专题02 利用导数解决不等式恒成立及有解问题（7重难点题型）（讲义）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

专题02 利用导数解决不等式恒成立及有解问题 题型梳理 题型方法 题型一 端点效应解决恒成立问题 题型二 参数全分离解决恒成立问题 题型三 不等式恒成立求参数范围 题型四 变量半分离解恒成立问题 题型五 不等式恒成立求参数差的最小值 题型六 不等式有解求参数最小值 题型七 通过同构思想解决不等式有解问题 题型方法 【题型一】端点效应解决恒成立问题 【例1】（2024·湖北武汉·二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可. 【详解】令，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 可得，解得， 若，令， 则， 则在上递增，可得， 即对任意恒成立， 则在上递增，可得， 综上所述：符合题意，即实数的取值范围为. 故选：A. 【举一反三】【变式1】（2020·甘肃白银·模拟预测）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解. 【详解】由，可知． 设，则， 所以函数在上单调递增， 所以． 所以． 故的取值范围是． 故选：B 【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 【变式2】（2020·四川绵阳·一模）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式变形为，则直线在函数（）图象的上方，则直线过原点，斜率为，利用导数研究函数的单调性，由导数的几何意义得出结论． 【详解】因为，所以题中不等式可变形为，即，设，， 所以时，，单调递增，时，，单调递减，时，， 又在原点处切线斜率为，直线过原点且斜率为，则由（）恒成立得，， 此时，令，则，设， 则，当时，，递增，即递增， 所以，所以在上单调递增，，所以（）恒成立， 综上． 故选：D． 【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，考查转化与化归思想，解题关键是把不等式恒成立转化为函数图象在直线下方，通过研究导数的几何意义，得出参数的范围，然后再利用导数的知识进行证明此时不等式恒成立，从而确定结论． 【变式3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导，利用导数分析可知在内单调递增，结合恒成立问题可得，构建，求导判断其单调性，根据单调性解不等式即可. 【详解】由题意可得：， 因为，则有： 若，则，可得，则； 若，则，可得； 综上所述：，可知在内单调递增， 则， 若对任意的，恒成立，则， 构建，则， 可知在内单调递增， 由可得， 且，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型二】参数全分离解决恒成立问题 【例2】（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【详解】因为，即， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. 故选：C. 【举一反三】【变式1】（2025·四川达州·模拟预测）若，函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式恒成立问题及分离参数法可得对任意的恒成立，由，当且仅当时等号成立，可得，即可求解. 【详解】， 由题意可得，即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立. 设. 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，故1，当且仅当时等号成立， 又， 所以， 当且仅当时取等号， 令，则， 所以使，即，故. 故选：D. 【变式2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原不等式做适当变形构造函数，利用函数单调性把参数分离出来，最后转化为求函数最值问题。 【详解】∵ ∴ 两边加上得 设，则在上单调递增， ∴，即 令，则 ∵的定义域是 ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴当时，取得极大值即为最大值，且， ∴，∴即为所求. 故答案为： 【变式3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当时，单调递增，当时，单调递减． 所以时，有最大值，于是，解得． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解本题的关键是，将已知条件转化为恒成立，通过构造函数，利用导数结合函数的单调性得到，进而构造函数，计算求得结果. 【题型三】不等式恒成立求参数范围 【例3】（2023·贵州·二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果. 【详解】对任意，，都有不等式成立， ，，，则在区间上单调递增， ∴， ，，，则在上单调递增， ，，则在上单调递减， ，，故， 综上，. 故选：C 【举一反三】【变式1】（2022·河南·模拟预测）函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令将问题转化为求解函数的最大值问题，利用导数即可求出答案． 【详解】，，令，， 则，令，， 则，，由题意，只需．当时， ，当时，，所以在上单调递增，在上单调递 减，所以，故实数的取值范围为． 故选：D 【变式2】（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ． 【答案】 【分析】将问题转化为不等式在上能成立，利用导数研究函数的单调性求出即可. 【详解】由，得， 即不等式在上能成立. 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. (2). 【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调性，得到答案； （2）由（1）得出的最小值，得出，设，求导，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）. ，，∴当 时，，∴ 在上单调递减； 当 时，. 令 ，解得：. 由，解得：；由，解得：. 时， 单调递减，单调递增； 综上可知：当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. （2）由（1）知，当 时， 在 是减函数，在 是增函数， ， ∴， ∴（*）. 令，则， ∴在上单调递减， 又∵，∴不等式（*）的解集为，即的取值范围是. 【题型四】变量半分离解恒成立问题 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行求导得，则方程在时有两个根，利用导数研究函数的值域，即可得 【详解】因为，得， 所以在时有两个变号根， 令， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减，且， 当时，；当时，， 所以与，所以，    故选：B 【举一反三】【变式1】（2022·河南·模拟预测）若关于x的不等式在区间上有且只有一个整数解，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知在区间上有且只有一个整数解，利用导数分析函数的图象，根据图象确定实数k的取值范围. 【详解】当时，不等式可化为 令，则， 令可得， 当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在上单调递增， 又，． 由此可得函数的图象如下： 由已知不等式在区间上有且只有一个整数解， ∴ ∴ ， 即实数k的取值范围为． 故选：D. 【变式2】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数存在唯一零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为函数在上无零点或有唯一零点，然后令，参变分离，利用导数可解. 【详解】存在唯一零点，是的唯一零点， 则在上无零点或有唯一零点， 即在上无解或有唯一解 令，则，所以在单调递减，在上单调递增， 在处有最小值. 由图可知，要使在上无解或有唯一解，只需.    综上，. 故答案为：. 【变式3】（2023·江苏淮安·模拟预测）已知函数有三个零点，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据零点定义得方程后，参数分离，构造函数求值域后数形结合即可得. 【详解】由得，， 所以若函数有三个零点，则方程有三个根， 设，则， 令得，或， 当时，，递减， 当时，，递增， 当时，，递减， 又， 作出函数的大致图像，如图， 由图可知，当时，函数有三个零点.    故答案为：. 【题型五】不等式恒成立求参数差的最小值 【例5】（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意确定有公共零点，设为，即可得到，构造函数，求出其最小值，即可求得答案. 【详解】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点， 而不等式恒成立， 若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立； 故，则有公共零点，设为， 则，即， 故， 令，则， ，由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 则时，；时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为1， 故选：C 【举一反三】【变式1】（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】找到的零点可得，构造函数，由导数分析单调性找到最小值即可. 【详解】当时，，不满足恒成立； 当时，令，可得或， 函数的零点为和， 因为恒成立，所以， 所以， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则， 所以的最小值为1. 故选：D 【变式2】（2022·四川成都·模拟预测）已知，且恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将恒成立不等式化为，利用导数可求得单调性，可知，由此可得；由知：，求导后，根据的范围讨论单调性，进而得到；由可求得结果. 【详解】由，得：； 令，， 令，则， 在上单调递减，，则， 在上单调递减，，； 令，则， ，； 当时，，在上单调递增，，不合题意； 当时，，在上单调递减，，满足题意； 当时，，使得，又在上单调递减， 当时，， 在上单调递增，则，不合题意； 综上所述：； . 故选：D. 【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求在处的切线方程； (2)设函数，若恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）首先求出的解析式，即可得到，再，即可得到存在唯一使得，即，从而得到的单调性，求出，即可得到，即可表示出，再利用导数求出函数的最小值. 【详解】（1），，，     ， ， ， 在处的切线方程为，即； （2） ，， 则，， 令，则在上单调递增， 当时，当时， 故存在唯一使得，即， 则当时，即，所以在上单调递减， 当时，即，所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以，， 令，， 则，所以当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 所以， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【题型六】不等式有解求参数最小值 【例6】（2020·黑龙江绥化·模拟预测）已知函数，存在，使得不等式有解，则实数m的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】首选求得导数，对，由＝0得，设，利用导数求得，从而知当时，，因此易得的正负，得单调性与最小值为，换元令，，利用导数求得最小值即得结论． 【详解】. 由，得，设，则， 当时，；当时，，从而在上递增，在上递减，∴， 当时，，即， 在上，，.递减；在上，，，递增， ，设， ∴，，∴在上递减，，∴m的最小值为0. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式有解求参数范围问题，解题关键是转化为求函数的最小值．利用导数求解是基本方法． 【举一反三】【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. 【变式2】（2020·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若不等式有解，则整数的最小值为 . 【答案】 【解析】由函数解析式及不等式，分离参数并构造函数，经过两次求导，可判断的单调性，结合零点存在定理可知存在使得，再求出的范围，进而由不等式有解，即可求得整数的最小值. 【详解】函数，， 且不等式有解， 所以，即有解， 只需， 令，， 则，设 则， 即在内单调递增， 而， ， 所以存在使得， 而当时单调递减，当时单调递增， 所以在处取得极小值，即为最小值. 此时， ， 设， 恒成立， 单调递增， ，即， 又因为，即 而，所以整数的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数与函数单调性、极值与最值的综合应用，零点存在定理的应用，由不等式有解求参数的值，属于中档题. 【变式3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求得，结合，构造，应用导数研究其零点，即可求参数值； （2）问题化为有解，构造研究不等式能成立求参数范围. 【详解】（1）设的图象与直线切于点，则①， ，则，即，代入①式得. 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 故，即. （2）由题意得有解，即有解. 令，则， 若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意； 若， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 【题型七】通过同构思想解决不等式有解问题 【例7】（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数转化为，构造函数，利用导数法求出，即为所求. 【详解】不等式有解，即，，只需要， 令， ，， 令，， ，所以函数在上单调递增， 又，，所以存在，使得，即， ，，即；，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，又由，可得， . . 故选：A. 【点睛】思路点睛：由题意问题转化为，，构造函数，利用导数求出的最小值，即只要. 【举一反三】【变式1】（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将由不等式转化为，令，得到，令函数，问题转化为存在，使得，利用导数求得函数的单调性，结合，得到且，即可求解. 【详解】由不等式，即， 令，即有， 又由，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 令，问题转化为存在，使得， 因为，令，可得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以当时，， 若存在，使得成立，只需且， 解得，因为，所以. 故选：A. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 【变式2】（2024·全国·模拟预测）若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由转化为，然后构造函数，再利用导数求函数的单调性，从而求解. 【详解】因为，，所以，不等式可以化为， 令，则，所以． 当时，，故函数在上单调递增． 当时，，不合题意，舍去． 当时，，因为在上单调递增，， 所以，即．令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，所以在上单调递增，故， 所以，即，矛盾，故舍去． 当时，，所以当时，， 所以，即． 综上可得，实数的取值范围是． 【点睛】根据不等式构造函数，利用导数研究求解函数单调性，从而求解不等式. 【变式3】（2021·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）当时，不等式变形为在上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则 由（1）知时，即， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数a的取值范围是. 好题必刷 一、单选题 1．（2022·四川成都·模拟预测）已知，且恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将恒成立不等式化为，利用导数可求得单调性，可知，由此可得；由知：，求导后，根据的范围讨论单调性，进而得到；由可求得结果. 【详解】由，得：； 令，， 令，则， 在上单调递减，，则， 在上单调递减，，； 令，则， ，； 当时，，在上单调递增，，不合题意； 当时，，在上单调递减，，满足题意； 当时，，使得，又在上单调递减， 当时，，在上单调递增，则，不合题意； 综上所述：； . 故选：D. 2．（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同构可得即在上恒成立，设，利用导数求出该函数的最小值后可得参数的取值范围. 【详解】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故， 故选：B. 3．（2023·吉林·三模）已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为，根据的单调性得，再用常数分离法求出的取值范围. 【详解】由得， 即 ， 令，，则， 所以在上单调递增， 而等价于， ∴，即 令，，则， 所以在时，为增函数；在在时，为减函数， 所以最大值为，∴． 故选：C 【点睛】方法点睛：同构法解不等式恒成立求参数范围问题时先将原不等式化成 后再利用函数单调性得到与的大小关系，由此得到参数范围. 4．（2023·江西·模拟预测）已知有解，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形为，设，由已知方程在）上有解，故，利用导数求函数的最小值可得实数a的取值范围. 【详解】不等式可化为 ， ， 令，则且， 由已知不等式在上有解， 所以在上有解. 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以，所以， 所以a的取值范围为， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过不等式的变形，结合函数与不等式的关系将条件转化为函数的最值问题. 5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，若对任意的，恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原问题等价转化，即对任意的，恒成立，分，两种情况，利用分离参数法求出a的取值范围. 【详解】将原问题等价转化，即对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立． 分，两种情况，利用分离参数法求出a的取值范围. ①当时，恒成立，此时； ②当时，不等式等价于． 设，则． 设，则， 令，得，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以，又通过观察函数的解析式得到， 所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以. 故a的取值范围为． 故选：C. 【点睛】求解含参不等式恒成立问题的关键是过“双关” 转化关 通过分离参数，将不等式转化为（或）对任意的（D为定义域）恒成立，再转化为（或）． 最值关 求函数在区间D上的最大值（或最小值）． 二、多选题 6．（2023·重庆·模拟预测）已知，当时，存在b，，使得成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对A，构造函数，求导，再设，利用其单调性得到，然后对分类讨论即可；对B，计算出在时的切线方程即可得到，即可得到的范围，对于C,D，代入得，则可确定和的范围， 【详解】对A，由,令, 所以, 令,其对称轴为,故函数在上单调递增, 所以, 当时,即时,, 则函数单调递增,所以. 当时,即时,存在,使得,即, 当时,,则函数单调递减, 所以0,与矛盾,综上,，A正确; 对B，由可得与在上存在分隔直线, ，，，，，， 则在处的切线方程分别为:, 所以,可得,故B正确; 对C，取得,所以,得,故C正确, 对D，由C知，故D错误. 故选：ABC.    【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是构造函数，然后求导，对进行分类讨论，对B关键是得到在处的切线方程的斜率，从而得到不等式，对C和D通过代入得到，即可进行判断. 7．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令，通过对其求导来判断单调性，可判断A,C；由题意构造函数，根据其单调性可判断B；由构造新函数，通过对其求导判断单调性来求得最小值，即可判断D. 【详解】令， 则，则在上单调递减． 又因为， 所以存在，使得，即． 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以有最大值， 故选项A正确，选项C错误． 因为函数， 由题可知，因为， 即， ，即， 则． 因为函数在上单调递增， 于是，故选项B正确． 从而． 令， 则， 令，则，解得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值，为， 即的最小值为， 则，故选项D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查等价转化思想与运算求解能力，关键在于构造新函数并判断单调性. 三、填空题 8．（2025·河南·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，当时，恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，将不等式等价变形为，构造函数利用导数求出最小值即可. 【详解】当时，， 令函数，依题意，当时，恒成立， 求导得， 令，求导得， 函数在单调递增，，，存在，使得， 当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，因此，则， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 9．（2024·海南·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为 . 【答案】2 【分析】分离参数，利用换元法得，构造函数，利用导数研究其单调性结合隐零点求最小值即可. 【详解】原不等式等价于在时恒成立， 令，则上式化为， 构造函数， 则， 令， 所以在上单调递增，而在， 故使得，故在上单调递减，在上单调递增， 即， 所以， 又，故的最大整数值为2. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：分离参数并换元得，构造函数结合隐零点计算其最小值即可. 四、解答题 10．（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)和； (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，令，即可求出的单调递增区间； （2）分，，三种情况讨论在上的单调性，借助导数及单调性分别求出在上的最小值，令，即可求出实数a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为． 当时，， ， 令，解得或， 所以的单调递增区间为和； （2），， 令，解得或， 当时， 当时，，在单调递增； 因为对恒成立，所以， 即，移项可得， 因为，所以满足条件； 当时， 当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以当时，取到最小值，即， 因为对恒成立，所以， 即， 令，所以， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 又因为，且，所以． 综上，实数a的取值范围为． 11．（2025·湖北·模拟预测）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式即可得解； （2）设，利用二次求导，可求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 由， 所以切线斜率， 故切线方程为. （2）设，的定义域为， ， 设， 则， 故在单调递减，即在单调递减， 又， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 因此， 所以的取值范围是. 12．（2025·四川达州·二模）函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）分情况讨论，分离参数，可把问题转化为，恒成立的问题，设，，利用导数求函数的最小值即可. （3）问题转化为，设，，只需证的最小值大于0即可. 【详解】（1）因为，所以. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 当时，上式恒成立，即； 当时，. 设，， 则. 设，，则在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 所以由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以. 综上可知：的取值范围为：. （3）时，要证，即. 设，则，. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，，则方程只有一解，设为，且，. 当时，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 因为，所以，，，所以. 即. 所以在上恒成立. 从而原命题成立. 13．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)． 【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性； （2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得． 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 而， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）因为不等式在区间上有解， 所以在区间上有解，此时， 即在区间上有解， 令，则． 令，则， 所以函数在上单调递增，所以． 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 综上可知，实数a的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用导数解决不等式恒成立及有解问题 题型梳理 题型方法 题型一 端点效应解决恒成立问题 题型二 参数全分离解决恒成立问题 题型三 不等式恒成立求参数范围 题型四 变量半分离解恒成立问题 题型五 不等式恒成立求参数差的最小值 题型六 不等式有解求参数最小值 题型七 通过同构思想解决不等式有解问题 题型方法 【题型一】端点效应解决恒成立问题 【例1】（2024·湖北武汉·二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2020·甘肃白银·模拟预测）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2020·四川绵阳·一模）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 【题型二】参数全分离解决恒成立问题 【例2】（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2025·四川达州·模拟预测）若，函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【变式3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【题型三】不等式恒成立求参数范围 【例3】（2023·贵州·二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2022·河南·模拟预测）函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ． 【变式3】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，恒成立，求的取值范围． 【题型四】变量半分离解恒成立问题 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2022·河南·模拟预测）若关于x的不等式在区间上有且只有一个整数解，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数存在唯一零点，则的取值范围为 . 【变式3】（2023·江苏淮安·模拟预测）已知函数有三个零点，则a的取值范围是 . 【题型五】不等式恒成立求参数差的最小值 【例5】（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【举一反三】【变式1】（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【变式2】（2022·四川成都·模拟预测）已知，且恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求在处的切线方程； (2)设函数，若恒成立，求的最小值. 【题型六】不等式有解求参数最小值 【例6】（2020·黑龙江绥化·模拟预测）已知函数，存在，使得不等式有解，则实数m的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【举一反三】【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 . 【变式2】（2020·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若不等式有解，则整数的最小值为 . 【变式3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【题型七】通过同构思想解决不等式有解问题 【例7】（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（2021·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 好题必刷 一、单选题 1．（2022·四川成都·模拟预测）已知，且恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 3．（2023·吉林·三模）已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江西·模拟预测）已知有解，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，若对任意的，恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2023·重庆·模拟预测）已知，当时，存在b，，使得成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2025·河南·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，当时，恒成立，则实数a的取值范围为 ． 9．（2024·海南·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为 . 四、解答题 10．（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 11．（2025·湖北·模拟预测）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 12．（2025·四川达州·二模）函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 13．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$