培优点02 指对同构问题（2重难点题型）（讲义）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

培优点02 指对同构问题 题型梳理 题型方法 题型一 同构法的理解 题型二 同构法的应用 知识清单 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题． 题型方法 【题型一】同构法的理解 【例1】若(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一利用对数的运算性质同构，再由函数的单调性求解即可；举反例可得C、D错误； 方法二利用对数的运算性质同构，再由函数的单调性求解即可；举反例可得C、D错误； 【详解】方法一： 对于A、B，由， 可得， 令，则， 因为在R上是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于C，取，符合，但，故C错误； 对于D，取，符合，但，故D错误. 方法二： 对于A、B由， 可得， 令，则， 因为在上是增函数， 所以，即， 对于C，取，符合，但，故C错误； 对于D，取，符合，但，故D错误. 故选：A. 解题技巧 利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究． 【举一反三】【变式1】（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则 ， ． 【答案】 3 8 【分析】两个方程分别取自然对数，转化后由同构的定义求得，然后利用新函数的单调性得关系，从而求得的值． 【详解】对两边取自然对数得  ①．对两边取自然对数得，即  ②． 因为方程①，②为两个同构方程，所以，解得． 设（），则， 所以函数在上单调递增，所以方程的解只有一个，所以， 所以，故． 故答案为：3；8． 【变式2】（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（可化为）可以同构为.若已知恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数根据导数求解其单调性，即可根据得，利用导数求解的最值即可. 【详解】令则在单调递增， 由可得， 则， 由于，所以，故， 记， 当单调递增，当单调递减， 故， 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛；构造函数将不等式同构为，得，利用导数求解的最值. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）对不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. 【答案】同构变形见解析， 【分析】对不等式运用不等式性质，结合指数对数运算进行同构变形即可. 【详解】首先将不等式进行处理， 因为，不等式两边同时除以可得： ， 令，则，原不等式可化为，即. 进一步变形为. 考虑函数，则不等式左边为，对于右边，可变形为，即. 所以不等式同构变形为，同构函数为. 【题型二】同构法的应用 【例2】（2022·河南·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式同构变形，然后构造函数，由导数确定单调性，由单调性确定结论． 【详解】设，，，当时，恒成立， 所以在上是增函数， 原不等式变形为，即，所以． 故选：B． 解题技巧 常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝. 其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化． 【举一反三】【变式1】（2020·陕西榆林·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知不等式变形可得，构造函数，其中，分析函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，再结合对数函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为， 令，其中， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，即，故，则， 所以，，则，A错B对； 无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错. 故选：B. 【变式2】（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ． 【答案】-1 【分析】首先对函数求导，利用导数的几何意义求出，然后构造新函数，对其求导判断单调性和最小值，从而求出的最小值. 【详解】对函数求导得：. 因为直线为曲线的一条切线， 设切点为，令，即①. 又②，用①除以②得：. 所以. 所以,所以. 设，则求导得. 当时，，所以，此时在上单调递增； 当时，，所以，此时在上单调递减. 所以，所以的最小值为-1. 故答案为：-1. 【变式3】（2024·内蒙古·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，分类讨论可求单调区间； （2）由已知可得，令，可得，进而由单调性可得，求得函数的最大值即可. 【详解】（1）的定义域为. 关于的方程， 当时，，，所以在上单调递增. 当时，，此时， ，所以在上单调递增. 当时，则是方程的两根. 又，所以， 令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）由，可得，即. 令，易知单调递增. 由，可得，则，即. 设，则，当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 所以，则的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问的解决关键是，转化得，从而利用同构法即可得解. 好题必刷 一、单选题 1．（2020·河南焦作·一模）已知对任意的，都有恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】通过构造函数，把问题转化为，进而转化为对任意的恒成立，然后，对进行分类讨论，进而可得解 【详解】解析：∵，∴， ∴. 设，问题转化为对任意的，恒成立，则有时为对任意的，仍然成立，则问题转化为对任意的恒成立，当时，显然成立；当时，，所以；当时，，. 综上. 故选：B 【点睛】关键点睛：把不等式变形，得到，进而构造函数，问题转为对任意的，恒成立，进而转化为对任意的恒成立，考查转化的思想，难度属于中档题 2．（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数和导函数值，求出函数解析式，通过导函数求出函数单调性，再构造函数比较三个数值的大小，通过函数单调性，写出三个函数值的大小关系. 【详解】由题意得，，代入得 ，解得，可得，， 令，， 可知在上，，在上单调递增， 在上，，在上单调递减，在处取得最大值，， 所以在上，则，所以在上单调递减， 设，可知， 则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以， 令，则， 令，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减， 由可知，当时，，即，所以在上单调递增，得，即， 综上可知，，由在上单调递减得. 故选：D. 3．（2022·陕西西安·模拟预测）已知，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小. 【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以. 故选：A. 【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小. 二、多选题 4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设点在函数上结合对称性得出函数关系，再构造函数得出不等式恒成立判断A，B，再化简计算判断C，D. 【详解】设为函数的图象上任意一点，则， 设关于直线的对称点为，则则， 所以，即， 令单调递增，所以，所以， 令单调递增，所以， 所以，即，所以A选项不正确，B选项正确； 则，即成立，所以C选项正确； 又，当时等号成立，， 当时等号成立，则（等号不能同时成立）， 所以，即，所以D选项正确， 故选:BCD 5．（2023·广东茂名·一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断. 【详解】原式变形为， 构造函数，则， ∵， 当时，，则，即； 当时，，则，即； 故在上单调递减，在上单调递增， 对于A：取，则 ∵在上单调递增，故， 即满足题意，但，A错误； 对于B：若，则有： 当，即时，则，即； 当，即时，由在时单调递增，且， 故，则； 综上所述：， B正确； 对于C：若，则有： 当，即时，显然成立； 当，即时，令， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，所以，即， 由可得，即 又∵由在时单调递增，且， ∴，即； 综上所述：，C正确； 对于D：取，，则， ∵在上单调递减，故， ∴故，满足题意，但，D错误. 故选：BC. 【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式： （1）积型：， ①构造形式为：，构建函数； ②构造形式为：，构建函数； ③构造形式为：，构建函数. （2）商型：， ①构造形式为：，构建函数； ②构造形式为：，构建函数； ③构造形式为：，构建函数. 三、填空题 6．已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 【答案】 【分析】由题意构造函数，求导研究其单调性，根据题目中的等式，对应函数值的大小，可得答案. 【详解】构造函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ， 因为，所以，即， 而，b，，所以， 故答案为：. 7．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先等价转化为，再设，利用导数和隐零点法得到，最后得到不等式，解出即可. 【详解】不等式对恒成立， 等价于，所以， 设，其中，则，令得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，又， 所以存在使得， 所以若，则或，即或， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：等价转化为，再设，利用导数和隐零点法得到，从而有，解出即可. 8．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为，再次构造函数求得最值即可得解. 【详解】因为， 所以可化为， 令，则， 所以在上递增， 因为，，所以，，， 所以可化为，则， 即在上恒成立，即， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用同构法将题设不等式转化为，从而构造函数得到，由此得解. 9．（2025·重庆·三模）已知， 恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用可得时满足题意，然后令，由题可得，由单调性可得，最后注意到不满足不等式，据此可得答案. 【详解】对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则； 对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则. 则当时，，满足题意； 当时，令，由， 令，则在上单调递减， 又注意到，则. 下证对，，即，， 由，可得，由，可得. 则，则时，命题成立； 当，令，由， 但此时，，与题意不符，故不满足题意. 综上可得. 故答案为： 【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常用思想为分离参数，将问题转化为求相关函数的最值，也可构造函数，由函数最值得到关于参数的表达式. 四、解答题 10．（2025·山东济南·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)记的极小值为，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类讨论求出函数的单调性. （3）由（2）求出极小值，再建立函数，利用导数求出最小值证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程的为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，上单调递增. （3）由（2）知，若有极小值，则，极小值， 令函数，求导得，函数在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 函数在上单调递减，上单调递增，则，即， 所以. 11．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数. (1)求在处的切线方程； (2)若恒成立，求的最小值； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）分离参数，构造函数，求导根据导数判断函数的单调性与最值，进而确定参数范围； （3）由（2）可得，所证不等式即可转化为，构造函数，求导根据导数判断函数单调性与最值，进而得证. 【详解】（1）由已知， 则， 则， 又， 所以函数在处的切线方程为， 即； （2）由已知，恒成立， 则对恒成立， 设，， 则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以， 所以， 即的最小值为； （3）由（2）可知时，， 又，所以， 则时，， 设，，则， 设，则， 所以当时，恒成立， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 即， 所以，， 即， 综上所述. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 12．（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求实数的值 (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1） 先求导数得出切线斜率结合点在切线上及切点在曲线上列式求解； （2）先构造函数，得出单调性进而得出不等式，进而构造即可证明不等式. 【详解】（1）由题意可知，， 因为，所以， 所以， 解得； （2）设， ， 所以在上单调递增  且， 所以当时，单调递减   当时，，单调递增   所以，所以   设，所以， 在上单调递减，在上单调递增 ， 所以，所以  ， 又因为与等号成立的条件不一致， 所以． 13．（2023·广东汕头·三模）设，， (1)证明：； (2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数研究函数的单调性，进一步求出最值范围即可证明； （2）由和的单调性分析三个交点的位置情况，构造，根据零点存在定理，可得在内存在唯一零点，所以，即，再利用交点函数值相等得到，，进而得出，根据等比中项性质即可证明结论. 【详解】（1）因为，，所以等价于， 即， 令，则只需证， 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即成立， 所以成立，即得证； （2）记，则， 当时，；当时，． 故在内单调递增，在内单调递减，故； 记，则， 当时，，当时，， 故在内单调递增，在内单调递减，故. 所以函数与函数有相同的最大值，画出与的图象如下图：    可知，且，又当时，，故， 当时，直线与两条曲线和各有两个不同的交点， 则直线与曲线的两个交点分别位于区间和， 而直线与曲线的两个交点分别位于区间和， 构造，当时，；当时，， 当时，1-x<0，，，， 故在内单调递减，又，， 结合零点存在性定理可知：在内存在唯一零点， 故曲线和在有唯一一个公共点， 由图可得：若直线与两条曲线和共有三个不同的交点，，，其中，即，即， ，，， 由，又， 结合在内单调递增，故， 由，又，， 结合在内单调递减，故， 故，故，，成等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于，即，利用，且在内单调递增，求得，同理利用，且在内单调递减，求得，即可用等比中项证明，，成等比数列. 14．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)证明：在其定义域内为减函数； (3)若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调区间，进可求得的最小值，即可求解； （2）对求导，得到，利用（1）中结果可得恒成立，即可求解； （3）根据条件得到，令，利用导数求出的单调区间，进而求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）令，则， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故. （2）因为，易知，则， 令，由（1）知， 则在区间上恒成立，又， 所以恒成立，故在其定义域内为减函数. （3）易知，由，得到，即， 令，则 ， 由（1）知，当且仅当时取等号， 所以当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，故，得到， 所以实数的取值范围为. 15.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导，根据参数的取值，分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性； （2）求导得，设，得函数在上单调递增，利用零点存在定理，得到存在，满足，推得的单调性，即得 ，从而证得结论； （3）由转化为，设，求得，再设，判断其单调性得到，即得参数的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 当时，，即函数在上为增函数； 当时，由，解得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上为增函数； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）因函数的定义域为，， 令，则， 即函数在上单调递增，当时，，且， 故存在，使，则得. 当时，，即，故函数在上单调递减； 当时，，即，故函数在上单调递增. 故， 因，故得，即，故. （3）由可得，即， 设，则，故函数在上单调递增，则. 再设，则， 当时，，故函数在上单调递减； 当时，，故函数在上单调递增， 故，故得，即的取值范围是. 16.（2025·青海海东·三模）已知函数，． (1)求的极值； (2)当时，讨论的单调区间； (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)单调递减区间为，无递增区间； (3) 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，求出在处取得极小值，极小值为，无极大值； （2）求定义域，求导，得到导函数小于0恒成立，故单调递减区间为，无递增区间； （3）变形得到，构造，则，求导，考虑和两种情况，结合单调性，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）的定义域为， 故， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值； （2），，定义域为， ， 故的单调递减区间为，无递增区间； （3），，即， 所以， 其中，令，则， ， 若，则，其中在恒成立， 故在上单调递增， 所以，即， 令，，则， 故在上单调递增， 故，即，所以，与取交集，故， 若，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且时，恒成立，时，恒成立， 所以，满足要求， 综上， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点02 指对同构问题 题型梳理 题型方法 题型一 同构法的理解 题型二 同构法的应用 知识清单 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题． 题型方法 【题型一】同构法的理解 【例1】若(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究． 【举一反三】【变式1】（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则 ， ． 【变式2】（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（可化为）可以同构为.若已知恒成立，则的取值范围是 . 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）对不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. 【题型二】同构法的应用 【例2】（2022·河南·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 解题技巧 常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝. 其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化． 【举一反三】【变式1】（2020·陕西榆林·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ． 【变式3】（2024·内蒙古·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围. 好题必刷 一、单选题 1．（2020·河南焦作·一模）已知对任意的，都有恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 2．（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（   ） A． B． C． D． 3．（2022·陕西西安·模拟预测）已知，且，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 5．（2023·广东茂名·一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 6．已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 7．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 8．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 9．（2025·重庆·三模）已知， 恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 10．（2025·山东济南·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)记的极小值为，证明：． 11．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数. (1)求在处的切线方程； (2)若恒成立，求的最小值； (3)求证：. 12．（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求实数的值 (2)证明：． 13．（2023·广东汕头·三模）设，， (1)证明：； (2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列. 14.（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)证明：在其定义域内为减函数； (3)若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围． 15.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 16.（2025·青海海东·三模）已知函数，． (1)求的极值； (2)当时，讨论的单调区间； (3)若，，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$