以 . 36 （3）若是的角平分线， ，求 的度数. 解：因为在中， ，所以 .因为，是 的 角平分线，所以， ，所以 ，所以 . 37 $$