精品解析：贵州省贵阳市观山湖区远大中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

观山湖区远大中学2025年春季学期（八）年级期中质量检测 数学试卷 （闭卷，满分100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质．根据直角三角形的两个锐角互余，则可求解． 【详解】解：，， ， 故选：A． 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．在数轴上实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左．根据在数轴上表示不等式解集的方法即可解答． 【详解】解：在数轴上表示不等式的解集，正确的是， 故选：B． 3. 若a＞b，则下列不等式中成立的是（　　） A. a-5＞b-5 B. ＜ C. a+5＞b+6 D. -a＞-b 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变，所以a-5＞b-5成立； 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以＜不成立； 因为a+5＞b+5成立，所以a+5＞b+6不一定成立； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，所以-a＞-b不成立． 故选A． 4. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质直接可得． 【详解】如图，过点P作，垂足为点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质；掌握好有关角平分线的基础知识是关键． 5. 在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向上平移2个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A. （3，4） B. （1，2） C. （5，2） D. （3 ，0） 【答案】A 【解析】 【分析】根据纵坐标，上移加，下移减，横坐标不变解答即可． 【详解】解：将点P(3，2)向上平移2个单位长度所得到的点坐标为(3，2+2)， 即(3，4)， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，关键是掌握点的坐标的变化规律． 6. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有两个角是直角 B. 有两个角是钝角 C. 有两个角是锐角 D. 一个角是钝角，一个角是直角 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：熟记反证法的步骤，然后进行判断． 解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A． 点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 7. 2024年6月5日，是二十四节气芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 8. 不等式组中整数解和是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后确定其整数解即可． 【详解】解：不等式组的解集为， 所以不等式组整数解为，0，1，2， 所以整数解的和是． 故选：C． 9. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质．由旋转的性质及，可得是等边三角形，从而，则由．计算即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点A按顺时针旋转一定角度得到， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 10. 图，等边中，于点分别为上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′， 【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BC， ∵BD⊥AC， ∴AD=DC=AQ+QD=3.5cm， ∴AB=AC=2AD=7， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′， , ∴QD=DQ′=1.5（cm）， ∴AQ′=AD+DQ′=3.5+1.5=5(cm) ∵BP=2（cm）， ∴AP=AB-BP=7-2=5（cm） ∴AP=AQ′=5（cm）， ∵∠A=60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′=PA=5（cm）， ∴PE+QE的最小值为5cm． 故选择：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11. “与1的差小于3”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．先表示“a与1的差”，再表示“小于3”即可． 【详解】解：“与1的差小于3”用不等式表示为：， 故答案为：． 12. 如图中，，，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半．根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：3． 13. 如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键． 由平移的性质可得,,再根据的周长为可得，然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴,, ∵的周长为， ∴,即， ∴四边形的周长为． 故答案为：30． 14. 如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为_____．　 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出∥∥，以及，得出，，，进而得出答案； 【详解】如图所示， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴∥∥，∥， ∴，， ∴， ∴，，， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和图形规律，准确分析计算是解题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求不等式（组）的解集．并把不等式（组）的解集在数轴上表示出来． （1）； （2） 【答案】（1）；数轴见解析 （2）．数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项合并，即可求出解集，然后在数轴上表示该不等式的解集即可． （2）分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，然后在数轴上表示该不等式组的解集，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 解集在数轴上表示如图， ； 【小问2详解】 解：， 由，解得， 由，解得， ∴不等式组的解集为． 该不等式组的解集在数轴上表示出来： ． 16. 如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；求出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，即可得证． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ． 17. 如图，在中，请解答下列问题： （1）请用尺规作图的方法作边的垂直平分线，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：线段的垂直平分线，如图所示： ； 【小问2详解】 解：垂直平分线段， ， ∴的周长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）将向右平移4个单位长度后得到，画出； （2）画出关于原点中心对称的图形； （3）的面积是________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，原点对称，熟练掌握相应的知识是解题的关键． （1）根据平移规律，确定变换后的点的位置，画图即可； （2）根据原点对称的要求确定变换后的点的位置，画图即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，则即为所求． ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：的面积是． 故答案为：． 19. 如图，直线与直线直线相交于点． （1）分别求和的值； （2）当时，结合图象直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用图象法解决自变量的求值问题． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象写出直线的图象在直线的图象的上方的自变量的取值范围即可 【小问1详解】 解：对于直线，当时，， ， 把代入中，得到， 解得； 【小问2详解】 解：观察图象可知：当时x的取值范围为． 20. 北京时间2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．某商场为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种型号运载火箭模型进行销售．据了解，1件种型号运载火箭模型和2件种型号运载火箭模型的进价共计70元；3件种型号运载火箭模型和2件种型号运载火箭模型的进价共计130元． （1）求，两种型号运载火箭模型每件的进价分别为多少元？ （2）若该商场计划用不超过700元的资金购进这两种型号运载火箭共30件，求种型号运载火箭模型最多能购买多少件？ 【答案】（1）A种型号运载火箭模型每件进价为30元，B种型号运载火箭模型每件进价为20元； （2）A种型号运载火箭模型最多购进10件． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式解决实际问题，根据题意准确列出方程组以及不等式是解题关键． （1）设A种型号运载火箭模型每件进价为x元，B种型号运载火箭模型每件进价为y元，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设A种型号运载火箭模型购进m件，则B种型号运载火箭模型购进为件，根据超市计划用不超过700元资金购进这两种型号运载火箭模型共30件，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A种型号运载火箭模型每件进价为x元，B种型号运载火箭模型每件进价为y元， 根据题意，得：， 解得，， 答：A种型号运载火箭模型每件进价为30元，B种型号运载火箭模型每件进价为20元； 【小问2详解】 解：设A种型号运载火箭模型购进m件，则B种型号运载火箭模型购进为件， 根据题意可得：， 解得：． 答：A种型号运载火箭模型最多购进10件． 21. 如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）________度； （3）如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）平分．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质可得，，结合等边三角形的性质可证明即可得出结论； （2）过点作，，垂足分别为，，利用（1）中证得全等得到； （3）利用面积相等求得，可证得，从而得到，则平分． 【小问1详解】 证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：平分．理由如下， 如图，过点作，，垂足分别为，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 观山湖区远大中学2025年春季学期（八）年级期中质量检测 数学试卷 （闭卷，满分100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A B. C. D. 3. 若a＞b，则下列不等式中成立的是（　　） A. a-5＞b-5 B. ＜ C. a+5＞b+6 D. -a＞-b 4. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 5. 在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向上平移2个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A. （3，4） B. （1，2） C. （5，2） D. （3 ，0） 6. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有两个角是直角 B. 有两个角是钝角 C. 有两个角是锐角 D. 一个角是钝角，一个角是直角 7. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组中整数解的和是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 图，等边中，于点分别为上两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11. “与1的差小于3”用不等式表示为________． 12. 如图中，，，，则________． 13. 如图，将沿方向平移得到，若周长为，则四边形的周长为_______． 14. 如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为_____．　 四、解答题：本题共7小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求不等式（组）解集．并把不等式（组）的解集在数轴上表示出来． （1）； （2） 16. 如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接，且，．求证：． 17. 如图，在中，请解答下列问题： （1）请用尺规作图的方法作边的垂直平分线，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求的周长． 18. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）将向右平移4个单位长度后得到，画出； （2）画出关于原点中心对称的图形； （3）的面积是________． 19. 如图，直线与直线直线相交于点． （1）分别求和的值； （2）当时，结合图象直接写出的取值范围． 20. 北京时间2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．某商场为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种型号运载火箭模型进行销售．据了解，1件种型号运载火箭模型和2件种型号运载火箭模型的进价共计70元；3件种型号运载火箭模型和2件种型号运载火箭模型的进价共计130元． （1）求，两种型号运载火箭模型每件的进价分别为多少元？ （2）若该商场计划用不超过700元的资金购进这两种型号运载火箭共30件，求种型号运载火箭模型最多能购买多少件？ 21. 如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）________度； （3）如图2，连接，平分吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $