精品解析：天津市滨海新区大港第十中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

大港十中2024-2025学年度（二）期中评估试卷 八年级数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列出不等式，解不等式即可. 【详解】若在实数范围内有意义，则，解得,故选A. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义，是解题的关键．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母。逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A：，被开方数含分母5，需有理化为，故不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：，被开方数12含平方因数4，可开方，故不是最简二次根式，不符合题意； 选项C：，被开方数含分母2，需有理化为，故不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：，被开方数10的质因数分解为，不含平方因数且无分母，满足最简二次根式的条件，符合题意． 故选：D． 3. 下列各组线段a、b、c中，能组成直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】A、∵，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选∶B． 4. 下列曲线中能表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数表达式的三种表示之一图象法，根据函数定义，在自变量的取值范围内，有且只有一个值，从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键． 【详解】解：对于D选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数； 故选：D． 5. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，通过四边形是平行四边形，得，，则，由角平分线的定义得，则有，最后由线段和差即可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 在平面直角坐标系中，下列各点在直线 上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数表达式和图象上点的坐标的关系，将各选项的坐标代入直线，验证等式是否成立即可判断点是否在直线上，解题的关键是熟练掌握一次函数表达式和图象上点的坐标的关系． 【详解】解：、当时，，故该点在直线上，符合题意； 、当时，，故该点不在直线上，不符合题意； 、当时，，故该点不在直线上，不符合题意； 、当时，，故该点不在直线上，不符合题意； 故选：． 7. 已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，下列结论：①当时，它是菱形； ②当时， 它是矩形；③当，时， 它是正方形．其中结论正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，根据菱形、矩形和正方形的判定条件，逐一分析各结论的正确性即可． 【详解】解：当时，平行四边形是菱形， 平行四边形的邻边相等，符合菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形），故①正确； 当时，平行四边形是菱形， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，矩形的判定需对角线相等，故②错误； 当且时，平行四边形是正方形， 说明对角线相等，此时为矩形；说明对角线垂直，此时为菱形，既是矩形又是菱形的图形是正方形，故③正确； 综上，正确的结论有①和③，共2个， 故选：C． 8. 如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．根据中位线定理可得对角线 的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：∵E，F分别是、边上的中点，， ∴， 又∵， ∴菱形的面积， 故选：C． 9. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用二次根式的性质及绝对值的性质计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故选：C． 10. 如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AD，进而得到OE的长，根据实数与数轴的对应关系解答即可． 【详解】解：由题意得，BD=OB=1， 在Rt△ABD中，AD=， ∴OE=AE-1=， ∴点E对应的实数是 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 11. 如图，在矩形中，连接，延长至点，使连接．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BD，根据矩形的性质及易证为等腰三角形，得到∠E=∠BDE，关键求出∠DBE，利用三角形的内角和定理即可得到∠E. 【详解】解：连接BD，交AC于点O， ∵四边形是矩形， ∴OA=OB=OC=OD，AC=BD 又∵， ∴BD=BE， ∴∠E=∠BDE， ∵∠ABC=90°，∠BAC=40°， ∴∠ACB=50°， 又∵OB=OC， ∴∠DBE=∠ACB=50°， ∵∠E+∠BDE+∠DBE=180°， ∴2∠E=180°-∠DBE=180°-50°， ∴∠E=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和.熟练掌握有关几何图形的性质并灵活运用是解题的关键. 12. 如图，在四边形中，点是边上的动点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理可求BC的长，所以要使△PBC的周长最小，即BP+PC最短，利用对称性，作点C关于AD的对称点E，即可得出最短路线，从而求解可． 【详解】解：过点C作CG⊥AB，由题意可知四边形DAGC是矩形 ∴CG=AD=4，BG=AB-AG=AB-CD=2 ∴在Rt△BCG中， 作点C关于AD的对称点E，连接BE，交AD于点，连接 此时的周长为最小值，即 过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F 由题意可知四边形EFAD为矩形 ∴EF=AD=4，DE=CD=AF=3 ∴在Rt△EBF中， ∴此时的周长为： 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形及应用对称的性质求最短路线，掌握相关性质定理正确添加辅助线进行推理计算是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 若直角三角形的两条直角边长分别为，则斜边上的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法；由勾股定理求出斜边长是解决问题的关键． 先根据勾股定理求出斜边长，再设这个直角三角形斜边上的高为，根据三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为， ∴斜边， 设这个直角三角形斜边上的高为，则， 故答案为：； 15. 如图，在中，请添加一个条件：______，使得成为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定的应用，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解题即可． 【详解】条件是，理由是： ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：． 16. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 17. 如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，构造中位线．如图，连接，是的中位线，则，，，，在中，由勾股定理求的值，由矩形的性质可得，根据，求解的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∵，， ，， 在中，由勾股定理得， ∴， ， 故答案为：2． 18. 在如图所示的7×7网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均落在格点上． （1）AB的长等于__； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为边的正方形ABCD，并简要说明画图的方法（不要求证明）． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求解的长即可； （2）取格点，利用勾股定理满足 同时注意满足 从而可得答案． 【详解】解：（1）AB＝ 故答案为 （2）如图，取格点C，D，依次连接AD，DC，CB，四边形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理及勾股定理的逆定理在作图中的应用，正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，笔直的河流一侧有一个旅游景点C，河边有两个游船码头A、B，其中，由于某种原因由C到A的路不通，为方便游客，决定在河边新建一个游船码头D，并修建一条路，测得，，．求原来的路线的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键． 先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设，则，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴是直角三角形且； 设，则， 在中，由已知得，， 由勾股定理得：， ∴，解得． 即：原来的路线的长为． 21. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 22. 如图，已知正方形，以为边在正方形外作等边，与交于点F，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明即可得到结论； （2）利用（1）中全等结论，结合三角形内角和，计算度数． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， 平分，即， 又是等边三角形， ， ，且， , 在和中：, , ; 【小问2详解】 解：由（1）知， , 在中，， ， , 在中，， ． 23. 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．请根据相关信息． 根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开学校的时间/ 0.1 0.5 0.8 1 3 离学校的距离/ 2 12 （2）填空： ①李华在陈列馆参观学习的时间为______h； ②学校到陈列馆的距离为______；书店到陈列馆的距离为______； ③李华从陈列馆回学校的途中，减速前的骑行速度，为______． 【答案】（1）填表见解析 （2）①3；②20；8；③28 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，解题的关键是读懂题意，理解李华离开学校再回到学校的过程． （1）根据图象求出离开学校，离学校距离，根据图象直接得出离开学校，离学校距离为；离开学校，离学校距离为； （2）①由图象直接可得李华在陈列馆参观学习的时间为； ②由书店离学校，陈列馆离学校可得答案； ③用路程除以时间可得李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为； 【小问1详解】 解：根据图象可知：离开学校，离学校距离为， 由图象知离开学校，离学校距离为；离开学校，离学校距离为； 填表如下： 离开学校的时间 1 3 离开学校的距离 2 10 12 12 20 【小问2详解】 解：①∵， ∴李华在陈列馆参观学习的时间为； 故答案为：3； ②由图可知，陈列馆离学校 ∵， ∴书店到陈列馆的距离为； 故答案为：20；8； ③∵， ∴李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为． 故答案为：28． 24. 问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将 沿 所在的直线折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图①，当点恰好落在边上时，四边形 的形状为________． 问题解决： （2）如图②，当时， 连接 并延长，交边于点G，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图③， 当时，连接并延长，交边于点H，若的面积为24， 请直接写出线段的长． 【答案】（1）菱形（2）平行四边形，理由见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得：，，由平行四边形的性质得出，即可得出，由等角对等边结合即可得出，，即可得出四边形是菱形． （2）利用折叠的性质可得，，结合得出，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形． （3）延长交于点F，由折叠的性质先证明是等腰直角三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，，是等腰直角三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； 又， 四边形是菱形． （2）四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， （3）如图，延长交于点F， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，菱形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点是动点且纵坐标为 4 ，点是线段上的一个动点，过点作直线平行于轴，设分别交射线与轴所成的两个角的平分线于点、． （1）求证：； （2）当 为何值时，四边形是矩形？证明你的结论； （3）是否存在点A、B，使四边形为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3）存在，使四边形为正方形，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练地应用矩形判定与正方形的判定是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质以及等角对等边即可得出，进而求出答案； （2）根据当时，首先求出四边形是平行四边形，进而得出利用角平分线的性质得出，即可得出四边形是矩形； （3）根据当点在轴时，即点坐标为时，有，此时，取的中点，由（2）知四边形是矩形，进而即可得出四边形为正方形． 【小问1详解】 （1）证明：如图所示； ∵是的角平分线， ， ∵轴， ， ， ， 同理可证， ； 【小问2详解】 解：当，四边形是矩形， ， ， 又 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵、是角平分线， ， ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 存在点、使四边形为正方形，如图所示， ∵轴， ∴当点在轴时，即点坐标为时，有，此时，取的中点，由（2）知四边形是矩形， ∴四边形为正方形， ∴存在，使四边形为正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大港十中2024-2025学年度（二）期中评估试卷 八年级数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段a、b、c中，能组成直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列曲线中能表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，下列各点在直线 上的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，下列结论：①当时，它是菱形； ②当时， 它是矩形；③当，时， 它是正方形．其中结论正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 5 D. 10. 如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，连接，延长至点，使连接．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在四边形中，点是边上的动点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算：______． 14. 若直角三角形的两条直角边长分别为，则斜边上的高为________． 15. 如图，在中，请添加一个条件：______，使得成为矩形． 16. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 17. 如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为______． 18. 在如图所示的7×7网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均落在格点上． （1）AB的长等于__； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为边的正方形ABCD，并简要说明画图的方法（不要求证明）． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算下列各题： （1）； （2）． 20. 如图，笔直的河流一侧有一个旅游景点C，河边有两个游船码头A、B，其中，由于某种原因由C到A的路不通，为方便游客，决定在河边新建一个游船码头D，并修建一条路，测得，，．求原来的路线的长． 21. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 22. 如图，已知正方形，以为边在正方形外作等边，与交于点F，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．请根据相关信息． 根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开学校的时间/ 0.1 0.5 0.8 1 3 离学校的距离/ 2 12 （2）填空： ①李华在陈列馆参观学习的时间为______h； ②学校到陈列馆的距离为______；书店到陈列馆的距离为______； ③李华从陈列馆回学校的途中，减速前的骑行速度，为______． 24. 问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将 沿 所在的直线折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图①，当点恰好落在边上时，四边形 的形状为________． 问题解决： （2）如图②，当时， 连接 并延长，交边于点G，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图③， 当时，连接并延长，交边于点H，若的面积为24， 请直接写出线段的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点是动点且纵坐标为 4 ，点是线段上的一个动点，过点作直线平行于轴，设分别交射线与轴所成的两个角的平分线于点、． （1）求证：； （2）当 为何值时，四边形是矩形？证明你的结论； （3）是否存在点A、B，使四边形为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $