精品解析：四川省成都列五中学2024-2025学年高二下学期7月月考数学试题

数学 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 4．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（ ） A. 或1 B. 或1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用等比数列的通项公式和前项和公式，解方程组可得或. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，依题意得， 解得或. 故选：A. 2. 已知空间向量，，，且，，共面，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】因为三个向量共面，由向量的基本定理可知存在实数，使得， 代入计算即可. 【详解】因为共面， 所以存在实数，使得， 即 所以，解得. 故选：D. 3. 双曲线的右焦点为，点P，Q分别在的两条渐近线上.若且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线方程，求出直线方程，进而求出点坐标，即可求出离心率. 【详解】设，不妨设点在上，点在上，由， 得，设直线PF的方程为，由，解得， 由，得是PF的中点，则， 因此，解得，所以双曲线的离心率为2. 故选：C 4. 已知函数,则的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设，则，∴在上为增函数,在上为减函数，∴，，得或均有排除选项A，C，又中,，得且，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 5. 全国大中学生心理健康日主题活动将于2024年5月25日在京举行.现将3名心理健康专家和4名志愿者随机分配到3个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有1名心理健康专家和1名志愿者，则共有多少种分法？（ ） A. 36 B. 72 C. 216 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步计数原理可求总的方法数. 【详解】第一步：将3名心理健康专家分到3个不同的接待点服务每个接待点至少有1名心理健康专家有种方法， 第二步：先将4名志愿者分成三个组有种分法，再将三个组分到三个不同的接待点服务有， 故将4名愿者分到三个不同的接待点服务，每个服务点至少1名志愿者有 故总的分法数有. 故选：C. 6. 如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是的极大值点 D. 是的极小值点 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求得函数在处的切线方程，得到，通过对其求导分析，得出的单调性，极值和值域，即可一一判断选项正误. 【详解】因函数在点处的切线为， 即，则， 于是，，由图知，当时，，此时， 当时，，此时. 对于B项，由上分析，B项显然错误； 对于C, D项，由上分析，当时，单调递增；当时，单调递减, 即当时，取得极大值，且，故C项正确，D项错误； 对于A项，由上分析时，取得极大值，也是最大值， 则有 ，故A项错误. 故选：C. 7. 甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（ ） A. 事件，，是两两互斥的事件 B. 事件与事件为相互独立事件 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥事件，互相独立事件的概念以及条件概率的计算公式逐项判断即可. 【详解】由题意可得，，， 显然事件，，是两两互斥的事件，故A正确； ，故D正确； ，， 所以，故事件与事件不是相互独立事件，故B错误； ，故C正确； 故选：B. 8. 函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，结合的单调性可得，，构建，利用导数求其单调性和最值，即可得结果. 【详解】因为，则， 由题意可得：， 整理可得，即， 又因为在内单调递减，则在内单调递减， 可得，则， 构建，可得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量~，则． B. 若随机变量的方差，则． C. 若，，，则事件与事件独立． D. 若随机变量服从正态分布，若，则． 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合二项分布的期望公式，即可求解A；对于B，结合方差的线性公式，即可求解；对于C，结合事件独立的定义，即可求解；对于D，结合正态分布的对称性，即可求解． 【详解】随机变量，则，故A正确； 随机变量的方差，则，故B错误； 由，即事件与事件独立，故C正确； 随机变量服从正态分布，， 则，故D正确． 故选：ACD． 10. （多选题）已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 数列可以是等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求得，数列是递减数列判断A、C，假设是等比数列，求得矛盾判断B，化为，利用累加法判断D. 【详解】因为，整理有，又，由此可得， 对于A选项，因为，所以数列为递减数列，所以A正确； 对于B选项，若是等比数列，则由可知为定值， 又因为，所以，所以，即， 与矛盾，所以数列不可以是等比数列，所以B错误； 对于C，因为，且为递减数列，又，所以， 所以C正确； 对于D，由，，两边取倒数有， 整理有：， 即，，，， 累加得： ， 即，又，所以， 整理得：，所以D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于对已知条件变形、分析，得到数列的性质. 11. 定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值，极大值为 B. 有两个零点 C. 若在上恒成立，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析即可判断作答. 【详解】，由得：，即， 令，而，则，即有，， 当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减， 于是得在处取得极大值，A正确； 显然，即函数在上有1个零点，而时，恒成立， 即函数在无零点，因此，函数在定义域上只有1个零点，B不正确； ，，令，， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， 因此，当时，，所以，C正确； 因函数在上单调递增，而，则， 又，则，即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为二项式只有第五项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，所以， 则二项式展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 在，，三地爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区人口数的比为3：2：1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可得出答案. 【详解】解：根据题意可得这个人患流感的概率： . 故答案为：. 14. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数在上有两个极值点， 所以在上有两个变号零点， 因为，令，即，可得， 令，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数在上图象， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 设两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知， 当或时，，此时， 当时，，此时， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增， 此时，函数有两个极值点，合乎题意.因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查极值点问题.根据题意函数在上有两个极值点，转化为在上有两个变号零点，即，即有两个不同的根，即直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可判断求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令可求得的值，令，由可得出，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求出的通项公式，利用裂项相消法可求得. 【小问1详解】 因为①，当时可得，即． 当时，②， 由①②得，即， 即是以为首项，为公比的等比数列，所以． 【小问2详解】 因为，， . 16. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示. （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 期望为 （3）0.3 【解析】 【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可； （2）根据分层抽样可知高度在和的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望； （3）根据题意分析可知，结合二项分布的期望公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：每组的频率依次为， 因为，解得. 【小问2详解】 由（1）可得高度在和的频率分别为0.1和0.15， 所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3， 可知可取0，1，2，则有： ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 的期望为. 【小问3详解】 因为高度在的频率为0.1， 用频率估计概率，可知高度在的概率为0.1， 由题意可知：，所以. 17. 如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． （1）证明：平面平面； （2）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明:取的中点，连接， 因为，，， 则，， 故四边形为平行四边形， 所以， 则，所以， 又，故， 故，即， 又平面平面，且平面平面，平面， 故平面，又平面， 故平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点E，连接，利用平面几何知识证明，再利用面面垂直的性质定理证明平面，即可得证； （2）取的中点O，连接，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，利用向量求异面直线与所成角，列方程求出，进而通过向量法求出平面与平面夹角的余弦值； （3）根据点到平面的距离计算可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 所以，且，则两两互相垂直， 故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则，，， 故， 所以， 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 故， 设平面的法向量为，， ，令，则，可得， 由（1）可知平面的一个法向量为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值. 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线，的斜率分别为，，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为，，求的最大值． 【答案】（1） （2）①证明：设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，，则， 所以， ，解得， 即直线的方程为，故直线过定点. ② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标； ②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值. 【小问1详解】 解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）①； ②，理由如下： 不妨令， ， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论函数的单调性. （2）①把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为. ②，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 4．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（ ） A. 或1 B. 或1 C. D. 2. 已知空间向量，，，且，，共面，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 双曲线的右焦点为，点P，Q分别在的两条渐近线上.若且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知函数,则的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 全国大中学生心理健康日主题活动将于2024年5月25日在京举行.现将3名心理健康专家和4名志愿者随机分配到3个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有1名心理健康专家和1名志愿者，则共有多少种分法？（ ） A. 36 B. 72 C. 216 D. 256 6. 如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是的极大值点 D. 是的极小值点 7. 甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（ ） A. 事件，，是两两互斥的事件 B. 事件与事件为相互独立事件 C. D. 8. 函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量~，则． B. 若随机变量的方差，则． C. 若，，，则事件与事件独立． D. 若随机变量服从正态分布，若，则． 10. （多选题）已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 数列可以是等比数列 C. D. 11. 定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值，极大值为 B. 有两个零点 C. 若在上恒成立，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是__________． 13. 在，，三地爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区人口数的比为3：2：1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是___________. 14. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 16. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示. （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的数学期望. 17. 如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． （1）证明：平面平面； （2）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线，的斜率分别为，，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为，，求的最大值． 19. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $