第06讲 有理数的乘方和混合运算（知识清单+易错+7必考题型）（讲义）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版2024）

第06讲 有理数的乘方和混合运算 题型梳理 易错分析 易错点一 对与 理解不清而致错 题型方法 题型一 乘方的概念 题型二 乘方的运算 题型三 用科学记数法表示较大的数 题型四 用科学记数法将表示的数还原 题型五 有理数的混合运算 题型六 计算器的基本操作 题型七 近似数与精确度 知识清单 知识点1．有理数的乘方 1.有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） 2.乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 3.任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点2．有理数的混合运算 1.有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 2.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 知识点3．近似数和有效数字 1.有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 2.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 3.规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点4．科学记数法—表示较大的数 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 知识点5．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 知识点6．科学记数法—原数 1.科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． 2.把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点7．科学记数法与有效数字 1.用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； 2.用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 知识点8．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下： （1） 键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字． （2） （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 易错分析 【易错点一】对与 理解不清而致错 【例1】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各式中，值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了乘方、绝对值、符号化简、有理数的混合运算，分别计算各选项两式的值，判断是否相等． 【详解】解：A、，，即与不相等，故不符合题意； B、，，即与不相等，故不符合题意； C、，，即与相等，故符合题意； D、，，即与不相等，故不符合题意． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方，分别计算各选项中两个表达式的值，比较是否相等． 【详解】解：A.，，结果不相等，故选项A不符合题意； B.，，结果相等，故选项B符合题意； C.，，结果不相等，故选项C不符合题意； D.，，结果不相等，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列各组数中相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和绝对值，有理数的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据相反数和绝对值，有理数的乘方运算逐项计算比较即可． 【详解】解：A、，，，不符合题意； B、，，，不符合题意； C、，，，符合题意； D、，，，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的运算，绝对值，熟练掌握乘法的定义及运算是解题的关键．利用乘方的定义依次进行计算，即可判断． 【详解】解：A中，∵，， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B中，∵，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； C中，∵，， ∴， 故选项C错误，符合题意； D中，∵，， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 题型方法 【题型一】乘方的概念 【例1】（24-25七年级上·广东·期中）在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念解答即可，熟练掌握有理数幂的概念是解此题的关键． 【详解】解：在中，底数是10， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【详解】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法以及乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．根据m个5相乘可表示为，n个9相加可以表示为，即可得解． 【详解】解：式子可表示为， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·广东梅州·期中）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 【题型二】乘方的运算 【例2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）对于任意数m，下列各式一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的非负性及正数的判断．逐一分析各选项是否恒为正数即可． 【详解】选项A：，平方数非负，当时，值为0，非正数，排除． 选项B：，当时（如），结果为负数，排除． 选项C：，绝对值非负，当时，值为0，非正数，排除． 选项D：，因，故，无论取何值，结果恒为正数． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．利用有理数的混合运算法则计算，逐一判断即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是明确非负数的性质，求出相应的x、y的值． 根据相反数的意义和非负数的性质建立方程，可以得到x、y的值，从而可以求得． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数满足：，且，则请求的值． 【答案】4或8或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方，根据绝对值的意义，和乘方法则，求出的值，再进行减法运算即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，或 ∴或或． 【题型三】用科学记数法表示较大的数 【例3】（24-25七年级上·广东湛江·期中）2023年12月24日，上海市慈善基金会的第三批赈灾物资发车运往甘肃积石山．该批赈灾物资总价值达1500万余元，将数据1500万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：1500万． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）据贵阳市疾控中心统计，截至2023年10月30日，贵阳市已有3100000余人完成流感疫苗接种，将数字3100000用科学记数法表示，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：， 根据科学记数法的表示形式可知，n的值为6． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）法国奥运会期间，巴黎总计接待访客数量约1120万人次．其中数据1120万用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：1120万． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·河南周口·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 【答案】(1) (2)7000吨 【分析】本题主要考查了长方体的体积公式，科学记数法的表示方法，及同底数的幂的乘法．解题的关键是明确同底数幂的乘法和除法的运算法则． （1）根据长方体的体积=长×宽×高，先求出它的体积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数； （2）根据总重量÷大理石块数=每块大理石的重量列出代数式即可． 【详解】（1）根据题意．得每块大理石的体积， 答：每块大理石的体积为． （2）根据题意，得（千克）（吨） 答：这列火车总共运选了约7000吨大理石． 【题型四】用科学记数法将表示的数还原 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收元，也就是说增收了（   ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．万元 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，把写成原数，则需把小数点向右移动为即可，解题的关键是正确理解科学记数法的表示形式中，原数的整数位为，原数等于把小数点向右移动位所得的数，若向右移动，位数不够用补上． 【详解】解：元元亿元， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示原数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 则原数中数字“3”后“0”的个数为5， 故选：C 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米． 【答案】792 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为为正整数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据科学记数法表示形式解答即可． 【详解】解： 平方米，则原数为792万平方米． 故答案为：792． 【变式3】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)200000 (2)5180 (3)7040000 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． （1）利用科学记数法的法则解答即可； （2）利用科学记数法的法则解答即可； （3）利用科学记数法的法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的原数为200000； （2）解：∵， ∴的原数为5180； （3）解：∵， ∴的原数为7040000． 【题型五】有理数的混合运算 【例5】（24-25七年级上·广西河池·期末）请把二进制数转换成十进制数（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，二进制数与十进制数的转换，解题的关键是熟练掌握二进制数与十进制数的转换方法．利用二进制数与十进制数的转换方法得，求解即可． 【详解】解：二进制数转换成十进制数为， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，仿照题干给出的计算方法，列出算式进行计算即可． 【详解】解：（天）； 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是含乘方运算的混合运算，先计算乘方，再计算乘法运算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式3】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算加减； （2）先计算有理数的乘方，再由乘法分配律计算，最后进行加减计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 【题型六】计算器的基本操作 【例6】（24-25六年级上·山东淄博·期末）科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学计算器的使用，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：用计算器计算得． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（22-23六年级上·山东东营·期中）如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学计算器，熟练掌握科学计算器使用原理方法，是解题的关键， 此按键顺序是使计算器先自动计算立方，再计算乘除， 【详解】解：根据按键顺序可得算式为：． 故选：B． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．用计算器进行混合运算时，应先按键进行乘方运算再按键进行乘除运算，最后按键进行加减运算 B．输入的按键顺序是 C．输入的按键顺序是 D．计算应按键 【答案】D 【分析】本题考查了用计算器进行有理数的运算，熟练掌握计算器的按键顺序是解题的关键． 根据计算器的运算要求和按键顺序逐项判断即可． 【详解】解： 用计算器进行混合运算时，直接输入计算即可，不用根据有理数的混合运算顺序输入，故选项A不正确； 输入的按键顺序是，故选项B不正确； 输入的按键时要有括号，故选项C不正确； 按键顺序正确，故选项D正确； 故选：D． 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）用科学计算器进行以下按键操作，则输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查计算器．根据科学计算器计算方法作答即可． 【详解】解：由题意可知科学计算器计算的是， 故答案为：． 【题型七】近似数与精确度 【例7】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）有一个数学常数叫“黄金分割比”，它的值约为0.61803399，将0.61803399用四舍五入法精确到0.001的近似数为（   ） A．0.61 B．0.62 C．0.6 D．0.618 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．把万分位上数字0进行四舍五入即可． 【详解】解：将0.61803399用四舍五入法精确到0.001的近似数为． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·福建莆田·期中）下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到十分位 B．近似数1.28万精确到百分位 C．近似数3.9953精确到百分位是4.00 D．近似数2.3与2.30精确度相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，精确度就是表示一个近似数与准确数的接近程度，一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位． 【详解】解：A、近似数，精确到百位，原说法错误，不符合题意； B、近似数万，精确到百位，原说法错误，不符合题意； C、近似数精确到百分位是，原说法正确，符合题意； D、近似数与，精确度不相同，原说法错误，不符合题意； 故选:C． 【变式2】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 【答案】C 【分析】本题考查近似数．根据精确度的要求和四舍五入法，即可解答本题． 【详解】解：， ∴用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为2.80， 故选：C． 【变式3】（23-24七年级上·四川乐山·期末）精确到 位，万精确到 位． 【答案】 百分 百 【分析】本题考查近似数的精确度，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：精确到百分位，万精确到百位． 故答案为：百分，百． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25六年级上·山东威海·期中）近似数亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．百万位 D．千万位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的知识，先将亿还原为原数，再看近似数中最后一位数字所在的数位，即可确定其精确到的数位． 【详解】解：亿即302000000， 则302000000中，数字2在百万位， 故近似数亿精确到百万位， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：由题意得，工作一分钟可达到的运算次数为． 故选：C． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，且，则时值为（） A． B． C．20 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值和乘方的性质求出和的值，再根据得到和同号，分类讨论求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴和同号， 当时，; 当时，; 综上，的值为， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值和乘方的性质，解题的关键是根据题意得到和同号． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，根据乘法和乘方的意义解答即可． 【详解】解：． 故选D． 5．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．若将二进制数转化成十进制数，计算方式举例如下：；；．则将二进制数转化成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）的含义正确的是（   ） A．与的积，即： B．个相乘的积，即： C．个相乘的积的相反数，即： D．个相乘的积的相反数，即： 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算； 根据有理数的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：表示3个2相乘的积的相反数，即：； 故选：C 二、填空题 7．（24-25七年级上·青海西宁·期中）用四舍五入法给取近似值，精确到的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数，精确到时，需观察小数点后第3位上的数，四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为． 8．（24-25六年级下·上海·期中）某企业2024年的年产量为180万吨，预计每年产量将比上一年增长10%，则2026年的预计年产量为 万吨． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算的实际应用． 由题意得下一年是前一年的产量乘以，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，年的预计年产量为（万吨） 故答案为：． 9．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 【答案】 5 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． （1）直接根据规定的定义解答即可； （2）根据规定的定义先求得a、b的值，再按定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 10．（2024七年级上·四川成都·专题练习）一个自然数与它自己相乘，积称为完全平方数．1，4，9，16…是连续的完全平方数，数1500介于两个连续自然数的完全平方数之间，这两个完全平方数中更接近1500的数是 ． 【答案】1521 【分析】本题主要考查完全平方数；举出与1500相近的平方数，再与1500相减求出与1500最相近的平方数即可． 【详解】解：∵， ， ∵，即39的平方更接近1500． 故答案为：1521． 三、解答题 11．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）计算，能简算的要简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）根据乘法运算律将原式整理为，再进行有理数乘法运算，然后相加减即可； （2）首先进行乘方运算以及括号内的运算，再进行乘除运算，然后相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先将除法化为乘法，并将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 13．（2024七年级上·全国·专题练习）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）； (2)0.1395（精确到0.001）． 【答案】(1)2.72 (2)0.140 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． （1）（2）根据精确度的定义解答即可． 【详解】（1）解：（精确到百分位）； （2）解：（精确到）． 14．（24-25六年级上·上海·期中）请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 【答案】相反数为，相反数为，的相反数为，数轴见解析 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，相反数定义，用数轴上的点表示相反数，先求出各个数，然后写出相反数，再把各个数表示在数轴上即可． 【详解】解：，相反数为， ，相反数为， 的相反数为， 把各个数表示在数轴上，如图所示： 15．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______； (2)请你计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2），， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘方和混合运算 题型梳理 易错分析 易错点一 对与 理解不清而致错 题型方法 题型一 乘方的概念 题型二 乘方的运算 题型三 用科学记数法表示较大的数 题型四 用科学记数法将表示的数还原 题型五 有理数的混合运算 题型六 计算器的基本操作 题型七 近似数与精确度 知识清单 知识点1．有理数的乘方 1.有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） 2.乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 3.任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点2．有理数的混合运算 1.有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 2.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 知识点3．近似数和有效数字 1.有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 2.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 3.规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点4．科学记数法—表示较大的数 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 知识点5．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 知识点6．科学记数法—原数 1.科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． 2.把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点7．科学记数法与有效数字 1.用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； 2.用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 知识点8．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下： （1） 键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字． （2） （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　易错分析 【易错点一】对与 理解不清而致错 【例1】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各式中，值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列各组数中相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3】（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型方法 【题型一】乘方的概念 【例1】（24-25七年级上·广东·期中）在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·广东梅州·期中）的底数是 ，指数是 ． 【题型二】乘方的运算 【例2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）对于任意数m，下列各式一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知与互为相反数，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数满足：，且，则请求的值． 【题型三】用科学记数法表示较大的数 【例3】（24-25七年级上·广东湛江·期中）2023年12月24日，上海市慈善基金会的第三批赈灾物资发车运往甘肃积石山．该批赈灾物资总价值达1500万余元，将数据1500万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）据贵阳市疾控中心统计，截至2023年10月30日，贵阳市已有3100000余人完成流感疫苗接种，将数字3100000用科学记数法表示，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）法国奥运会期间，巴黎总计接待访客数量约1120万人次．其中数据1120万用科学记数法表示为 【变式3】（24-25七年级上·河南周口·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 【题型四】用科学记数法将表示的数还原 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收元，也就是说增收了（   ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．万元 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米． 【变式3】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 【题型五】有理数的混合运算 【例5】（24-25七年级上·广西河池·期末）请把二进制数转换成十进制数（  ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算的结果是 ． 【变式3】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 【题型六】计算器的基本操作 【例6】（24-25六年级上·山东淄博·期末）科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23六年级上·山东东营·期中）如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．用计算器进行混合运算时，应先按键进行乘方运算再按键进行乘除运算，最后按键进行加减运算 B．输入的按键顺序是 C．输入的按键顺序是 D．计算应按键 【变式3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）用科学计算器进行以下按键操作，则输出的结果是 ． 【题型七】近似数与精确度 【例7】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）有一个数学常数叫“黄金分割比”，它的值约为0.61803399，将0.61803399用四舍五入法精确到0.001的近似数为（   ） A．0.61 B．0.62 C．0.6 D．0.618 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·福建莆田·期中）下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到十分位 B．近似数1.28万精确到百分位 C．近似数3.9953精确到百分位是4.00 D．近似数2.3与2.30精确度相同 【变式2】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 【变式3】（23-24七年级上·四川乐山·期末）精确到 位，万精确到 位． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25六年级上·山东威海·期中）近似数亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．百万位 D．千万位 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，且，则时值为（） A． B． C．20 D． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．若将二进制数转化成十进制数，计算方式举例如下：；；．则将二进制数转化成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．11 D．13 6．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）的含义正确的是（   ） A．与的积，即： B．个相乘的积，即： C．个相乘的积的相反数，即： D．个相乘的积的相反数，即： 二、填空题 7．（24-25七年级上·青海西宁·期中）用四舍五入法给取近似值，精确到的结果是 ． 8．（24-25六年级下·上海·期中）某企业2024年的年产量为180万吨，预计每年产量将比上一年增长10%，则2026年的预计年产量为 万吨． 9．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 10．（2024七年级上·四川成都·专题练习）一个自然数与它自己相乘，积称为完全平方数．1，4，9，16…是连续的完全平方数，数1500介于两个连续自然数的完全平方数之间，这两个完全平方数中更接近1500的数是 ． 三、解答题 11．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）计算，能简算的要简算 (1)； (2)． 12．（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）； (2)0.1395（精确到0.001）． 14．（24-25六年级上·上海·期中）请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 15．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______； (2)请你计算： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$